Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Однако именно последней можно сопоставить реальный физический процесс — экспериментальное измерение спектра такойволна с помощью соответствующего спектрального прибора.Для примера рассмотрим спектральный состав немонохроматической световой волны, представляющей отрезок косинусоиды длительностью τ (прямоугольный световой импульс):(E0 cos ω0 t, −τ /2 < t < τ /2;E(t) =(3.21)0,|t| > τ /2.Используя формулу (3.14), получаем:·¸τsin(ω0 − ω)τ /2 sin(ω0 + ω)τ /2E(ω) = E0+.2(ω0 − ω)τ /2(ω0 + ω)τ /2(3.22)Вторым слагаемым в (3.22) можно пренебречь. так как |ω0 − ω| << |ω0 + ω|).
НаРис.3.2 показан график функции (3.22). Ее главный максимум расположен приx = (ω0 − ω)τ /2 = 0, где она имеет значение, равное 1, и она обращается в нуль приx = ±π, ±2π, ... В промежутках она имеет второстепенные максимумы и минимумы.Таким образом, для прямоугольного импульса света фурье-компоненты в основномсосредоточены в главном максимуме вблизи значения ω0 . Контур спектральнойлинии имеет видτ 2 sin2 (ω0 − ω)τ /2|E(ω)|2 = E02.(3.23)4[(ω − ω0 )τ /2]230РИС.
3.2. График функции sin x/xКонтур спектральной линии характеризуют шириной спектральной линии, которая определяется как интервал частот ∆ω = ω1 − ω2 , где ω1,2 (ω1 > ω2 ) значения частот, при которых спектральная плотность равна половине максимальной плотности— полуширина спектральной линии. Можно показать, что между длительностьюимпульса и шириной его спектра имеет место следующее соотношение:∆ω · τ ≈ 2π.(3.24)Оно имеет универсальный характер, так как справедливо для произвольного импульса независимо от его конкретного вида. Из формулы (3.24) следует, что ширинаспектральной линии ∆ω приблизительно равна обратной длительности импульсаτ −1 . Такие импульсы называют спектрально ограниченными. Для квазимонохроматической волны ∆ω ¿ ω0 , где ω0 несущая частота.Подчеркнем, что чем короче импульс, тем шире его частотный спектр.
Применительно к оптике это означает, что чем плотнее сконцентрирована энергия светового поля по времени, тем шире она распределена по спектру. В частности, предельнокороткие импульсы света, длительность которых соизмерима с периодом световыхколебаний, обладают частотным спектром, ширина которого соизмерима с несущейчастотой световой волны. Такие импульсы нельзя считать квазимонохроматическими.Спектральные разложения естественным образом обобщаются и на волновые пучки — пространственно модулированные волны. Волновой пучок тоже можно представить в виде суперпозиции плоских волн, но теперь речь идет о разложении по волнам, распространяющимся в различных направлениях. Различные спектральныекомпоненты в таком разложении характеризуются углами между направлением распространения волны и координатным осями.
Поэтому здесь говорят об угловом спектре пространственно модулированной волны. Отметим, что разложение в угловойспектр физически происходит в очень простых по постановке опытах. В дальнейшеммы увидим, что форма углового спектра светового пучка определяется распределением освещенности на экране, расположенном на достаточно большом удалении отисточника света (z À zd ), либо в фокальной плоскости линзы.
В таких опытах свободное пространство и линза выполняют такую же операцию фурье-разложения поотношению к угловому спектру, что призма по отношению к частотному.3.3. Световые волны в веществе. Уравнения Максвелла в среде. Как известно,вещество состоит из атомов.
В обычных условиях число атомов столь велико, и они31расположены настолько близко друг к другу, что дискретная структура среды, какправило, не проявляется. Поэтому вещество можно рассматривать как сплошную(непрерывную) среду. Простейшая физическая картина взаимодействия света свеществом представляется следующим образом. Падающий на среду свет раскачивает колебания электронов в атомах, которые становятся источниками вторичныхсветовых волн. Полное световое поле формируется в результате сложения падающегоизлучения и испускаемых вторичных волн всеми атомами.Теория взаимодействия света и вещества строится на основе уравнений Максвелла и материальные уравнений, которые описывают свойства вещества. Системауравнений Максвелла в среде имеет вид~1 ∂B,c ∂t~~ = 1 ∂ D + 4π ~j,rot Hc ∂tc~ =−rot E~P~ = P~ (E),~ =M~ (H),~M~ =E~ + 4π P~ ,D~ = 4πρdiv D(3.25)~ = 0.div B(3.26)~ =H~ + 4π M~,B~~j = ~j(E),(3.27)~ и D~ — напряженность и индукция электрического поля; H~ и B~ — напрягде E~ — поляризованность (дипольныйженность и индукция магнитного поля; P~ , Mмомент единицы объема среды) и намагниченность (магнитный момент единицыобъема), ρ и j — плотность заряда и тока в среде, соответственно, c — скоростьсвета в вакууме.
