Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Далекий источник отбрасывает тень от непрозрачного предмета на экран.Пусть требуется определить интенсивность в точке P (Рис.8.14). Сложим волны,от точки D вверх до бесконечности и вниз от D до точки BP на Рис.8.12. Весь вкладнад областью BP до этой точки дается спиральной кривой. Если бы суммированиезаканчивалось в некоторой точке, то полная амплитуда представилась бы векторомот BP до этой точки. В нашем случае суммирование ведется до бесконечности,~ P ∞ . Точка на кривой, соответствующаятак что искомая амплитуда есть вектор Bточке BP , зависит от положения точки P , потому что точка D кривой всегда относится к выбранной точке P . Следовательно, в зависимости от положения P надB начальная точка, откуда проводится вектор, попадает в разные места спирали, и~ P ∞ имеет многочисленные максимумы и минимумы, т.е.результирующий вектор Bзависимость интенсивности на втором экране имеет осциллирующий вид, как показано на Рис.8.13 .
Но если мы находимся в точке Q, по другую сторону от P ,то нам понадобится только верхний конец спирали, т.е. начальной точкой результирующего вектора будет не D, а BQ , и, следовательно, книзу от P интенсивностьдолжна непрерывно падать при удалении Q в область тени. Нетрудно убедится, чтоинтенсивность в точке, лежащей прямо против края, равна 1/4 от интенсивностипадающего света, потому что для этой точки мы имеем только половину спиралив отличие от целой спирали, если бы точки лежали далеко в освещенной области.Если точка R расположена высоко, результирующий вектор проводится от центра одной спирали до центра другой, а для точки на краю тени амплитуда равна половинеэтого вектора. Следовательно отношение интенсивностей получается 1/4.Дифракция на диске и пятно Пуассона.
Предположим, что плоская монохроматическая световая волна падает по нормали на круглый непрозрачный диск радиусаr, а наблюдение поля ведется в некоторой точке P , расположенной в области геометрической тени на оси диска. Действуя как и в предыдущем случае, можно показать,что зависимость амплитуды световых колебаний A в точке наблюдения от радиусадиска r является монотонно убывающей, т.е. чем больше радиус диска, тем меньшеинтенсивность света в точке наблюдения. Действительно, если диск закрывает m92первых зон Френеля, то амплитуда результирующего поля в точке P равнаAm+1Am+1Am+3Am+1A = Am+1 − Am+2 + Am+3 − ...
=+(− Am+2 +) + ... =,2222т.е. даже в случае достаточно большого экрана, закрывающего сразу несколько зонФренеля, интенсивность света в центре геометрической тени отлична от нуля.Таким образом, теория Френеля предсказывает проникновение света в центр геометрической тени диска, установленного на пути плоской монохроматической световой волны. В свое время этот результат рассматривался как аргумент против теорииФренеля. Однако эксперименты, выполненные Д.Араго (1786-1853), показали, чтопри освещении непрозрачного диска светом точечного источника в центре областигеометрической тени действительно существует маленькое светлое пятно! Это пятнополучило название "пятно Пуассона— по имени автора идеи эксперимента.939. ЛЕКЦИЯ №9Теория дифракции Кирхгофа.
Приближение Френеля в теории дифракции;дифракция Френеля на одномерных структурах. Дифракция Фраунгофера какпространственное преобразование Фурье. Предел разрешения оптических приборов. Дифракционные решетки.9.1. Приближение Френеля в теории дифракции. Интеграл Гюйгенса-Френеля(8.1), полученный на основе качественных физических соображений, получил математическое обоснование в работах Кирхгофа на основе электродинамической теориисвета. Было показано, что его можно рассматривать как приближенное решение волнового уравнения с соответствующими граничными условиями, причем коэффициентK(ϕ) = (i/2λ)(1 + cos ϕ).
При малых углах ϕ получаем K(ϕ) ≈ i/λ. С учетом этогоинтеграл Гюйгенса-Френеля принимает вид:Ziexp (−ikρ)E(P ) =(9.1)E(M )dσ.λ Σρздесь E(P ) — комплексная амплитуда светового поля, Σ — поверхность, стягивающая отверстие, P — точка наблюдения поля, M — некоторая точка на поверхностиΣ, ρ — расстояние между точками M и P , λ — длина световой волны, k = 2π/λ —волновое число.В такой форме интеграл Гюйгенса-Френеля часто используется для количественных расчетов дифракционных картин. При расчетах дифракционных картин широкоприменяются два основных приближения теории дифракции, приближение Френеляи приближение Фраунгофера. Первое из них описывает дифракцию слаборасходящихся ("параксиальных") пучков света, а второе — дифракцию в дальней зоне.Сначала рассмотрим френелевское приближение на примере дифракции плоской монохроматической световой волны на отверстии.
