Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 4
Текст из файла (страница 4)
разным длинам волн соответствуют разные цвета.Для плоских волн поверхность постоянной фазы совпадает с поверхностями постоянной амплитуды. Такие волны называют однородными.В общем случае необходимо учитывать и начальную фазу ψ0 . Тогда выражениедля плоской волны принимает вид:E(z, t) = A cos (ωt − kz + ψ0 ),(1.14)Вид функции в (1.13) или (1.14) показывает, что она периодична по времени спериодом T , и по координате z c пространственным периодом λ.В общем случае, когда плоская волна распространяется в произвольном направлении относительно декартовой системы координат, она описывается следующимуравнением:E(~r, t) = A cos (ωt − ~k~r + ψ0 ),(1.15)где ~r — радиус вектор точки с координатами x, y, z, ~k = ~nk — волновой вектор, ~n—единичный вектор вдоль волнового вектора.Отметим, что применительно к монохроматической волне, ее скорость распространения это скорость, с которой передается от точки к точке фаза колебания.
Действительно, скорость распространения фазы определяется из требованияω(t − z/c) = const, что означает неизменность фазы в плоскости z. Отсюда следует,что dz/dt = c, c называют фазовой скоростью монохроматической волны. Опытпоказывает, что в вакууме фазовая скорость не зависит от частоты.Часто вместо тригонометрических функций удобно использовать экспоненциальные. В основе этого лежит формула Эйлера: exp (iψ) = cos ψ + i sin ψ.
Так как большинство математических операций легче выполнять с показательной функцией, чемс тригонометрическими, то поступают следующим образом: вместо косинуса или синуса вводят показательную функцию, производят с ней все необходимые вычисленияи в конце возвращаются к тригонометрическим функциям, взяв действительную илимнимую части. Пользуясь показательной функцией выражение (1.14) можно записатьв виде1(1.16)E(z, t) = E0 exp [i(ωt − kz)] + K.C.,2где E0 = A exp (iψ0 ) — комплексная амплитуда.Выражение E(z, t) = 1/2E0 exp [i(ωt − kz)] называют комплексным представлением монохроматической волны.
Видно, что модуль комплексной амплитуды равендействительной амплитуде, а аргумент — фазе световой волны. На комплексной12РИС. 1.1. Расходящаяся (а) и сходящаяся (б) сферические волны.Показаны положения фронтов в последовательные моменты времениt1 < t2 < t3плоскости комплексная амплитуда изображается в виде вектора, длина которогоравна действительной амплитуде A и направленный под углом ϕ к оси абцисс. Удобство комплексной записи заключается в том, что при дифференцировании (1.16) повремени и координате имеем∂E(z, t)= iωE(z, t),∂t∂E(z, t)= −ikE(z, t).∂z(1.17)Сферическая волна. Несложно убедиться, что волновому уравнению (1.11) удовлетворяют и волны вида Eα = Eα (t, r) и Hα = Hα (t, r), у которых напряженности полейзависятp только от одной пространственной координаты – модуля радиус-вектораr = x2 + y 2 + z 2 .
Такие волны называют сферическими. Наряду с плоской, сферическая волна также является эталонной волной, имеющей большое значение дляоптики. Сферическая волна представляет решение скалярного волнового уравнения(1.11) и имеет вид:F1 (t − r/c) F1 (t + r/c)f (r, t) =+(1.18)rrФормула (1.18) описывает две сферические волны, расходящуюся от начала координат и сходящуюся к нему, как показано на Рис.1.1.Гармоническая сферическая волна.
Если на сфере радиуса r0 задать гармоническое возмущение, синфазное во всех точках сферы f (r0 , t) = (A0 /r0 ) cos [ω(t − r0 /c)],то возбуждаемая таким источником расходящаяся волна при r > r0 может бытьпредставлена в видеf (r, t) = (A0 /r0 ) cos [ω(t − r0 /c)].(1.19)Здесь в отличие от плоской волны амплитуда зависит от координаты, а фазовый иамплитудный фронты представляют собой сферы. Строго говоря, сферическая волнаиспускается точечным источником света, т.е. представляет абстракцию, как и плоская волна. На практике для многих задач можно считать волну сферической, еслирасстояние r превосходит линейные размеры источника в десять раз и более.Принцип суперпозиции. Принцип суперпозиции утверждает, что световые волны разных частот и разных направлений распространяются в вакууме независимо друг от друга. На это указывают самые простые эксперименты.
