Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 11
Текст из файла (страница 11)
4.3. Преломление и отражение света на плоской поверхностипучок (Рис.4.3). Ниже мы покажем, чтоn1 sin θ1 = n2 sin θ2илиn2sin θ1== n,sin θ2n1(4.22)где n — относительный показатель преломления. Соотношение (4.22) называетсязаконом преломления Снеллиуса.При явлениях преломления и отражения имеет место закон взаимности или обратимости световых лучей, который означает, что при преломлении и отражениина границе двух сред лучи остаются взаимными, т.е. при изменении направлениялучей на обратное их взаимное расположение не меняется.Эйконал. В плоской монохроматической волне, распространяющейся в изотропнойоднородной среде с показателем преломления n, зависимость напряженности поляот координат и времени имеет вид:E(~r, t) = E0 exp i(k0 n~s~r − ωt),(4.23)где ~s = ~k/k — единичный вектор, называемый лучевым вектором, указывает направление распространения плоской волны; ~k = ~sk = k0 n~s, k0 = ω/c = 2π/λ0 —волновое число.
В неоднородной среде показатель преломления есть функция координат n = n(~r), и выражение (4.23) уже не является решением уравнений Максвелла.В том случае решение можно искать в виде:E(~r, t) = E0 (~r) exp [ik0 S(~r) − ωt].(4.24)Величину S(~r) называют эйконалом. Она представляет собой вещественную скалярную функцию координат. Предполагая, что S(~r) и амплитуда E0 (~r) медленноизменяются от координаты ~r рассматриваемой точки, можно показать, что (4.24)является приближенным решением уравнений Максвелла в случае больших k0 (илималых длин волн λ0 ) при условии, что S(~r) удовлетворяет так называемому уравнению эйконала. Найдем его.Напряженность поля E(~r, t) при λ0 → 0 испытывает быстрые осцилляции в пространстве, но амплитуда E0 (~r) и эйконал S(~r) изменяются медленно, оставаясь конечными по величине. В малых участках пространства S(~r) вблизи ~r0 можно разложить в ряд, ограничиваясь членами первого порядка:S(~r) = S(~r0 ) + (~r − ~r0 )(∂S/∂~r)~r0 = S(~r0 ) + (~r − ~r0 )∇S,где ∇ = ~i∂/∂x + ~j∂/∂y + ~k∂/∂z — дифференциальный оператор "набла".42(4.25)Перепишем (4.24) с учетом (4.25):E(~r, t) = E0 exp [ik0 ∇S · ~r − ωt],E0 = E0 (~r0 ) exp ik0 [S(~r0 ) − ~r0 · ∇S].(4.26)Таким образом, в каждом малом участке пространства, в пределах которого выполняется (4.26), произвольную волну можно рассматривать как плоскую, при условии,что S(~r) удовлетворяет уравнению∇S(~r) = n~s,(∇S)2 = n2 ,(4.27)которое называют уравнением эйконала.
Волновые поверхности монохроматическойволны (поверхности равных фаз) (4.24) определятся уравнением:k0 S(~r) − ωt = 0.(4.28)Уравнения (4.27) показывают, что лучи, т.е. линии, касательные к которым вкаждой точке распространения волны в направлении единичного вектора ~s, ортогональны к волновым поверхностям.
Поверхности равных фаз перемещаются внаправлении луча ~s со скоростью v = c/n. В общем случае при показателе преломления n(~r), меняющемся от точки к точке, лучи будут искривлены. Поэтому когдаговорят о прямолинейном распространении света, всегда речь идет об однородной среде.Получим уравнение для лучей в случае оптически неоднородных сред. Радиусвектор ~r точки P , лежащей на луче, будем рассматривать как функцию длины дуги l,~ Используя (4.27), можно записать, что nd~r/dl = ∇S. Дифференцируят.е. d~r/dl = S.это уравнение по l, получаем: d/dl(∇S) = ∇dS/dl = ∇n (здесь использовали, чтоdS/dl = ∇S).d d~r(n ) = ∇n(4.29)dl dlОтсюда нетрудно увидеть, что в однородной среде (n = const) ∇n = 0 и (4.29)принимает вид: d2~r/dl2 = 0.
Решение этого уравнения хорошо известно: ~r = ~al + ~b,где ~a и ~b постоянные векторы ~b. Это прямая линия, направленная по ~a и проходящаячерез точку ~r = ~b. Таким образом, в однородной среде световые лучи прямолинейны.В неоднородной среде этот закон нарушается.Принцип Ферма. По мере развития науки нам хочется получить нечто большее,чем просто формулу.