Общее решение задачидифракции дается в этом случае интегралом (9.1).Введем координаты x, y в плоскости экрана с отверстием и координаты x0 , y0 вплоскости наблюдения, находящейся на расстоянии z от экрана с отверстием и параллельной ему (Рис.9.1). В этом случае дифракционный интеграл принимает вид:ZZ ∞exp (−ikρ)iE0 (x, y)E(x0 , y0 , z) =dxdy,(9.2)λ −∞ρpρ = z 2 + (x − x0 )2 + (y − y0 )2 .В оптике часто имеют дело с узкими слабо расходящимися пучками света, когдавыполняются неравенства z À x, y, x0 , y0 .
С учетом этих неравенств для ρ можноРИС. 9.1. К постановке задачи о дифракции94РИС. 9.2. К расчету дифракции плоской волны на щели.приближенно записатьρ=z+(x − x0 )2 + (y − y0 )2.2z(9.3)Подставляя (9.3) в (9.2) и пренебрегая отличием ρ от z в знаменателе подынтегрального выражения, получим¸·ZZ ∞i −ikz(x − x0 )2 + (y − y0 )2E(x0 , y0 , z) =eE0 (x, y) exp −ikdxdy.(9.4)λz2z−∞Формула (9.4) дает решение задачи дифракции в приближении Френеля.Формула (9.3) с физической точки зрения означает замену сферических волновыхфронтов вторичных волн Гюйгенса параболическими поверхностями.
Такое приближение накладывает определенные ограничения на допустимые размеры отверстия иположение точки наблюдения поля. Приближение Френеля исключает из рассмотрения некоторые области пространства: это область вблизи экрана с отверстием, атакже точки пространства, лежащие на больших расстояниях от оси пучка.
Однакоиз физических соображений ясно, что в первой из указанных областей световое полепочти такое же, как в падающей волне, а во вторую область свет почти не проникает.Поэтому этими областями можно пренебречь.Дифракция Френеля на щели. Если начальное поле E(x, y) зависит лишь от однойпространственной переменной, например, как в случае дифракции на одной щели,E0 (x, y) = E0 (x), говорят, что имеет место дифракция на одномерной структуре. Вэтом случае, вычисляя интеграл по y, для (9.4) можно записать·¸Z1 + i −ikz ∞ik(x − x0 )2E(x0 , z) = √eE0 (x) exp −dx.(9.5)2z2λz−∞При выводе (9.5) воспользовались известным интеграломrrµ¶Z ∞iky 22πzπzexp −= (1 − i).dx =2zikk−∞(9.6)Как пример, рассмотрим дифракцию на щели. Обозначим ширину щели d и направим ось x перпендикулярно щели (Рис.9.2). Поле на щели зададим в виде(1, |x| ≤ d/2;E0 (x) =(9.7)0, |x| > d/2.Подставив (9.7) в (9.5), получим1 + i −ikzeF (x0 ),E(x0 , z) = E(x0 ) √2λz·¸ik(x − x0 )2F (x0 ) =exp −dx,2z−d/2Z95d/2(9.8)РИС.
9.3. Дифракция плоской волны на щелиpВведем переменную ξ = (x − x0 ) k/zπ. Тогдаr Z ξ2¶µπziπξ 2F (x0 ) =dx,(9.9)exp −k ξ12ppгде ξ1 = −(d/2 + x0 ) k/πz, ξ2 = (d/2 − x0 ) k/πzРаспределение интенсивности света в дифракционной картине запишем в виде¯Z¶ ¯2µ¯1 ¯¯ ξ2iπξ 2I(x0 , z) = I0 ¯dx¯¯ ,(9.10)exp −22ξ1гдепадающей волны; ξ1 = −α(1 + p), ξ1 = α(1 − p), α =p I0 — интенсивность√2kd /4πz = 2NF (NF — число Френеля), p = 2x0 /d.Интеграл в (9.10) удобно записать через интегралы Френеля C(ξ) =RξRξcos (πt2 /2)dt и S(ξ) = 0 sin (πt2 /2)dt, которые играют важную роль в теории0дифракции:µ¶Z ξ2iπξ 2exp −dx = [S(ξ1 ) − S(ξ2 )]2 + [C(ξ1 ) − C(ξ2 )]2 .(9.11)2ξ1Функции S(ξ) и C(ξ) — это специальные функции, которые затабулированы, а таблицы имеются в соответствующих справочниках.Вид дифракционной картины существенно зависит от числа Френеля.
