Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 22
Текст из файла (страница 22)
8.7. Зависимость амплитуды света в точке наблюдения от радиусаотверстия. r0,1,2, — радиусы френелевских зон.зоны Френеля (Рис.8.6 б). С увеличением номера зоны, элементарные векторы, изображающие ее подзоны, становятся короче. Это отражает уменьшение общего вклададанной зоны в суммарное дифракционное поле, связанное с увеличением угла наклона зоны, т. е. с фактором K(ϕ). Продолжая процедуру построения векторной диаграммы для все большего числа зон, получим скручивающуюся спираль.
(Рис.8.6 г)Отметим, что при увеличении числа подзон каждой зоны, ломанная линия векторнойдиаграммы будет все больше приближаться к гладкой кривой. В предельном случае,когда открыты все зоны Френеля и число подзон каждой зоны стремится к бесконечности, получим векторную диаграмму, которая имеет вид гладкой скручивающейсяспирали, которую и называют спиралью Френеля.Таким образом, результирующее поле EP в точке наблюдения можно представитьв виде суммы AP = A0 − A1 + A2 − E3 + ... + An , где An — амплитуда поля, создаваемое соответствующей зоной Френеля (n = 0, 1, 2, ... — номер зоны Френеля, причемA0 > A1 > A2 > A3 и т.д. Отсюда следует, что амплитуда света в точке наблюдения немонотонно (осциллирующее) зависит от радиуса отверстия, как показано наРис.8.7.
Причем максимальная интенсивность света в точке наблюдения достигаетсяна расстоянии, при котором отверстие совпадает с нулевой зоной Френеля. В этомслучае амплитуда поля в два раза (а интенсивность света в 4 раза) выше, чем вотсутствие экрана.Из определения френелевских зон следует, что по отношению к данной точке наблюдения поля две соседние зоны действуют как источники света, колеблющиеся впротивофазе — посылаемые ими световые волны в значительной степени гасят другдруга за счет деструктивной интерференции.
Все четные зоны Френеля дают вкладв результирующее поле одного знака. Все нечетные – противоположного знака. Поэтому если каким-либо образом "выключать" все четные либо все нечетные зоны,можно получить значительное увеличение интенсивности света в точке наблюдения. Такая платинка называется зонной пластинкой Френеля. Можно сказать, чтозонная пластинка перераспределяет световое поле в пространстве или фокусирует свет аналогично как это делает линза. Из формулы (8.9) следует. что фокусноерасстояние F связано с радиусами френелевских зон rn следующим соотношениемprn = (n + 1)λF .(8.12)Ближняя и дальняя зоны дифракции.
Рассмотрим теперь, как меняется интенсивность света I на оси отверстия по мере увеличения расстояния z от экрана сотверстием. Зафиксируем радиус отверстия r. По мере удаления от экрана числозон Френеля на отверстии уменьшается, пока, наконец, в пределах отверстия неостанется одна нулевая зона Френеля. В этот момент интенсивность света I в точке88РИС. 8.8. Зависимость интенсивности света на оси отверстия от расстояния до экрана. zd — дифракционная длина светового пучкаРИС.
8.9. Дифракциия светового пучка и угол дифракционной расходимости θdнаблюдения достигает максимума (Рис.8.8), после чего монотонно убывает с ростомрасстояния z. Расстояние zd , при котором отверстие совпадает с нулевой зоной Френеля, называют дифракционной длиной светового пучка. Она определяет границумежду двумя различными зонами. Зона, для которой z ¿ zd , называется ближнейзоной дифракции.
В этой зоне световой пучок сохраняет структуру, заданнуюформой отверстия, а интенсивность света на оси пучка примерно равна интенсивности исходной световой волны. Для точек ближней зоны в пределах отверстияпомещается множество зон Френеля, и поперечный профиль пучка поддерживаетсяпостоянным за счет интерференции элементарных вторичных волн, идущих от разных зон Френеля и его можно считать параллельным. Зона, для которой z À zdназывается дальней зоной дифракции В этой зоне интенсивность света на оси пучка много меньше интенсивности исходной волны, следовательно, световой пучокрасширяется. Для точек дальней зоны в пределах отверстия помещается толькоцентральная часть нулевой зоны Френеля. Интерференция элементарных вторичныхволн выражена слабее.
Она уже не в состоянии поддерживать исходный поперечныйпрофиль пучка, пучок становится расходящимся. Характер изменения поперечного размера светового пучка в процессе дифракции показан на Рис.8.9. Используяопределение дифракционной длины zd и формулу (8.9), получаем, что zd = r2 /λ (r—радиус пучка). Дифракционная длина связана с числом Френеля NF = r2 /λz соотношением NF = zd /z.
