Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Таким образом, в дальней зоне формируетсяустойчивое угловое распределение поля, не меняющееся при дальнейшем распространении светового пучка.Выражение (9.16) называют дифракционным интегралом в приближении Фраунгофера. Оно справедливо в дальней дифракционной зоне.С математической точки зрения выражение (9.16) представляет собой пространственный интеграл Фурье. По аналогии с интегралом Фурье по времени величинуkx = k sin θ называют пространственной частотой.
По физическому смыслу этоесть поперечная компонента волнового вектора, направленного в точку наблюдения поля. Причем между пространственной частотой kx и угловой координатой θ точки наблюдения поля имеется взаимно однозначное соответствие. Этопозволяет записать комплексную амплитуду поля в точке наблюдения следующимобразом:i + 1 −ikbE(P ) = √eE0 (kx ) exp (ikx sin θ)dx,(9.17)2λbZ ∞E0 (kx ) =E0 (x) exp (ikx sin θ)dx,−∞где E0 (kx ) — пространственная спектральная амплитуда, соответствующая распределению поля E0 (x).Таким образом, дифракционное поле в дальней зоне пропорционально пространственной фурье-амплитуде исходного пучка.
Используя (9.17), запишем выражение для интенсивности излучения в дальней зоне:c 1I(P ) =S0 (kx ),(9.18)8π λbгде S0 (kx ) = |E0 (kx )|2 — пространственная спектральная плотность, или угловойспектр излучения.Угловое распределение интенсивности излучения в дальней зоне повторяетформу углового спектра светового пучка. Отсюда следует физический смысл фраунгоферовой дифракции как пространственного разложения ограниченного светового пучка на плоские волны. Согласно спектральным представлениям, поперечная компонента волнового вектора возникает вследствие ограничения апертуры (т.е.поперечных размеров) пучка отверстием. Представление ограниченного пучка в виде набора плоских волн, распространяющихся в разных направлениях, аналогичнопредставлению импульса конечной длительности в виде суммы гармонических колебаний разных частот.Дифракция Фраунгофера на щели.
Рассмотрим фраунгоферовскую дифракциюплоской волны на щели шириной d (Рис.9.5). Полагая, что(1, |x| ≤ d/2;E0 (x) =(9.19)0, |x| > d/2,98РИС. 9.5. К расчету фраунгоферовской дифракции на щелиРИС. 9.6. Начальное распределение амплитуды поля E0 (x) и пространственная спектральная амплитуда E0 (kx ) при дифракции плоской монохроматической волны на щели шириной d.РИС. 9.7. Угловое распределение интенсивности света в дальней зонепри дифракции на щели: d — ширина щели, λ — длина световой волныпо формуле (9.17) получимZ d/2E(kx ) = E0E0 (x)eikx sin θdx = E0 d · sinc(kx d/2),sinc(x) = sin x/x. (9.20)−d/2Графики функций E0 и Ekx показаны на Рис.9.6.
Используя (9.17), и (9.18), находимамплитуду поля и интенсивность света в точке P :i + 1 −ikbE(P ) = E0 √(9.21)esinc (kx d/2),I(P ) = Imax sinc2 (kx d/2),2λbгде Imax = I0 d2 /λb, I0 = (c/8π)|E0 |2 — интенсивность падающей волны. Подставляя kx = k sin θ в выражение для интенсивности, находим угловое распределениеинтенсивности излучения в дальней зон嵶πd sin θ22I(P ) = Imax sinc (kd sin θ/2) = Imax sinc(9.22).λГрафик распределения угловой интенсивности показан на Рис.9.7. Отсюда можноопределить дифракционную расходимость пучка ∆θ в дальней зоне, исходя из условия I(θ) = 0. Отсюда следует, что При θ ¿ 1 угол отклонения θ, при которомI(θ) = 0, θ = λ/d, а полный угол расходимости θd = 2θ = 2λ/d ∼ λ/d.99Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии.
Аналогичным образом можнорассмотреть дифракцию на круглом отверстии. В этом случае угловое распределение интенсивности в дальней зоне описывается функцией Эйри:·¸2J1 (u)I(θ) = I0,(9.23)uгде I0 — интенсивность падающей волны; J1 (u) — функция Бесселя первого порядка;u = 2πθr/λ; r — радиус отверстия.График функции Эйри аналогичен графику Рис.9.8. Нетрудно показать. что нацентральный максимум, называемый диском Эйри, приходится 84% светового потока.Полная угловая ширина (дифракционная расходимость) равнаλθd = 1.22 ,(9.24)dт.е.
