Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Так как LO/LA = sin i/ sin ϕ,AL0 /OL0 = sin ϕ/ sin r, тоLO AL0sin in2==.(4.35)LA OL0sin rn1Все отрезки вдоль оси будем отсчитывать от точки S, считая положительнымиотрезки, откладываемые от S вправо (в направлении распространяющегося света),и отрицательными — отрезки, откладываемые- влево. Тогда AL ≈ SL = −a1 , AL0 ≈S 0 = a2 , AO = SO = R — радиус сферы. Учитывая,что LO = −a1 + R, OL0 = a2 − R,из формулы (4.35) получи쵶µ¶1111n1−−= n2= Q,(4.36)a1 Ra2 R¡¢т.е.
величина произведения n a1 − R1 при преломлении сохраняется. Его называютнулевым инвариантом Аббе. Формулу (4.36) удобно представить в виде:n1 n2n1 − n2−=.a1a2R(4.37)Соотношение (4.37) позволяет найти положение точки L0 по заданной L. Оно справедливо для любого луча параксиального пучка. Из этой формулы также видно,что a2 зависит только от a1 при при заданных параметрах задачи n1 , n2 , R. ВеличинуΦ = (n1 − n2 /R называют оптической силой сферической преломляющей поверхности.45Пользуясь установленным выше правилом знаков, можно разобрать все случаивыпуклой (R > 0) или вогнутой (R < 0) поверхности.
Точно так же в зависимости от того, будут ли a1 и a2 иметь разные знаки или одинаковые, мы будем иметьслучаи, когда изображение располагается с противоположной по сравнению с источником стороны преломляющей поверхности или лежит по одну сторону с ним. Впервом случае (a2 > 0) точка, именуемая изображением, есть действительно точкапересечения преломленных лучей.
Такое изображение называется действительным.Во втором случае (a2 < 0), очевидно, преломленные лучи, идущие во второй среде,остаются расходящимися и реально не пересекаются. В этом случае название изображения относится к той воображаемой точке, которая представляет собой место пересечения предполагаемого продолжения преломленных лучей. Такое изображениеназывается мнимым. Таким образом, гомоцентрический пучок после преломлениянаправлен так, что его лучи или пересекаются в одной точке (действительное изображение), или могут быть представлены как пересекающиеся в одной точке (мнимоеизображение). Именно в этом смысле он и остается гомоцентрическим. Поэтомупри всех построениях мы одинаково можем пользоваться как действительным, так имнимым изображением.Также отметим, что из формулы (4.37) следует, что если бы источник был помещен в точку L0 , то изображение расположилось бы в L.
Это свойство называютвзаимностью.Из уравнения (4.37) также следует, что при a1 = −∞ (луч идет параллельнооптической оси)n2 Rn2a2 == − = f2 ,(4.38)n2 − n1Φпри a2 = ∞n1 Rn1a1 = −== f1 ,(4.39)n2 − n1Φт. е. f1 и f1 зависят только от радиуса кривизны поверхности R и показателейпреломления n1 , n2 обеих сред.
Величины f1 и f2 характеризуют преломляющуюповерхность, их называют фокусными расстояниями: f1 — переднее фокусное расстояние (точка F1 — передний фокус); f2 — заднее фокусное расстояние (точка F2— передний фокус).Таким образом, в фокусе сферической поверхности сходятся после преломленияпараллельные лучи (т. е. лучи, идущие из бесконечно удаленной точки).Фокусы, также как и изображения, могут быть действительными и мнимыми,т. е. представлять точку пересечения преломленных лучей (бывших до преломленияпараллельными) или их предполагаемых продолжений.
Так, если вогнутая сторонаРИС. 4.6. Передний F1 и задний F2 фокусы сферической поверхностиΣ. SO = R — радиус сферы. F1 F10 , F2 F20 — передняя и задняя фокальнаяповерхности.46поверхности раздела обращена к среде, имеющей меньший показатель преломления,то оба фокуса будут мнимыми, как это следует из формул (4.38) и (4.39).Параллельные лучи, идущие справа налево вдоль N O (Рис.4.6), сойдутся в фокусеF10 расположенном на линии N O и лежащем также на расстоянии |f1 | от преломляющей поверхности.
Геометрическое место точек F10 образует сферическую поверхностьс радиусом |R − f1 |, концентрическую с преломляющей сферой (с центром в точке О). Эту поверхность называют передней фокальной поверхностью. Аналогичностроится задняя фокальная поверхность радиуса |f2 − R|. Малые участки этихповерхностей (для параксиальной области) могут быть приняты за плоскости — фокальные плоскости. Фокусные расстояния сферической поверхности различны познаку и не равны между собой по абсолютной величине ибо n1 6= n2 . Нетруднопроверить, f2 /f1 = −n2 /n1 .Сферическое зеркало.
Формулу (4.37) можно применить и к случаю отражения,если положить n2 = −n1 . Тогда получаем известную формулу сферического зеркала:121+= .(4.40)a1 a2RФокусное расстояние такого зеркала определится по формуле (4.38), откуда получаем f = R/2. Формула зеркала принимает вид111+= .(4.41)a1 a2fВ случае зеркала изображение действительное, если оно лежит по одну сторону систочником, и мнимое, если расположено за зеркалом.Случаи вогнутого и выпуклого зеркала отличаются лишь знаком R: фокус вогнутого зеркала — действительный, а фокус выпуклого зеркала—мнимый.Чтобы получить законы плоского зеркала, достаточно положить R = ∞. В этомслучае найдем a1 = −a2 , т.е.
изображение точки в плоском зеркале мнимое и симметрично расположенное (оно "находится" по другую зеркала).47ЛЕКЦИЯ №5Cвойства центрированных оптических систем. Элементы матричной оптики. Распространение светового луча в оптически неоднородной среде.5.1.
