Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Отметим, чтоглавные плоскости и главные точки могут лежать как внутри, так и вне системысовершенно несимметрично относительно поверхностей, ограничивающих систему.Всякая оптическая система характеризуется линейным или поперечным увеличением, которое определяется как отношение V = y2 /y1 , где y1,2 линейный (поперечный) размер ("высота") предмета и изображения, соответственно.
В параксиальномприближении V = y2 /y1 = n1 a2 /n2 a1 (a1,2 — расстояние от предмета (изображения)до оптической системы). Плоскости, в которых V = 1, называются сопряженными.Кроме линейного увеличения, систему также характеризуют угловым увеличениемW , определяемое соотношением:tg u2,(5.3)W =tg u1где u1,2 — углы между лучами A1 M1 , A2 M2 и оптической осью (Рис.5.2). Так как49РИС. 5.2.
К определению углового увеличения системы. A1 M1 , A2 M2 —сопряженные лучи, F1,2 — фокусы, H1,2 — главные точки, H1 M1 , H2 M2— главные плоскости, N1,2 — узлы.РИС. 5.3. Кардинальные точки и плоскости систем: F1,2 — главные фокусы, N1,2 — узлы, H1,2 — главные точки.H1 M1 = H2 M2 (Рис.5.2), то W = a1 /a2 . Очевидно, что W V = n1 /n2 или W V = 1при n1 = n2 .Точки, в которых угловое увеличение W = 1, называются узлами или узловымиточками. Для них характерно, что сопряженные лучи, проходящие через узлы, параллельны друг другу, так как u1 = u2 .
Можно показать, что в каждой системе такойпарой точек будут точки N1 и N2 (Рис.5.3), отстоящие от первого и второго фокусовсоответственно на расстояния, равные второму и первому фокусным расстояниям,т.е. x1 = F1 N1 = f2 и x2 = F2 N2 = f1 . Точки N1,2 являются сопряженными, так каких координаты удовлетворяют уравнению x1 x2 = f1 f2 . Их расстояния относительноглавных плоскостей равны соответственно H1 N1 = a1 = f2 −f1 и H2 N2 = a2 = f2 −f1 ,и следовательно, для этих точек W = a1 /a2 = 1. Плоскости, проходящие через узлыперпендикулярно к оптической оси, называются узловыми плоскостями.Шесть плоскостей (две фокальные, две главные и две узловые) и шесть точекглавной оси, им соответствующие (фокусы, главные точки, узлы), называются кардинальными (Рис.5.3).
Когда по обе стороны системы располагается одна и та жесреда, фокусные расстояния равны (f1 = −f2 ). Узловые точки теперь сливаются сглавными, так как F1 N1 = F2 N2 = f2 , и система характеризуется положением всеголишь четырех точек и плоскостей.Зная свойства кардинальных плоскостей и точек, можно построить изображение в любой системе, пользуясь двумя лучами, исходящими из одной точки.При этом для линз отпадает требование тонкости. Рис.5.4 показывает, как можно построить изображение в толстой линзе, если дано расположение ее главныхплоскостей и фокусов.
Здесь проведены лучи, построение которых особенно просто50РИС. 5.4. Построение изображений в системе с использованием кардинальных точек. F1,2 — фокусы, H1,2 — главные точки, H1,2 D1,2 —главные плоскости, N1,2 — узлы. Здесь главные точки и узлы совпадают, так как показатели преломления слева и справа от оптическойсистемы одинаковы.определяет положение точки B 0 , сопряженной с точкой B.
В силу гомоцентричностипучка любой другой луч из B пройдет через B 0 . Луч 1, проведенный параллельноглавной оси, имеет в качестве сопряженного луч 10 , пересекающий вторую главнуюплоскость на высоте H2 D2 = H1 D1 и проходящий через фокус F2 . Луч 2 идущийчерез узел N1 имеет сопряженный луч 20 , проходящий через второй узел параллельно лучу 2.
Луч 3, проходящий через фокус F1 и пересекающий главную плоскостьна высоте H1 C1 = H1 D1 , пройдет на той же высоте (H1 C1 = H2 C2 ) через вторуюглавную плоскость и пойдет параллельно главной оси. Для построения изображенияможно ограничиться двумя лучами из трех.Tонкая линза может рассматриваться как частный случай толстой линзы, в которой точки H1,2 совпадают и главные плоскости сливаются.
