Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 7
Текст из файла (страница 7)
На практике невозможно создать источник света, генерирующий волны с идеально плоским или сферическим волновым фронтом. Причинасостоит в том, что конечная пространственная протяженность или, как говорят,конечная апертура источника приводит (из-за дифракции) к тому, что амплитуда световых колебаний изменяется в плоскости, перпендикулярной направлениюраспространения света. Другими словами, возникает пространственно модулированная волна, у которой значения амплитуды и фазы зависят от поперечныхкоординат, т.
е. имеет место ситуация, принципиально отличающаяся от плоскойволны. Тем не менее, достаточно часто плоскую волну можно рассматривать не только как математическую абстракцию.Действительно, из физических соображений можно заключить, что если поперечный размер (апертура) источника света равна d, то волновой процесс будет обладатьсвойствами плоской волны не только при d → ∞, но и для конечных, но достаточно больших апертур. "Большой апертурой" считается апертура, у которой линейныйразмер много больше длины волны (d À λ). Применительно к световому излучению это условие практически выполняется всегда, так как, например, в видимомдиапазоне λ w 10−4 см, а диаметр типичного лазерного пучка d w 0.1 см и более.Следовательно, отношение d/λ ≈ 103 À 1.
В таких широкоапертурных пучках амплитуда и фаза медленно (на масштабе длины световой волны) меняются вплоскости, перпендикулярной направлению распространения света, а волновыефронты на значительных расстояниях мало отличаются от плоской. Поэтомуможно с большой степенью точности считать что, мы имеем дело с волнами близкими к плоским или, как говорят, с квазиплоскими волнами, т.е.
почти плоскими.В случае гармонической квазиплоской волны поле на выходной апертуре источникаможно записать в видеE(t, x, y) = A(x, y) cos ωt,26(3.5)где волновой фронт не зависит от z (плоский), а амплитуда волны медленно меняется в плоскости x, y с характерным масштабом изменения d.
Можно ожидать, чтоесли d À λ, то существует область не слишком малых расстояний z (z À λ, z > d),для которых волна, возбуждаемая источником вида (3.5), остается квазиплоской(почти плоской):E(t, x, y, z) = A(x, y) cos (ωt − kz).(3.6)Более точный критерий применимости модели (3.6) удается установить, лишь обращаясь к решению волнового уравнения (1.10) с граничным условием (3.5).Для примера рассмотроим распространение так называемого гауссова светового пучка. Пусть при z = 0 волновой фронт плоский, а распределение амплитудыописывается гауссовой кривой:E(t, x, y, z = 0) = A0 exp [−(r2 /d2 )] cos ωt,(3.7)где r2 = x2 + y 2 , d — радиус пучка.Как можно показать (см., например, С.А.Ахманов, С.Ю.Никитин "Физическая оптика"), приближенное решение волнового уравнения с таким граничным условиемможно представить в виде:1E(t, r, z = 0) = Ak (r, z) exp [i(ωt − kz)] + K.C.,(3.8)2где Ak (r, z) — комплексная амплитуда волны, определяемая формулой:Ak (r, z) =A0r2exp −[].(1 − iz/zd )(1 − iz/zd )d2zd = kd2 /2(3.9)(3.10)Выражение (3.9) удобно переписать как Ak (r, z) = A exp (−iϕ), где A и ϕ –вещественные амплитуда и фаза волны.r2exp [−],1 + (z/zd )21 + (z/zd )2A(r, z) = pA0(3.11)r2z/zd− arctg(z/zd ).(3.12)2d 1 + (z/zd )2Согласно (3.11) и (3.12) распределение амплитуды и фазы в поперечном сечениипучка определяется только одним параметром — отношением пути z, пройденноговолной, к характерной длине zd = kd2 /2 = πd2 /λ, который называют дифракционнойдлиной светового пучка.
При z ¿ zd выражение для светового поля упрощается иприобретает вид:ϕ(r, z) =E(t, r, z) = A0 exp (−r2 /d2 ) cos (ωt − kz),(3.13)т.е. мы имеем волну вида (3.6), у которой амплитуда имеет гауссовское распределение в поперечном сечении.Чем больше величина zd , т. е. чем больше отношение d/λ, тем больше расстояние z, на котором сохраняется плоский фазовый фронт. Например, для излучениягелий-неонового лазера с длиной волны А = 0,63 мкм и радиусом пучка d = 0.1 смдифракционная длина zd = πd2 /λ = 55 м. Расширяя пучок d = 1 см, получимzd = 500 м.27РИС. 3.1. Распространение гауссова пучка. Контур пучка в продольномсечении(сплошные кривые) и волновые фронты (пунктир) (а); поперечный профиль интенсивности излучения (б)Замечательное свойство гауссова пучка состоит в том, что он сохраняет своюформу и при z > zd .
При распространении гауссовского пучка изменяется лишь ширина пучка. В этой области, однако, пучок приобретает свойства сферической волны.Из (3.11) можно показать, что при z À zd амплитуда волны убывает пропорциональнопройденному расстоянию A(r, z) ' A0 zd /z ∼ 1/z, а фазовый фронт становится сферическим ϕ(r, z) ∼ r2 /d2 . Указанные свойства гауссова пучка иллюстрирует Рис.3.1, накотором показаны изменение поперечного размера и искривление волнового фронтапучка при его распространении в свободном пространстве.C какой степенью точности можно приблизиться на практике к идеальноймонохроматической волне? На первый взгляд может показаться, что речь идет отехнической проблеме. Действительно, казалось бы повышение стабильности параметров, например, одночастотного лазера непрерывного действия может привести кгенерации оптических колебаний, сколь угодно близких к гармоническим.
