Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Так как пропускание зависит от длины волны,то интерферометр Майкельсона может служить фильтром, или селективным подлинам волн отражателем света. В этой последней роли он часто используетсядля селекции частот в лазерах.Отметим, что интерференционная картина, наблюдаемая с помощью интерферометра Майкельсона, весьма чувствительна к различным малым возмущениям, таким как механическое смещение зеркал, изменение состава, температуры и плотности среды, через которую проходят световые лучи.
Поэтому интерферометр можноиспользовать для различных точных измерений. Например, с помощью интерферометра можно измерить механическое смещение порядка длины световой волны, т.е. около ∼ 10−4 см. При необходимости точность измерения может быть повышена еще на несколько порядков. Такие точные измерения используют, например, всейсмологии для регистрации движений земной коры.Интерферометр Майкельсона используют для абсолютного измерения длин световых волн. Для этого нужно подсчитать число максимумов, возникающих на экраненаблюдения при смещении подвижного зеркала интерферометра на известное расстояние ∆z.
Тогда длина волны λ = 2∆z/N . Эта техника использовалась для оченьточных измерений длин волн излучения лазеров.69ЛЕКЦИЯ №7Многолучевая интерференция, интерферометр Фабри-Перо. Интерференцияквазимонохроматического света: временная когерентность и время когерентности; функция когерентности; пространственная когерентность и площадькогерентности.7.1. Многолучевая интерференция, интерферометр Фабри-Перо. До сих пор мырассматривали интерференцию двух перекрывающихся волн.
Для увеличения резкости интерференционной картины часто используют принцип многолучевой интеферометрии, когда в образовании интерференции участвуют сразу несколько (болеедвух) световых волн. Рассмотрим основные особенности многолучевой интерференции на примере плоско параллельной пластинки, обе грани которой хорошо отражают свет (Рис. 7.1), либо двух зеркал, установленных параллельно.
Первый из нихназывают эталоном Фабри-Перо, а второй — интерферометром Фабри-Перо.Пусть плоская монохроматическая световая волна падает на эталон Фабри-Перо.Свет, частично проникая внутрь, многократно отражается от граней, как показано наРис. 7.1. Для наблюдения интерференции на выходе интерферометра ставят линзу,в фокальной плоскости которой наблюдают полосы равного наклона.
При каждомотражении часть излучения выходит наружу, образуя набор волн, которые интерферируют между собой. В прошедшем свете интерференционная картина имеет видузких светлых полос на почти совершенно темном фоне (Рис. 7.2). (Подумайте, чтобудет в отраженном свете.)Рассмотрим основные характеристики возникающей при этом интерференционнойкартины. Пусть ρ, τ — коэффициент отражения и пропускания света по амплитудеволны для каждой из граней пластинки, причем ρ2 + τ 2 = 1 (поглощение не учитываем); ρ2 = R, τ 2 = T — коэффициенты отражения и пропускания по интенсивности.Обозначим амплитуду падающей волны A0 , а прошедшей через пластинку — A,РИС.
7.1. Схема многолучевой интерферометрии светаРИС. 7.2. Интерференционная картина в эталоне Фабри-Перо (линииравного наклона).70которую можно записать как суперпозицию (сумму) всех прошедших лучей:A = A0 τ 2 + A0 τ 2 ρ2 eiδ + A0 τ 2 ρ4 e2iδ + ..... = A0 τ 2 (1 + ρ2 eiδ + ρ4 e2iδ + .....),(7.1)где δ = k · ∆ — набег фазы световой волны за двойной проход через пластинку;∆ = 2hn cos β — оптическая длина пути, n — показатель преломления материалапластинки, h — ее толщина, β — угол преломления света в пластинке, связанныйс углом падения α формулой sin α = n sin β. В формуле (7.1) учтено, что первыйпрошедший луч дважды проходит через границы пластинки, второй — дважды проходит и дважды отражается на границах, третий — дважды проходит и четыреждыотражается и т д.Для набега фазы можно записать4πhn cos β.(7.2)λВ круглых скобках (7.1)) стоит сумма бесконечно убывающей геометрической прогресии соPзнаменателем q = ρ2 eiδ , модуль которого меньше единицы.