Узловые точки, совмещенные с H1,2 , также совпадут, образуя оптический центр линзы. Построениеизображения производится также при помощи каких-либо двух простейших лучей.Часто приходится иметь дело с изображением пространственных предметов, отдельные точки которых лежат на разных расстояниях от главной плоскости. Поэтомувводят продольное увеличение U , показывающее отношение длины изображения ∆x2к длине изображаемого малого отрезка ∆x1 , если последний расположен вдоль оси.Отметим, что речь идет об увеличении малых по длине отрезков, ибо продольноеувеличение для разных точек оси различается очень значительно.
Используя выражение формулы (Ф) для V можно получить следующее выражение:n2U = V 2,(5.4)n1где V = y2 /y1 — линейное увеличение (y1,2 — поперечный линейный размер предметаи его изображения, соответсвенно). Продольное увеличение характеризует резкостьизображения пространственного объекта на экран ("глубину оптической системы").Между U, W и V существует связьUW = V(5.5)Теория идеальной оптической системы носит совершенно общий характер, т.е.применима к аксиально симметричным системам произвольной конструкции. Система оказывается полностью заданной, если известно взаимное расположение четырех кардинальных точек. Положение этих точек в каждой конкретной системе,разумеется, зависит от ее конструкции (от кривизны преломляющих и отражающих поверхностей, их расположения, показателя преломления и т. п.).
Существуетнесколько методов анализа преобразования оптических лучей системе и нахождения51РИС. 5.5. Параметры y, α меридионального луча: z — оптическая ось,ОП — опорная плоскостькардинальных точек. На практике широко используется изящный метод, основанныйна использовании специальных матриц.5.2. Элементы матричной оптики. Преобразование луча в оптической системеудобно описывать с помощью матриц. В оптической системе сферические и плоскиеповерхности служат границами раздела различных однородных сред.
Траектория луча состоит из отрезков прямых линий — векторов. По определению, центрированныеоптические системы обладают цилиндрической симметрией, по крайней мере наотдельных участках. Это позволяет существенно упростить трехмерную задачу преобразования вектора-луча, сведя ее к двумерной: рассматриваются лучи, лежащие вплоскости в сечения, проходящей через главную оптическую ось.
Такая плоскостьназывается меридиональной, а лучи, лежащие в этой плоскости, - меридиональными.Будем рассматривать только меридиональные лучи, лежащие в одной плоскостиyz с главной оптической осью z. Выберем некоторую плоскость, перпендикулярнуюоптической оси z — опорная плоскость (ОП). Любой меридиональный луч можно определить заданием двух параметров: координаты y точки его пересечения сопорной плоскостью и угла α, который он составляет с осью z (Рис.5.5).
В дальнейшем для характеристики направления луча удобно вместо α использовать параметрV = nα (произведение показателя преломления среды на угол α).Преобразование параметров y и V луча при переходе от одной опорной плоскостиОП1 к другой ОП2 в параксиальном приближении является линейным. Для любойпары опорных плоскостей оно имеет вид:y2 = Ay1 + BV1 ,V2 = Cy1 + DV1 .Это преобразование можно записать в матричной форме:¶¶ µ¶µµA By1y2=V1V2C D(5.6)(5.7)Опорные плоскости можно выбирать в разных местах оптической системы. Для данной пары плоскостей ОП1 и ОП2 преобразование параметров любого параксиальноголуча описывается одной и той же матрицей, сопоставляемой промежутку между ОП1и ОП2 .
Ее элементы A, B, C, D зависят от свойств этого промежутка, т.е. от того какие преломляющие поверхности и какие среды находятся между этими опорнымиповерхностями. Матрица, описывающая преобразование лучей всей оптической системой, получается перемножением матриц, сопоставляемых отдельным промежуткам.52РИС. 5.6. К выводу матрицы преобразования для оптического промежуткаРИС. 5.7.
К выводу матрицы преломления на сферической поверхностиДля описания поведения параксиального луча в центрированной оптической системе достаточно знать матрицы преобразования для трех основных элементов: оптического промежутка (т. е. участка однородной среды), преломляющей и отражающейповерхностей.Оптический промежуток между ОП1 и ОП2 (Рис. 5.6) характеризуется толщиной l и показателем преломления n. Преобразование параметра y можно найти изРис.5.6: y2 = y1 + l tan α1 . В параксиальном приближении углы наклона лучей считаются малыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
