Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Классическое описание не противоречит квантовому, а является его предельным случаем.Далее будем считать вещество линейным, изотропным и однородным. Оптическую поляризованность среды P~ , имеющую смысл дипольного момента единицыобъема, можно представить в видеP~ = N p~,p~ = e~x,(10.2)где N — число атомов в единице объема, p~ — дипольный момент отдельного атома,e — заряд электрона, ~x — смещение электрона относительно равновесного положения.
Так как смещение электрона относительно ядра происходит под действием106~ Зависимость ~x(E)~ можно определить, используя классветовой волны, то ~x = ~x(E).сическую осцилляторную модель атома. В этой модели атомы представляют собойгармонические осцилляторы, колебания которых описываются на основе классических представлений и законов Ньютона.Пусть световая волна является плоской волной~ exp [i(ωt − ~k~r)] + к.с.E~ = (1/2)E(10.3)Уравнение движения осциллятора под действием световой волны согласно второгозакона Ньютона имеет вид:e~x¨ + γ ~x˙ + ω02~x = E~(10.4)mpЗдесь m — масса электрона, ω0 = k/m — собственная частота колебаний электрона в атоме; параметр γ описывает затухание колебаний, обусловленное тем, чтоколеблющийся электрон сам становится источником излучения и поэтому его свободные колебания затухают.С учетом (10.3) уравнение (10.4) принимает вид:1 e ~E exp [i(ωt − ~k~r)] + к.с.~x¨ + γ ~x˙ + ω02~x =(10.5)2mЗдесь ~r имеет смысл радиус-вектора, который описывает положение электрона.
Поскольку размер атома a много меньше длины световой волны λ, то ~k~r ≈ ka =2πa/λ ¿ 1. Поэтому приближенно атом можно считать считать точечным и неучитывать изменение поля в пределах атома.Ищем решение уравнения (10.5) в виде1~x = ~x0 exp [i(ωt − ~k~r)] + к.с.,(10.6)2где ~x0 — комплексная амплитуда смещения электрона относительно атомного ядра всостоянии равновесия, т.е. в отсутствие света.
Подставляя (10.6) в (10.5) находимe1~x0 =.(10.7)2m ω0 − ω 2 + iωγИз (10.2) и (10.6), для поляризация среды получаем1P~ = N e~x = N ex~0 exp [i(ωt − ~k~r)] + к.с.(10.8)2В комплексном представлении P~ = N e~x = (1/2)P~0 exp [i(ωt − ~k~r)] + к.с., из (10.8)следует, чтоN e21~EP~0 =2m ω0 − ω 2 + iωγ(10.9)~ находим выражение для линейной оптической восУчитывая, что P~0 = æ(ω)E,приимчивости среды в модели ЛоренцаN e21,æ(ω) =m ω02 − ω 2 + iωγ(10.10)и для диэлектрической проницаемости ε(ω) = 1 + 4πæ(ω)²(ω) = 1 +ωp24πN e21=1+.m ω02 − ω 2 + iωγω02 − ω 2 + iωγ107(10.11)pПараметр ωp = 4πN e2 /m имеет размерность частоты и его часто называют "плазменной" частотой.Оптические свойства среды также характеризуют комплексным показателем преломления n, который для немагнитнойсреды связан с диэлектрической проницаеp0мостью соотношением n = ε(ω) = n − in00 .
Реальную часть n0 = Re n называют— вещественным показателем преломления, а мнимая часть n00 = Im n, как будетпоказано далее, ответственна за поглощения (затухание) среды световой волны всреде.Пусть среда является достаточно разреженной, т.е. плотность атомов√N мала. Вэтом случае ε мало отличается от единицы ( ε = 1+α, α ¿ 1), и для n = ε ' 1+α/2можно записатьωp2ωp2 ω02 − ω 2 − iωγ1n=1+=1+(10.12)2 ω02 − ω 2 + iωγ2 (ω02 − ω 2 )2 + ω 2 γ 2Формула дает не только показатель преломления, через атомные постоянные, нои показывает как он меняется с частотой света ω.