при дифракции плоской волны на круглом отверстии она становится расходящейся с углом расходимости θd , причем, чем больше d, меньше θd .Предел разрешения оптических приборов. Способность оптических приборов,например линзы, давать раздельные изображения двух близко расположенных точечных объектов, называется разрешением.
Разрешение линзы тем больше, чем более близко лежащие точки различимы, как отдельные изображения. Два принципиальных фактора ограничивают разрешение линзы. Первый — это наличие аббераций. Вторым фактором, ограничивающим разрешение, является дифракция, котораяпринципиально не устранима, так как она есть результат волновой природы света. Именно дифракция ответственна за существование предела разрешения линзы,даже при отсутствии аббераций. Поэтому обсудим этот фактор подробнее.Любая линза имеет конечную апертуру (поперечный размер). При формировании изображения точечного объекта с помощью линзы, имеет место дифракция наее апертуре. Фактически изображение представляет собой дифракционную картину.
Для круглого отверстия изображение точки представляет круглый центральныйпик (диск Эйри), окруженный чередующимися темными и светлыми интерференционными кольцами. Центральный пик имеет угловую ширину θd = 1.22λ/d, где d —диаметр. Если два точечных объекта очень близки, то их изображения перекрываются.Рэлей предложил простой критерий, согласно которому два изображения разрешимы, когда центр дифракционного диска одного изображения совпадает с первым минимумом дифракционной картины другого — критерий Рэлея (Рис.9.8).РИС. 9.8.
Иллюстрация критерия Рэлея. O и O0 — точечные объекты,угловое расстояние между которыми θ.100Другими словами, это означает, что два объектами разрешимы, если они разделены углом θd . Это и есть предел разрешения, допускаемый волновой природой светаиз-за дифракции.9.3. Дифракционные решетки. Дифракционная решетка представляет собойпространственную периодическую структуру, период которой соизмерим с длиной световой волны. Различают пропускательные, отражательные, амплитудныеи фазовые решетки. Пропускательные решетки работают на пропускание света, отражательные — на отражение.
Амплитудные решетки пространственно модулируютамплитуду, а фазовые — фазу световой волны. Простейшая амплитудная пропускательная решетка представляет собой систему равноотстоящих параллельных щелейв непрозрачном экране. Отражательную амплитудную решетку изготавливают путем нанесения штрихов на плоское или вогнутое зеркало. Фазовая решетка можетпредставлять собой профилированную стеклянную пластину или профилированноезеркало.Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической световой волны на периодической системе щелей, в непрозрачном экране (Рис.9.9). Падающая на решеткусветовая волна создает в щелях когерентные (сфазированные) источники вторичныхсветовых волн. Результирующее световое поле образуется в результате интерференции этих волн.
Определим распределение интенсивности света в фраунгоферовойдифракционной картине, наблюдаемой на бесконечности либо в фокальной плоскости линзы при падении на решетку плоской монохроматической волны. В каждой точке наблюдения происходит многолучевая интерференция когерентных пучковсвета одинаковой интенсивности, дифрагировавших на отдельных одинаковых щелях(Рис.9.9). Обозначим через E1 = E0 sin u/u поле в точке наблюдения , излучаемоепервой щелью (см.(9.22)). Поля, излучаемые остальными щелями, имеют видE2 = E1 eiδ , E2 = E1 e2iδ , ..., EN = E1 ei(N −1)δ ,(9.25)где δ — разность фаз между соседними световыми пучками.Полная напряженность в точке P от всех N периодических элементов решеткиесть сумма всех полейEP = E1 [1 + eiδ + e2iδ + ...
+ ei(N −1)δ ] = E11 − eiN δ,1 − eiδРИС. 9.9. Дифракция Фраунгофера на системе одинаковых параллельных щелей101(9.26)РИС. 9.10. Распределение интенсивности при фраунгоферовской дифракции на решетке, состоящей из одинаковых щелей N = 8РИС. 9.11.которая является суммой геометрической прогрессии. Для интенсивности IP ∼ |EP |2получаемsin2 (N δ/2)IP = I1.sin2 (δ/2)(9.27)Здесь I1 — интенсивность в точке наблюдения P от одной щели. В результате интерференции всех когерентных вторичных волн происходит перераспределение светового потока по направлениям и получается существенно отличающееся от I1 распределение интенсивности в фраунгоферовой дифракционной картине.В тех направлениях θm , для которых δ/2 = mπ (m = ±1, ±2, ...), второй сомножитель в (9.27) принимает значение N 2 , и интенсивность в N 2 раз больше, чем отодной щели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