Используяn−1формулу ∞n=0 q = (1 − q) , находимδ=A = A0τ2.1 − ρ2 eiδ(7.3)В результате для коэффициента пропускания света пластинкой T (δ) = I/I0 =|A/A0 |2 получаем следующее выражение:τ41T (δ) =,=iδ2|1 − Re |1 + F sin2 δ/2(7.4)где величина F = 4R/(1 − R)2 называется фактором резкости, который характеризует резкость интерференционной картины.На Рис. 7.3 показана зависимость T (δ) для двух разных значений параметраF = 0.1 и F = 10. Видно, что чем F больше, тем полосы пропускания интерферометра уже (интерференционная картина резче выражена). Сравнение интерференционных картин, наблюдаемые с помощью интерферометра Майкельсона и интерферометра Фабри-Перо, показывает, что многолучевая интерференция значительно увеличивает резкость интерференционной картины, т.е.
интерференционныеполосы в интерферометре Фабри-Перо значительно уже, чем в двухлучевых интерферометрах. Фактор резкости F тем больше, чем выше коэффициент отраженияна гранях пластинки. Для зеркальной поверхности R может достигать величиныРИС. 7.3. Зависимость функции T (δ) при разных значениях факторарезкости F71R = 0.99 и выше. В этом случае F ≥ 4 · 104 . Высокая резкость интерференции в интерфероментре Фабри-Перо позволяет использовать его как спектральный приборвысокой разрешающей способности.7.2.
Интерференция квазимонохроматического света. Уже отмечалось, чтообычные (нелазерные) источники света являются немонохроматическими, поэтомуих излучение не может интерферировать. Однако во многих случаях их можно считать квазимонохроматическими. При описании интерференции квазимонохроматического света важную роль играет понятие когерентности.
Различают временную и пространственную когерентность.Временная когерентность и время когерентности. Понятие временной когерентности рассмотрим на примере интерферометра Майкельсона (Рис. 6.5 д). Предположим, что свет является квазимонохроматическим, т.е. его ширина частот ∆ωмала по сравнению со средней частотой ω0 этой полосы (∆ω ¿ ω0 ). С помощьюполупрозрачной пластинки световой пучок разделяется в интерферометре Майкельсона на два пучка, которые снова соединяются, приобретая разность хода ∆ = c · ∆t(c — скорость света, ∆t — время задержки между пучками света). Если разностьхода ∆ достаточно мала, в плоскости наблюдения образуются интерференционныеполосы. Говорят, что возникновение интерференционных полос является проявлением временной когерентности между двумя пучками, поскольку контраст междуполосами зависит от времени задержки ∆t.
Экспериментально установлено, что интерференционные полосы наблюдаются только тогда, когда выполняется условие∆ω · ∆t ≤ 2π.(7.5)Время задержки ∆t ' 2π/∆ω = τc называется временем когерентности света, асоответствующая разность хода ∆ = lc = c · τc = 2πc/∆ω — продольной длинойкогерентности света или (коротко) длиной когерентности. Поскольку ω = 2πc/λ,где λ — длина волны, ∆ω = 2πc · ∆λ/λ20 , выражение для длины когерентности можнозаписать в видеλ0lc =λ0 ,(7.6)∆λгде λ0 — средняя длина волны света.Приближенно это явление можно интерпретировать следующим образом.
Каждая частотная компонента, присутствующая в спектре света, создает в пространствесвою интерференционную картину — периодические полосы. Результирующую картину в плоскости наблюдения можно рассматривать как результат сложения этихраспределений. Распределения, созданные различными частотными компонентами,будут иметь различную пространственную периодичность. Поэтому с увеличениемвремени задержки между двумя пучками интерференционная картина будет становиться все менее и менее различимой, так как минимумы одного распределениябудут налагаться на максимумы другого.
В результате картина окажется однородной, так как в ней не будет выраженных максимумов и минимумов интенсивности,т.е. интерферограмма не формируется. Это происходит, когда время задержки ∆tстановится больше времени когерентности τc (∆t > τc ), и интерференционныеполосы исчезают.Математически это явление описывается, используя понятие корреляций. Мы ужеотмечали, что квазимонохроматический свет можно рассматривать как стационарный случайный процесс, и представлять его в виде последовательности медленно72модулированных волновых цугов со средней частотой, равной средней частоте света ω0 , и длительностью порядка обратной ширины полосы частот света (∆ω −1 ), т.е.порядка времени когерентности τc .