Сначала мы наблюдаем явления, затем с помощью измеренийполучаем числа и, наконец, находим закон, связывающий эти числа. Но истинноевеличие и ценность науки состоит в том, что мы можем найти такой способрассуждения, при котором закон становится очевидным. Роль таких достаточнообщих рассуждений играют принципы, которые и составляют основу любой науки.Впервые общий принцип, объясняющий поведение света, был предложенП.Ферма, известный теперь как принцип Ферма или принцип наименьшего времени: луч света распространяется в пространстве между двумя точками потакому пути, вдоль которого время его прохождения наименьшее, чем вдоль любого другого, соединяющего эти точки.
Иногда его формулируют и так: луч светараспространяется между двумя точками по такой траектории, оптическая длина(произведение геометрической длины на показатель преломления), которой минимальна.Принцип Ферма можно обосновать, используя уравнение эйконала (4.27). Рассмотрим некоторую область с показателем преломления n(~r), через каждую точкукоторого проходит только один луч (лучи нигде не пересекаются). Пусть точки A и43РИС. 4.4. К обоснованию принципа Ферма.B (Рис.4.4) лежат на одном луче. Используя (4.27), n~s = ∇S(~r), вычислим интегралвдоль произвольной кривой, соединяющей точки A и B:ZZn~sd~r =(4.30)∇Sd~r = S(B) − S(A).ABABЭтот интеграл равен разности значений эйконала в точках A и B и, следовательно,dнеR зависит отR пути интегрирования.
Так как ~sd~r = dl cos (~s, d~r) ≤ dl, то S(B)−S(A) =n~sd~r ≤ AB ndl, причем знак равенства имеет место только в том случае, когдаABнаправления векторов d~r и ~s совпадают в каждой точке рассматриваемой кривой, т.е.когда она представляет реальный луч, т.е. луч ACB на Рис.4.4. Для любой другойкривой, например, ADB (Рис.4.4) оптическая длина пути оказывается больше,чем для реального луча.
Поскольку оптическая длина пути равна произведениюскорости света на время, требуемое для прохождения вдоль этой кривой, то ясно, чтосвет между точками A и B распространяется по тому, который требует наименьшеговремени.В качестве примера получим, используя принцип Ферма, закон преломления светана границе раздела сред с разными показателями преломления (Рис.4.3). Пустьточка a находится на расстоянии y1 от границы раздела (оси X), точка b — нарасстоянии y2 . В обозначениях, указанных на Рис.4.3 оптическая длина пути ab =l = l1 + l2 равнаn1 y1n2 y2l=+.(4.31)cos θ1 cos θ2Расстояние X между точками a и b фиксированно, т.е.X = y1 tan θ1 + y2 tan θ2 = const,(4.32)Это соотношение задает связь между углами θ1 и θ2 .
Минимальная оптическая длинаlmin определяется из условия dl/dt = θ1 , в котором дифференцирование производитсяс учетом связи (4.32):sin θ1sin θ2 dθ2dl= n1 y1 2 + n2 y2 2=0dθ1cos θ1cos θ2 dθ1dXy1y2 dθ2=+= 0.dθ1cos2 θ1 cos2 θ2 dθ1(4.33)Исключая из этих равенств производную dθ1 /dθ2 , приходим к закону Снеллиусаn1 sin θ1 = n2 sin θ2 . Аналогичным образом можно получить закон отражения.Интересно отметить, что сам Ферма сформулировал его, исходя из теологическихсоображений о целенаправленности действий природы, о том, что цель должна достигаться с наименьшими затратами средств.Принцип Ферма относится к числу так называемых экстремальных или вариационных принципов, которые играют важную роль при описании явлений природы. С44РИС. 4.5. Преломление на сферической поверхности.
LA — падающийлуч, L0 A — преломленный луч, i — угол падения, r — угол преломления, AO = R — радиус сферической поверхности, |LS| = a1 , |SL0 | = a2помощью принципа Ферма можно объяснить все явления, изучаемые в геометрической оптике, хотя не всегда это просто сделать.Преломление и отражение на сферической поверхности. Предположим, что двесреды с показателями преломления n1 и n2 разделяются сферической поверхностьюΣ (Рис.4.5).
На линии LL0 проходящей через центр нашей сферы O, поместимгомоцентрический точечный источник света L. Рассмотрим узкий гомоцентрическийконус лучей, падающий на поверхность раздела двух сред. Мы предполагаем пучокнастолько узким, т.е. угол ψ таким малым, что практически можно считать, чтоL0 S ≈ L0 A.LS ≈ LA,(4.34)Такой пучок называют параксиальным, т.е. приосевым, а соотношения (4.34) —условием параксиальности пучка.Построим для луча LA, падающего на поверхность Σ под углом i, сопряженныйему преломленный луч AL0 (угол преломления r) и найдем положение точки, вкоторой преломленный луч пересечет ось системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