Зависимость показателя преломления от частоты называют дисперсией, так как именно из-за дисперсии светразлагается ("диспергирует") призмой в спектр.Из (10.12) для n0 и n00 нетрудно получить следующие выраженияωp2ω02 − ω 2n (ω) = 1 += 1 + ∆n,2 (ω02 − ω 2 )2 + ω 2 γ 20n00 (ω) =ωp2ωγ.22 (ω0 − ω 2 )2 + ω 2 γ 2(10.13)(10.14)Дисперсия и поглощение света в линейной изотропной среде. Взаимодействиесвета с линейной изотропной средой приводит к двум основным физическим эффектам: уменьшению фазовой скорости света в среде и его затуханию за счет поглощения.
Так как волновое число k = ωn/c, то, k тоже комплексное число k = k 0 − ik 00 ,где k 0 = ωn0 /c, а k 00 = ωn00 /c.Покажем, что мнимая часть волнового числа k 00 , а значит и мнимая часть показателя преломления n00 , определяет затухание световой волны (k 00 > 0), а действительная часть — фазовую скорость распространения света в среде.Пусть плоская световая волна падает нормально на границу среды.
В среде ееможно записать в виде1E = E0 exp [i(ωt − kz)],(10.15)2где E0 — амплитуда поля на границе среды z = 0. Учитывая, что k = k 0 − ik 00 ,получаем100E = E0 e−k z exp [i(ωt − k 0 z)].2Вычисляя интенсивность, получаемI = I0 exp (−αz),(10.16)(10.17)где I0 — интенсивность волны на границе среды; α = 2k 00 = 2ωn00 /c — показательпоглощения среды.
Формула (10.17) отражает закон поглощения света в среде —закон Бугера.108Таким образом, амплитуда волны по мере распространения в среде уменьшается по экспоненциальному закону — световая волна затухает. Говорят, что средапоглощает часть волны, и из среды она выходит, потеряв часть своей энергии.Потеря энергии связана с затуханием осцилляторов.Именно поглощение дает в солнечном спектре темные линии. Свет, излучаемыйповерхностью Солнца, проходит через солнечную атмосферу (и атмосферу Земли),и часть его на частотах, равных резонансным частотам атомов в атмосфере Солнца,сильно поглощается.
Наблюдение подобных спектральных линий солнечного светапозволило установить резонансные частоты атомов, и, следовательно, химическийсостав солнечной атмосферы. С помощью этих методов обнаружили, что химическиеэлементы на Солнце и звездах ничем не отличаются от земных.Так как фазовая скорость световой волны vp = ω/k 0 , то учитывая, что k 0 =0n (ω)ω/c, получаем vp = c/n0 (ω), т.е. фазовая скорость света в среде отличаетсяот скорости света в вакууме и зависит от частоты.Перепишем формулу (10.16), подставив в нее выражение для k 0 = k0 (1 + ∆n)(k0 = ω/c — волновое число в вакууме)100E = Ee−k z e−i∆nk0 z exp [i(ωt − k0 z)].(10.18)2Отсюда следует, что среда приводит не только к затуханию амплитуды света,но и к задержке по фазе падающего на нее светового поля.
Фаза запаздывает навеличину ∆nk0 z, поскольку в экспоненте стоит знак минус.Такой же вывод вытекает и из того факта, что поляризованость среды являетсякомплексной величиной (см. формулы (10.6) и (10.7)). Это означает, что колебания поляризованности происходят со сдвигом (задержкой) фазы, зависящей отчастоты. Колеблющиеся диполи вещества сами становятся источниками излучения на той же частоте ω, но со сдвигом фазы. Переизлученные волны, складываясь(интерферируя) с первичной волной, образуют волну, распространяющуюся в среде.Отставание по фазе вторичных волн по отношению к первичной волне (зависящее от частоты), приводит к тому, что фазовая скорость волны в среде отличаетсяот скорости света в вакууме и становится зависящей от частоты.Bблизи резонанса при |ω0 − ω| ¿ ω0 , и, следовательно, ω02 − ω 2 ≈ 2ω0 (ω0 − ω),выражения для n0 , n00 (10.13) и (10.14) упрощаютсяn0 (ω) = 1 +n00 (ω) =ωp2(ω0 − ω).4ω0 (ω0 − ω)2 + γ 2 /4ωp2γ.4ω0 (ω0 − ω)2 + γ 2 /4(10.19)(10.20)Формулы (10.13),(10.14),(10.19),(10.20), полученные с помощью модели Лоренца,описывают дисперсию и поглощение света в разреженной линейной изотропнойсреде.Как правило в оптике γ ¿ ω0 .