Например, черезодно и то же отверстие два наблюдателя могут видеть разные объекты; при этомнаблюдаемые ими картины, вообще говоря, никак не связаны между собой. Опытподтверждает принцип суперпозиции в широких пределах: свету далекой звезды,13идущей к нам из космоса, не мешает распространяться свет других звезд или светгорящей поблизости лампочки. Они беспрепятственно проходят друг через друга, неискажая и не "замечая" друг друга.Математически принцип суперпозиции является следствием линейности волнового уравнения, описывающего распространение световых волн в вакуум.
В самомделе, если поля E1,2...n являются Pрешениями волнового уравнения, то его решениемоказывается и сумма полей E = n En .В этом можно убедиться, подставляя, например, в уравнения Максвелла плоскиеволны. При этом волновое уравнение распадается на независимые уравнения дляотдельных волн. Отметим, что принцип суперпозиции, как правило, справедлив дляслучая слабых световых полей.
Смысл этого равенства состоит в том, распространяющиеся одновременно волны не влияют друг на друга, поэтому результирующеевозмущение есть просто сумма неискажающих друг друга возмущений.Поперечность световой волны. Покажем, что плоская монохроматическая световая волна, распространяющаяся в вакууме, является поперечной, т. е. компонентыполей в направлении распространения волны отсутствуют. Здесь удобно воспользоваться комплексным представлением плоской гармонической волны:~ = 1 E~ exp[i(ωt − ~k~r)] + K.C.,E2~ = 1H~ exp[i(ωt − ~k~r)] + K.C.H2(1.20)~ — комплексные амплитуды напряженностей электрической и магнитной согде E~ и Hставляющих волны, соответственно; ~k = ~nω/c — волновой вектор вдоль направленияраспространения) ~k; ~n — единичный вектор вдоль направления волнового вектора.~ и div E,~ которые входят в уравнения Максвелла.
Так как операцияВычислим rot E~ сводится к действию дифференциальных операторов ∂/∂α, где α = x, y, z, тоrot Eих действие на экспоненциальный множитель exp[i(ωt − ~k~r)], сводится к умножениюна соответствующие декартовы компоненты волнового вектора∂exp[i(ωt − ~k~r)]= −ikα exp[i(ωt − ~k~r)].∂α(1.21)~ получаемC учетом (1.21) для ротора и дивергенции вектора E~ = 1 [−i~k, E]~ exp[i(ωt − ~k~r)] + K.C.,rot E2~ = 1 (−i~k, E)~ exp[i(ωt − ~k~r)] + K.C.div E2(1.22)(1.23)Здесь [., .] и (., .) означает вектрное и скалярное произведение соответствующих век~торов. Также вычисляется и производная по времени от E.~1∂E= iω E~ exp[i(ωt − ~k~r)] + K.C.∂t2(1.24)~ Пользуясь ими, систему уравАналогичные формулы имеют место для вектора H.нений Максвелла можно записать в виде:~ = ω H,~~ = − ω E,~ (~k, E)~ = 0, (~k, H)~ = 0.[~k, E][~k, H](1.25)cc14РИС.
1.2. Cтруктура плоской монохроматической световой волныРИС. 1.3. Плоские гармонические волны Ex , Hy (а) и Ey , Hx (б). Здесь~ и H~ какпоказана "мгновенная фотография— распределение полей Eфункция координаты z в некоторый момент времени t для волн, бегущих слева направо.Учитывая, что ~k = ~nk = ~nω/c (~n = ~k/k — единичный вектор), перепишем (1.25) ввиде~ = H,~~ = −E,~~ = 0, (~n, H)~ = 0.[~n, E][~n, H](~n, E)(1.26)Из (1.26) и (1.20) получаем векторные соотношения, определяющие структуру поляплоской монохроматической световой волны:~ = −[~n, H],~~ = 0, H~ = [~n, E],~~ = 0.E(~n, E)(~n, H)(1.27)~ = 0 и (~n, H)~ = 0 следует, что Ez = Hz = 0, т.е. плоскаяИз соотношений (~n, E)~ и H~световая волна является поперечной.