Свойства центрированных оптических систем. Большинство оптических систем содержит по крайней мере две преломляющие поверхности (простейший пример— линза) или большее их число. Система сферических поверхностей называется центрированной, если центры всех поверхностей лежат на одной прямой, которая называется главной оптической осью системы.
Теория таких систем особенно проста,когда распространяющиеся в них пучки лучей являются параксиальными.Образование изображений в параксиальном приближении систематически исследовано Гауссом, поэтому теорию центрированных оптических систем в параксиальном приближении называют гауссовой оптикой или теорией идеальной оптической системы, т.
е. системы, в которой сохраняется гомоцентричность пучков иизображение геометрически подобно предмету. Согласно этому определению всякой точке пространства объектов соответствует точка пространства изображений; эти точки называют сопряженными. Точно так же каждой прямой илиплоскости пространства объектов должна соответствовать сопряженная прямая илиплоскость пространства изображений. Таким образом, теория идеальной оптической системы есть чисто геометрическая теория, устанавливающая соотношениемежду точками, линиями, плоскостями. Идеальная оптическая система может бытьосуществлена с достаточным приближением в виде центрированной оптическойсистемы, если параксиальными пучками, т.е. областью вблизи оси симметрии.
Втеории Гаусса требование "тонкости" системы отпадает, но лучи предполагаются параксиальными. Линия, соединяющая центры сферических поверхностей,представляет собой ось симметрии центрированной системы и называется главнойоптической осью системы. Теория Гаусса устанавливает ряд так называемых кардинальных точек и плоскостей, задание которых полностью описывает все свойстваоптической системы и позволяет пользоваться ею, не рассматривая реального ходалучей в системе.
К ним относятся: фокусы и фокальные плоскости; главные точкии главные плоскости; узлы и узловые плоскости.Точка, в которой пересекаются параллельные лучи называются фокусом.Плоскости, перпендикулярные оптической оси в точках фокуса — фокальные плоскости. Их построение показано на Рис.5.1. Пусть M M и N N — крайние сферические поверхности, ограничивающие оптическую систему, O1 O2 — ее главная ось.РИС. 5.1. Фокусы F1 и F2 и главные плоскости H1 R1 и H2 R2 центрированной оптической системы, образованной сферическими поверхностями M M и N N .
O1 O2 — оптическая ось, P1 , P2 — сопряженные точки,F1 H1 = f1 , F2 H2 = f2 — фокусные расстояния, P1 H1 = a1 , P2 H2 = a2 .48Проведем луч A1 B1 , параллельный O1 O2 ; точка B1 — место входа этого луча в систему. Согласно свойству идеальной системы лучу A1 B1 соответствует в пространствеизображений сопряженный луч G2 F2 , выходящий из системы в точке G2 . Как идетлуч внутри системы, нас не интересует.
Второй луч P1 Q1 выберем вдоль главной оси.Сопряженный ему луч Q2 P2 будет также идти вдоль главной оси. Точка пересеченияF2 двух лучей G2 F2 и Q1 P2 есть изображение точки, в которой пересекаются параллельные лучи A1 B1 и P1 Q1 , сопряженные с G2 F2 и Q2 P2 . Точку F2 называют вторымили задним фокусом системы. Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно к оси, носит название фокальной. Аналогичным образом определяется переднийфокус F1 системы, в котором пересекаются параллельные лучи A2 B2 и P2 Q2 .Продолжим теперь F1 G1 и F2 G2 до пересечения с продолжениями A1 B1 и A2 B2и отметим точки пересечения R1,2 .
Эти точки являются сопряженными. Действительно, R1 есть точка пересечения лучей A1 B1 R1 и F1 Q1 R1 , которым сопряженысоответственно лучи R2 G2 F2 и R2 B2 A2 , пересекающиеся в R2 . Из построения видно,что R1 и R2 лежат на одинаковом расстоянии от главной оси (H1 R1 = H2 R2 ).Можно показать что любая точка линии H1 R1 сопряжена с точкой линии H2 R2 ,лежащей на такой же высоте от оптической оси, как и выбранная. То же относитсяи к плоскостям, проведенным через H1 R1 и H2 R2 перпендикулярно к главной оси,ибо вся система симметрична относительно оси. Плоскости H1 R1 и H2 R2 называются главными плоскостями. Точки H1,2 пересечения главных плоскостей с осьюназывают главными точками системы. Расстояния от главных точек до фокусовназываются фокусными расстояниями системы: f1 = H1 F1 и f2 = H2 F2 .Обозначим расстояния от главных плоскостей до сопряженных точек P1,2 черезa1,2 . Можно показать, что имеют место следующие соотношения (смотри, например,Г.С.Лансберг, "Оптика", М., Наука, 1976, задача 106 на стр.
883):f1 /a1 + f2 /a2 = 1,x 1 x2 = f 1 f 2 ,f1 /f2 = −n1 /n2 ,V = −x2 /f2 = −f1 /x1 ,(5.1)где x1,2 = a1,2 − f1,2 — расстояния сопряженных точек P1,2 от соответствующихфокусов. Для n1 = n2 (источник и его изображение лежат в одной среде, например,в воздухе), имеем:−1−1a−1,1 + a2 = fx 1 x2 = f 2 ,f2 = −f1 = f1 .(5.2)Пользуясь правилом знаков, согласно которому все отрезки вдоль оси отсчитываемые от системы, считаются положительными, а влево — отрицательными, с помощьюэтих соотношений можно описать все свойства как собирательных, так и рассеивающих систем, ввести понятие мнимых точек и мнимых изображений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