При NF À 1дифракция почти не проявляется (Рис.9.3 а): профиль интенсивности излученияостается почти прямоугольным, ширина пучка остается равной ширине щели, а интенсивность света оси пучка совпадает с интенсивностью падающей волны. Влияниедифракции заметно лишь вблизи границы области геометрической тени, где наблюдаются осцилляции интенсивности и свет слегка проникает в область геометрической тени. По мере удаления точки наблюдения от экрана со щелью, число Френеляуменьшается.
В области, где NF ' 1 (Рис.9.3 б), интенсивность света на оси пучкаиспытывает значительные осцилляции, появляются боковые максимумы интенсивности, однако ширина светового пучка все еще примерно равна ширине щели. Вдальней зоне, где NF ¿ 1, световой пучок сильно уширяется и поперечный профильпучка уже не имеет ничего общего с исходным профилем (Рис.9.3 в).96РИС. 9.4. К постановке задачи дифракции Фраунгофера9.2.
Дифракция Фраунгофера как пространственное преобразование Фурье.Дифракция Фраунгофера или дифракция в параллельных лучах наблюдается, еслиисточник света и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызвавшегодифракцию. Схема наблюдения фраугоферовской дифракции показана на Рис.9.4.Опыты по дифракции световых пучков показывают, что на достаточно большомрасстоянии, или, как говорят, в дальней зоне угловое распределение интенсивностиизлучения перестает зависеть от координаты z, отсчитываемой вдоль оси пучка.Картина дифракции приобретает устойчивую структуру, вид которой зависит толькоот распределения поля в начальном сечении. Дифракцию в дальней зоне называютдифракцией Фраунгофера.Пусть плоская монохроматическая световая волна нормально падает на экран сотверстием, расположенный в плоскости z = 0 (Рис.9.4).
Вычислим распределениеинтенсивности излучения в некоторой плоскости x0 , y0 , параллельной экрану с отверстием и расположенной на достаточно большом расстоянии z от него. Используемформулу Гюйгенса-Френеля (9.1).Пусть O — некоторая pточка в плоскости экрана с отверстием, которую мы примемза начало отсчета, а b = z 2 + x20 + y02 — расстояние от точки O до точки наблюденияполя P . В параксиальном приближении, когда z À x, y, x0 , y0 , для ρ можно записать:ρ=b+x2 + y 2 xx0 + yy0−2bb(9.12)Подставляя (9.12) в интеграл Френеля (9.1), получимiE(x0 , y0 , z) = e−ikbλbZ∞Z·¸·¸ik(x2 + y 2 )ik(xx0 + yy0 )E0 (x, y) exp −expdxdy (9.13)2bb−∞В одномерном случаеi + 1 −ikbeE(x0 , y0 , z) = √2λbZµ∞ikx2E0 (x) exp −2b−∞¶exp (ikx sin θ)dx,(9.14)где sin θ = x0 /b — имеет смысл угловой координаты точки наблюдения поля.Формулы (9.14) соответствуют френелевскому приближению. Из нее следует, чтоугловое распределение поля в дифракционной картине меняется по мере изменениярасстояния z.
Однако в области больших z это изменение становится все более иболее слабым и приkd2 /2b ¿ 1z À zd = kd2 /2,или97(9.15)где d — максимальный поперечный размер отверстия в экране, а zd — дифракционная длина пучка, устанавливается устойчивое угловое распределение поля, определяемое формулойZi + 1 −ikb ∞E(x0 , y0 , z) = √eE0 (x) exp (ikx sin θ)dx,(9.16)2λb−∞Область пространства, определяемая условием (9.15), называется дальней зонойдифракции или зоной Фраунгофера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