Типичные зависимости n0 (ω) и α(ω) показаны наРис.10.1. Зависимость показателя поглощения от частоты называют спектральным контуром линии поглощения. В рассматриваемой модели среды, состоящей изнеподвижных затухающих атомных осцилляторов, она имеет лоренцевскую формус максимумом при ω = ω0 .
Нетрудно убедится, что спектральная линия поглощенияимеет ширину (на полувысоте), равную γ.109РИС. 10.1. Дисперсионная кривая и контур поглощенияГрафик зависимости показателя преломления от частоты называют дисперсионной кривой. Показатель преломления n0 заметно отличается от единицы лишьвблизи полосы поглощения, причем максимальное и минимальное значения он достигает на частоте ω = ω0 ± γ/2, соответственно.В зависимости от знака производной ∂n/∂ω выделяют две области частот: областьнормальной дисперсии, где показатель преломления возрастает с ростом частотысвета (∂n/∂ω > 0), и область аномальной дисперсии, где показатель преломленияуменьшается с ростом частоты (∂n/∂ω < 0).
Как видно из Рис.10.1, область нормальной дисперсии расположена за пределами полосы поглощения, т.е. в в областипрозрачности вещества. Здесь |ω0 − ω| À γ, и для для показателя преломления,как это следует из (10.13), можно записатьn=1+1 ωp22 ω02 − ω 2(10.21)Значительно более узкая область аномальной дисперсии расположена вблизи центра линии поглощение света.Обратим внимание, что при ω > ω0 показатель преломления больше единицы, ив этом случае vp < c. При ω > ω0 показатель преломления становится меньшеединицы (n < 1), а значит скорость распространения света в веществе большескорости света в вакууме c. Но это не противоречит теории относительности, согласно которой скорость любых тел или сигналов не может превышать скорости светав вакууме, что не имеет никакого отношения к фазовой скорости монохроматическойволны.
Физическая причина того, что фазовые скорости могут быть больше c, состоит в следующем. Как показывает анализ, при ω > ω0 смещение заряда находится в~противофазе с внешней силой eE(t),а поле, образованное смещением заряда, усили~вает внешнее поле E(t), что в свою очередь приводит к увеличению возвращающейсилы, и фазовая скорость будет больше скорости света в вакууме.Изложенные результаты справедливы не только для электронов, но и для ионов.В последнем случае под m, e и N следует понимать массу, заряд и концентрациюионов.
Отметим, что заряд и масса ионов могут существенно отличаться от зарядаи массы электрона (особенно масса иона), поэтому резонансные частот также могутсильно отличаться от резонансных частот атомов.Опыт показывает, что обычно наблюдается не одна, а несколько линий поглощения даже для одноэлектронных атомов. Чтобы это учесть, в классической моделипринимается, что вещество построено из частиц различного типа — электронов и110ионов, которые ведут себя как затухающие осцилляторы с различными собственными частотами. В газах их взаимодействием можно пренебречь.
В этом случаеформула (10.11) принимает вид²(ω) = 1 +4πN e2fkΣk 2.mω0 − ω 2 + iωγ(10.22)Величины fk , называемые силами осцилляторов, удовлетворяют правилу суммΣk fk = 1.10.2. Распространение светового импульса в диспергирующей среде, групповаяскорость. До сих пор, рассматривая распространение света в среде, мы обсуждалиплоские монохроматические волны с определенной частотой и волновым вектором.Однако в большинстве случаев излучение не является монохроматическим и имеетвид импульсов. Ограниченная длительность импульса приводит к существованиюнекоторой конечной полосы частот или длин волн. Всякая среда обычно характеризуется дисперсией, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