На самомже деле имеется принципиальный предел монохроматичности, определяемый квантовыми флуктуациями в излучающих атомах и молекулах, которые и оказываютсяпричиной неустранимых амплитудной и фазовой модуляций волны. Хотя связаннаяс квантовыми флуктуациями немонохроматичность излучения относительно невелика — отклонение частоты от средней не превышает 102 Гц. Но с ними приходитсясчитаться в квантовых стандартах частоты и времени, прецизионных оптическихэкспериментах. Обращаясь же к принципиальной стороне дела, можно сказать, чтоидеальная плоская волна есть такая же абстракция, как и идеальная монохроматическая волна. Идеальная монохроматическая плоская волна не осуществима.3.2.
Спектральное разложение светового поля. Произвольную волну можнопредставить в виде суперпозиции эталонных волн, или, как говорят, разложитьего в спектр, т.е. выполнить спектральное разложение. Особое значение в оптике28имеет разложение волновых пучков и импульсов по плоским гармоническим волнам. Такое разложение оказывается не только удобной математической операцией,оно фактически осуществляется в реальном оптическом эксперименте.Один из классических примеров такого рода — знаменитый опыт Ньютона, в котором наблюдалось разложение света в спектр с помощью стеклянной призмы. Заключение Ньютона о том, что "солнечный свет состоит из лучей различной преломляемости", на современном математическом языке спектральных разложений означает,что поле плоской немонохроматической волны E(t, z) можно представить в видесуперпозиции плоских монохроматических волн с разными частотами.Действительно, из математики известно, что произвольную непериодическуюфункцию f (t) можно записать в виде интеграла Фурье:Z ∞1f (t) =F (ω) exp (iωt)dω,(3.14)2π −∞т.е.
разложить в спектр по гармоническим колебаниям или, как говорят, в частотный спектр Fω = F (ω) exp (iωt). Формулу (3.14) также называют спектральнымразложением.Формула (3.14) "говорит", что функцию f (t) можно представить как суперпозицию(сумму) большого числа колебаний, амплитуда которых определяется спектральной амплитудой F (ω) или фурье-компонентой, определяемой обратным ФурьепреобразованиемZ∞F (ω) =f (t) exp (−iωt)dt,(3.15)−∞Так как f (t) — действительная функция, то нетрудно показать, что F (−ω) = F ∗ (ω).Таким образом можно сказать, что каждая гармоническая компонента заданногопри z = 0 возмущения E(t) возбуждает монохроматическую световую волнуEω (t, z) = A(ω) exp [i(ωt − kz − ϕ(ω)].(3.16)Формула (3.16) наряду с (3.4) дает еще один способ описания немонохроматической плоской волны — в виде суперпозиции плоских монохроматических волн.Принято говорить, что выражение (3.4) описывает немонохроматическую волну вовременном представлении, а (3.16) — в спектральном представлении.Периодическую функцию f (t) = f (t + T ) можно разложить в ряд Фурьеf (t) =∞XF (n) exp (inωt),(3.17)−∞где ω = +2π/T , а коэффициенты Фурье F (n) определяютсяZ1 ∞F (n) =f (t) exp (−inωt)dt.T −∞(3.18)В этом случае, в отличие от (3.15), спектр является дискретным.В общем случае спектральная амплитуда F (ω) является комплексной функциейчастоты: F (ω) = |F (ω)| exp[iψ(ω)].
Модуль комплексной спектральной амплитуды представляет собой действительную амплитуду гармоники с частотой ω вспектре f(t), а аргумент ψ(ω) — действительную фазу этого колебания. Комплексность спектральной амплитуды связана с тем, что разные гармоники, образующие в совокупности процесс f (t), имеют, вообще говоря, различные фазы. Частотакая полная спектральная информация об оптическом процессе бывает не нужна.29Более того, в оптике ее трудно экспериментально получить. На практике обычноизмеряют величину S(ω) = |F (ω)|2 , которую называют спектральной плотностьюили контуром спектральной линии. В этом выражении информация о фазах гармонических колебаний, составляющих процесс f (t), утрачена.
Тем не менее, дляоптики спектральная плотность является важной характеристикой процессов,поскольку именно она обычно измеряется в экспериментах. Доказано, имеет местоследующее соотношениеZ ∞Z ∞12f (t)dt =S(ω)dω,(3.19)2π −∞−∞которое называют равенством Парсеваля.
Это равенство отражает взаимосвязьмежду временным и спектральным представлениями.Используя равенство Парсеваля, можно записатьZ ∞Z ∞Z11 ∞22E (t)dt =|f (ω)| dω =|f (ω)|2 dω.(3.20)2ππ−∞−∞0Формула (3.20) отражает тот факт, что полная энергия немонохроматических световых волн выражается через интеграл по положительным частотам от ееспектральной плотности |E(ω)|2 , которая характеризует распределение энергиисвета по спектру. Именно эта характеристика света наблюдается и может бытьэкспериментально измерена. Она оказывается пропорциональной энергии светового импульса, прошедшей через площадку единичной площади в окрестности даннойточки.Подчеркнем различие между f (ω) и |f (ω)|2 : знание f (ω) полностью определяетфункцию E(t), описывающую немонохроматическую волну, тогда как знание |E(ω)|2еще не позволяет восстановить E(t), так как в ней не содержится информация офазах монохроматических составляющих.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