Делитель пучка интерферометра Майкельсонарасщепляет каждый волновой цуг на два одинаковых цуга. Волновые цуги двухпучков вновь складываются в плоскости наблюдения. При этом цуги, порожденныеодним падающим волновым цугом, оказываются сдвинутыми друг относительно друга, поскольку между пучками возникает временная задержка. Ясно, что корреляция(согласование) между двумя пучками будет иметь место в плоскости наблюденияв том случае, если время задержки мало по сравнению со временем когерентности(∆t ¿ τc ), т.е.
когда налагаются части одного и того же цуга. Если же времязадержки ∆t значительно больше, чем время когерентности τc , то корреляция будет отсутствовать, так как налагаются разные цуги. Таким образом, наличие илиотсутствие интерференционных полос в плоскости наблюдения связано с корреляцией или отсутствием корреляции между двумя световыми пучками, достигающихплоскость наблюдения, соответственно.
Для наблюдения интерференционной картины разность хода не должна превышать длину когерентности, используемогосвета.Для примера, дающего представление о типичных порядках величин времени идлины когерентности, рассмотрим белый свет, занимающий видимый диапазон отλ1 = 0.4 мкм до λ1 = 0.8 мкм с шириной полосы ∆ν = ν1 − ν2 = 1/λ1 − 1/λ2 ≈104 см−1 и излучение лазера.
В первом случае длина когерентности составляет lc =10−4 см. Чтобы увеличить длину когерентности, используют спектральные фильтрыдля выделения более узкой полосы спектра. Для излучения гелий-неонового лазера∆ν = 0.04 см−1 , соответственно, длина когерентности lc = 25 см.Рассмотрим теперь количественное описание временной когерентности. Пустьколебание в некоторой точке наблюдения создано суперпозицией двух квазимонохроматических волн E1,2 (t) = E1,2 (t) exp (iω0 t) = A1,2 (t)eiϕ1,2 (t) exp (iω0 t) с одинаковойнесущей частотой ω0 .
Тогда суммарное поле в этой точке равно E(t) = E1 (t) + E2 (t).Регистрируемая приемником интенсивность есть I ∼ |E(t)|2 = |E1 (t) + E2 (t)|2 , поэтому интенсивность результирующего колебания можно представить в видеI = I1 + I2 + 2Re E1 E2∗ = I1 + I2 + 2Re E1 E2∗ ,(7.7)где I1,2 = |E1,2 |2 — интенсивности слагаемых волн.Формула (7.7) представляет собой наиболее общее выражение, справедливое длялюбой двухлучевой интерференционной схемы. Третье (интерференционное) слагаемое отражает тот факт, что интенсивность результирующего колебания можетотличаться от суммы интенсивностей, т.е.описывает явление интерференции.Пусть волны E1,2 (t) вышли из одного источника, но в точку наблюдения пришли по разным путям, например, как в интерферометре Майкельсона.
Тогда вточке наблюдения их можно представить в виде: E1 (t) = α1 E(t) = α1 E(t) exp (iω0 t),E2 (t) = α2 E(t + τ ) = α2 E(t + τ ) exp (iω0 (t + τ )), так как одна волна запаздывает поотношению по отношению к другой на время τ , определяемое разностью хода. Коэффициенты пропорциональности α1,2 учитывают ослабление волн из-за сферическойрасходимости или поглощения.C учетом этого для среднего значения E1 (t)E2∗ (t) можно записатьE1 (t)E2 (t) = α1 α2 E(t)E ∗ (t + τ ) = α1 α2 Γ(τ ).73(7.8)ФункцияΓ(τ ) =E(t)E ∗ (t+ τ) =E(t)E ∗ (tiω0 τ+ τ )e1=∆TZt+∆T /2E(t)E ∗ (t + τ )dteiω0 τ =t−∆T /2= A(t)A∗ (t + τ )ei∆ϕ eiω0 τ (7.9)называется функцией корреляции или функцией временной когерентности квазимонохроматической волны E(t) со случайной амплитудой A(t) и фазой ϕ(t)). Здесьчерта сверху означает усреднение по времени на интервале ∆T , ∆ϕ = ϕ(t) − ϕ(t + τ ).При τ = 0 функция Γ(τ ) равна интенсивности света1Γ(0) = I =∆TZt+∆T /2E(t)E ∗ (t)dt.(7.10)t−∆T /2Заметим, что Γ(0) равна сумме действительных положительных чисел E(ti )E ∗ (ti ) =A2 (ti )∆ti , т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