Откуда следует, что в ближней зоне NF À 1, а в дальней —NF ¿ 1.Оценим дифракционную расходимость пучка θd (Рис.8.9), исходя из представлений об интерференции элементарных вторичных волн. Полагая, что положениеграницы светового пучка определяется деструктивной интерференцией лучей, приходящих от противоположных границ отверстия, т.е. условием ∆ = λ/2, где ∆ —разность хода (Рис.8.10).
Отсюда видно, что ∆ ≈ d sin θd /2, где d — диаметр отверстия. Как правило, дифракционная расходимость невелика (θd ¿ 1, поэтому можно89РИС. 8.10. К расчету дифракционной расходимости светового пучкаРИС. 8.11. Построение зон Френеля при дифракции на краю экрана.приближенно записать ∆ ≈ dθd /2, из которого следует, чтоθd = λ/d.(8.13)Итак, дифракционная расходимость светового пучка в дальней зоне определяется отношением длины волны к начальному диаметру пучка d: дифракционнаярасходимость пучка тем больше, чем меньше его начальный размер.
Диаметрпучка в дальней зоне выражается формулой d(z) = zθd = zλ/d, z — координата,отсчитываемая вдоль пучка от экрана с отверстием. Оценим дифракционную длинуzd и угловую расходимость θd для пучка гелий -неонового лазера: для d = 2 мм,λ = 0.6 мкм получим zd = 1.5 м, θd = 3 · 10−3 рад.8.3. Дифракция на краю непрозрачного экрана. Эта задача относится задача кчислу основных проблем теории дифракции или, так именно ее решение дает объяснение как происходит переход от света к тени на границе геометрической тени.Предположим, что плоская монохроматическая световая волна встречает на своемпути полубесконечную непрозрачную плоскость с прямолинейной границей ("крайэкрана").
Считая, что световая волна распространяется по нормали к экрану, найдемраспределение света в плоскости наблюдения, параллельной экрану и находящейсяна некотором расстоянии l от него (Рис.8.11). Для построения дифракционной картины воспользуемся методом зон Френеля. В качестве поверхности Σ, излучающейвторичные волны, выберем плоскость, являющуюся продолжением экрана; эта поверхность совпадает с волновым фронтом световой волны. Введем френелевские зоныдля точки M , лежащей в плоскости наблюдения точно под краем экрана (Рис.8.11).90РИС. 8.12.
Симметричная спираль ФренеляВ данном случае зоны Френеля имеют вид плоских полос, параллельных краю экрана. Обозначая границы зон буквами O1 , O2 , O3 ..., можно записать:OM = l,O1 M = l + λ/2,O2 M = O1 M + λ/2,..........(8.14)где λ — длина световой волны. Обозначим через dn расстояние от края экрана доначала френелевской зоны с номером n. Очевидно, чтоd2n = OOn2 = (l + nλ/2)2 − l2 = nlλ + (nλ/2)2 .(8.15)Учитывая, что l À λ и пренебрегая последним слагаемым, получим приближенно√dn = nlλ.(8.16)Используя эту формулу, нетрудно подсчитать площадь n-й зоны Френеля:r√√√√L λlL λlSn = (dn+1 − dn )L = ( n + 1 − n)L λl = √(8.17).√ ≈2 nn+1+ nЗдесь L – длина края экрана.
Таким образом, в данном√ случае площади френелевских зон уменьшаются с ростом номера зоны n как 1/ n.Теперь разделим каждую зону Френеля на большое (в пределе — бесконечно большое) число подзон. Для определения дифракционного светового поля нужно просуммировать световые колебания, создаваемые в точке наблюдения элементарнымивторичными волнами, приходящими от всех открытых зон и подзон.
Суммированиеможно провести методом векторной диаграммы. При этом следует учесть, что поскольку при удалении от края экрана ширина френелевских зон уменьшается, длинавектора, изображающего вклад отдельной подзоны, будет тем меньше, чем дальшерасположена зона от края экрана. В итоге векторная диаграмма приобретает вид,показанный на Рис.8.12 (верхняя часть).Предположим теперь, что при фиксированной точке наблюдения поля M (Рис.8.11)край экрана начинает отодвигаться влево. В этом случае будут "открываться" зоныФренеля, расположенные слева от первоначального положения края экрана.
Картинарасположения границ зон Френеля справа и слева от точки O симметрична, поэтомусимметричной будет и соответствующая спираль Френеля (Рис.8.12). Пользуясьспиралью Френеля, можно построить полную картину дифракции света на краюэкрана.91РИС. 8.13. Ход интенсивности вблизи края тени. Геометрический крайтени находится в точке x0 .РИС. 8.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