В такой волне колебания векторов Eпроисходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны,~ и H~ образуют правую тройку векторов (Рис.1.2). Из соотношенияа векторы ~n, E~ = [~n, E]~ можно заключить, что векторы E~ и H~ изменяются с одной фазой, т.е.H~ = |H|.~синфазно, как показано на Рис.1.3 и |E|15ЛЕКЦИЯ №2Поток энергии, интенсивность света. Импульс и давление света.
Поляризация света: эллиптическая, круговая, линейная поляризации; естественно поляризованный свет.2.1. Поток энергии, интенсивность света. Способность переносить энергию —одно из основных свойств света. При распространении световых волн происходитперенос энергии поля в пространстве даже в вакууме.
Действительно, пусть световаяволна распространяется в направлении оси z. Уравнения Максвелла в вакууме имеютвид~~~ = 1 ∂E ,~ = − 1 ∂H .rot Hrot E(2.1)c ∂tc ∂t~ а второе — на H~ и вычтем из первогоУмножим первое уравнение скалярно на E,второе. Получим~~´1 ³ ~ ∂E∂H~~ rot H~ −H~ rot E~E+H=E(2.2)c∂t∂tИспользуя формулу~ H]~ =H~ rot E~ −E~ rot H,~div[E(2.3)и вводя обозначения1~ = c [E,~ H]~w=(E 2 + H 2 ),S(2.4)8π4πсоотношение (2.2) перепишем в виде∂w~= − div S.(2.5)∂tВеличины w и S называют объемной плотностью энергии поля и вектором потокаэнергии (или вектором Умова-Пойнтинга), соответственно.Уравнение (2.5) являются следствием уравнений Максвелла и выражает закон сохранения энергии для электромагнитного поля. Проинтегрируем обе части (2.5)по некоторому объему V , ограниченному замкнутой поверхностью Σ (Рис.2.1).~ в правой части преобразуем, используя теоремуИнтеграл по объему от div SОстроградского-Гаусса, в интеграл по поверхности, ограничивающий этот объем :ZZ~~ l~n dσ,div SdV =S(2.6)VΣРИС.
2.1. К выводу закона сохранения энергии для системы заряженныхчастиц в световом поле16l~n — единичный вектор нормали к элементу dσ поверхности Σ, ограничивающейобъем V .Z∂W~ l~n dσ,=− S(2.7)∂tΣRгде W = V wdv — полная энергия в объеме, а в правой части интеграл представляетпоток энергии через поверхность.Уравнение (2.7) показывает, что скорость изменения энергии электромагнитного поля в некотором объеме, не содержащем зарядов и токов, равна потокуэнергии поля через поверхность этого объема.~ = [~n, E]~ иE~ = −[~n, H],~ то для плоской монохроматической волны можноТак как Hзаписать~ = c [E,~ H]~ = c [E,~ [~n, E]~ = c E 2~n, |S|~ = S = c E 2.S(2.8)4π4π4π4πОтсюда с учетом формулы для плотности энергии (2.4) получаем~ = cw~n,SS = cw,(2.9)где ~n — единичный вектор вдоль направления распространения волны ~k. Таким образом, в вакууме световая энергия переносится в направлении распространенияплоской волны со скорость света c, т.е.
направление переноса энергии совпадает снаправлением волнового вектора.Интенсивность света. Реальное (нелазерное) световое излучение представляет случайный или статистический процесс, свойства которого определяютсявероятностными законами, обусловленные фундаментальными физическими свойствами источников оптического излучения.Прежде всего, всякий реальный источник света — это совокупность огромногочисла атомов. Каждый из атомов может стать элементарным источником излучения, если благодаря какому-либо механизму (столкновение с другим атомом, электронный удар и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