Уравнения записаны в гауссовой системе единиц.Материальные уравнения. Уравнения (3.27) называют материальными уравнениями. Они описывают связь характеристик вещества с электромагнитнымполем. Их физический смысл состоит в том, что они описывают отклик среды наэлектромагнитное поле, а именно, возникновение электрического дипольного мо~ , тока провомента единицы объема P~ , магнитного момента единицы объема Mдимости ~j (если среда проводящая).Хотя уравнения Максвелла в среде имеют вид, подобный уравнениям в вакууме, тем не менее имеются определенные различия, которые состоят в следующем.Физические величины, входящие в уравнения Максвелла в среде, — это средниезначения. Усреднение производится по элементам объема, содержащим макроскопически большое число атомов или молекул, т.е.
большим по сравнению со среднимрасстоянием между частицами. В то же время линейный размер этих элементовдолжен быть много меньше характерного размера макроскопических неоднородностей, мерой которых служит длина волны электромагнитной волны. Такие элементы объема называют физически бесконечно малыми. Для видимого света этопорядка 10−7 м. В объеме (10−7 м)3 = 10−21 м3 содержится примерно 108 атомов вконденсированном веществе и 3 · 104 молекул любого газа при нормальных условиях.
Именно в таком приближении вещество представляется непрерывным иоднородным.Как ведут себя поляризованность, намагниченность и ток проводимости в среде,возбуждаемые световой волной? Это центральный вопрос физики взаимодействиясвета с веществом. Разработаны различные модели, позволяющие определить материальные уравнения. Отметим, что много принципиальных результатов было получено32здесь в последние сорок лет или, как говорят, в "лазерную эпоху".
Физика взаимодействия света с веществом и по сей день остается одним из наиболее динамичныхразделов физической оптики.Волновое уравнение для света в среде. Для простоты рассмотрим диэлектри~ = H.~ческие, нейтральные и немагнитные среды, в которых ~j = 0, ρ = 0, BРассматриваемый класс сред довольно широк. К нему относятся, например, воздух,вода, кристаллы, стекла, пластмассы и т. д.
Для таких сред материальные уравненияимеют вид:~ =E~ + 4π P~ ,~DP~ = P~ (E)(3.28)а уравнения Максвелла~1 ∂H~ =0,div Dc ∂t~~ = 1 ∂D ,~ = 0.rot Hdiv Hc ∂tИз (3.28) и (3.29) нетрудно вывести уравнение~ =−rot E(3.29)(3.30)2~2~~ + 1 ∂ E = − 4π ∂ P ,rot rot E(3.31)c2 ∂t2c2 ∂t2которое называют волновым уравнением для света в веществе. Здесь, в отличиеот вакуума, правая часть не равна нулю.
Это означает, что оптическая поляризованность среды является источником светового поля.Возникновение поляризованности можно понять следующим образом. При воздействии светового поля на электроны в веществе последние смещаются из положенияравновесия, приобретая дипольный момент p~. Полный дипольный момент P~ , называемый поляризованностью, равен сумме всех диполей p~ в единице объема вещества.Поскольку поле периодическое, движение зарядов тоже периодическое и ускорен~ есть сумма поля падающей волны и полей,ное, то P~ и p~ излучают. Общее поле E~испускаемых всеми диполями. Поляризованность P~ по фазе может отличаться от E.Уравнение (3.31) и второе уравнение в (3.28) образуют в совокупности замкнутуюсистему уравнений, которая, будучи дополненной соответствующими начальными и граничными условиями, полностью определяет процесс распространениясвета в диэлектрической нейтральной немагнитной среде.~ = 0 (а значит и div E~ = 0) для изотропных сред нетрудно покаИспользуя div Dзать, что2~2~~ − 4π ∂ E = − 1 ∂ P ,∆E(3.32)c2 ∂t2c2 ∂t2Мы в основном будем рассматривать однородные, линейные и изотропные среды.Для однородной среды ее характеристики для всей среды одинаковы.
т.е. не зависятот координат.Линейными называются среды, в которых связь между поляризованностью и напряженностью электрического поля является линейной функцией. Такое приближение справедливо, когда напряженность поля световой волны много меньше внутриатомных полей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
