Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Поэтому y2 ≈ y1 + lα1 . Перейдем от α1 к V1 = nα1 : уравнение для y2принимает вид y2 = y1 + LV1 , L = l/n — приведенная толщина оптического промежутка. Так как наклон луча при переходе от ОП1 и ОП2 не изменяется, то V1 = V2 ,и преобразование параметров луча оптическим промежутком можно описать спомощью следующей матрицы F :µ¶ µ¶µ¶µ¶y21 Ly11 L=,F =(5.8)V20 1V10 1Сферическая преломляющая поверхность, разделяющая две среды с показателями преломления n1 и n2 (Рис.5.7), характеризуется радиусом кривизны R.
Чтобыодни и те же формулы были справедливы для выпуклой и для вогнутой поверхностей,значение R считают положительным, если центр кривизны лежит на оси Z справаот границы, и отрицательным противном случае. Для нахождения матрицы преломления выберем опорные плоскости ОП1 и ОП2 по обе стороны в непосредственнойблизости от преломляющей поверхности. Расстояние между ними R(1 − cos β) в параксиальном приближении пренебрежимо мало. Поэтому можно считать, что лучпересекает их на одном и том же расстоянии от оси, т. е. y1 ≈ y2 .
Чтобы найти, какпреобразуется параметр V = nα, воспользуемся законом преломления, который дляпараксиальных лучей сводится к n1 θ1 = n2 θ2 . Так как θ1 = α1 + β и θ2 = α2 + β(Рис.5.7), то умножая первое из этих равенств на n1 , а второе — на n2 и используязакон преломления, получаем, что n2 α2 = n1 α1 + β(n1 − n2 ). Перепишем его, вводяV2 = n2 α2 , V1 = n1 α1 и β = y1 /R: V2 = V1 − P y1 , где P = (n1 − n2 )/R — оптическая53сила преломляющей поверхности.
Учитывая, что y1 = y2 , получаем закон преобразования параметров луча при преломлении, описываемый следующей матрицейпреломления T :µy2V2¶µ=1 0−P 1¶µy1V1¶µ,T =1 0−P 1¶(5.9)В случае плоской поверхности R = ∞, P = 0 и преломление описывается единичнойматрицей, так как V1 = V2 .Чтобы включить в рассмотрение отражающие поверхности, вводят следующее правило: когда луч распространяется в отрицательном направлении оси z, показательпреломления среды, через которую он проходит, считается отрицательным (−n).Тогда закон отражения θ2 = −θ1 формально можно рассматривать как частный случай закона преломления при n1 = −n1 .
Матрица преобразования параметров лучапри отражении от сферической поверхности имеет точно такой же вид как матрица преломления (5.9), если в выражении для оптической P заменить n2 на −n1 :P = −2n1 /R. Для выпуклого зеркала R > 0 и оптическая сила отрицательна (P < 0),для вогнутого — положительна P > 0)Толщина оптического промежутка l = z2 − z1 , между опорными плоскостями, проходящими через z1 и z2 положительна при z2 > z1 и отрицательна при z2 < z1 , т.
е.l < 0 для лучей, распространяющихся влево. Так как для таких лучей и показательпреломления нужно считать отрицательным, приведенная толщина L = l/n положительной. Поэтому матрица F (5.8) для оптического промежутка не зависит отнаправления лучей. Параметры луча на выходе сложной оптической системы могутбыть выражены через параметры входного луча путем последовательного примененияпреобразований этих параметров ее отдельными элементами.Рассмотрим в качестве примера линзу, т. е. однородную с показателем преломления n (например, стекло), ограниченную сферическими поверхностями с радиусами кривизны R1,2 (Рис.5.8). Толщина линзы, т.е.
расстояние между поверхностямивдоль оптической оси равно l. Обозначим: K1 (y1 , V1 ) — параметры некоторого луча на ОП1 (перед входом в линзу), K2 — на ОП2 (после преломления на первойповерхности), K3 — на ОП3 (после прохождения оптического промежутка приведенной толщины L = l/n, K4 (y4 , V4 ) на задней поверхности. Пусть F — матрицаоптического промежутка (5.8), T1,2 — матрицы преломления (5.9) соответственнодля первой и второй поверхностях, соответственно. В них P1,2 = (n − 1)/R1,2 (n —относительный показатель преломления).
Матрица преобразования M луча в этойсистеме равна произведению матриц для ее отдельных элементов взятых в обратномпорядке: M = T2 F T1 или K4 = M K1 = T2 F T1 K1 . Выполняя перемножение матриц,РИС. 5.8. Толстая линза54получаемµM=1 0−P2 1¶µ1 L0 1¶µ1 0−P1 1¶µ=1 − P1 LL−(P1 + P2 − P1 P2 L) 1 − P2 L¶(5.10)В случае тонкой линзы, когда толщину оптического промежутка l между преломляющими поверхностями можно считать пренебрежимо малой (l → 0), матрица Tвырождается в единичную и полная матрица M имеет такой же вид, как и матрица F преломления на одной поверхности, но с оптической силой P = P1 + P2 =(n − 1)(1/R1 − 1/R2 ).Таким способом можно найти полную матрицу M преобразования параметров параксиального луча для произвольной центрированной оптической системы, если известны кривизна и взаимное расположение ее преломляющих и отражающих поверхностей и значения показателей преломления.
Введем обозначения для ее элементовA, B, C, D:µ¶A BM=(5.11)C DОна связывает параметры входящего луча (y1 , V1 ) c параметрами выходящего(y2 , V2 ):µ¶ µ¶µ¶y2A By1=(5.12)V2C DV1Матричные элементы удовлетворяют соотношению det M = AD − BC = 1 и связаныс фокусным расстоянием системы F и координатами ее главных плоскостей H1,2 :1D−1A−1F = − , H1 =, H2 =(5.13)CCCДля примера рассмотрим систему, изображенную на Рис.5.9. Пусть луч, входящий в оптическую систему параллельно оптической оси на некоторой высоте y1 .
Длянего α1 = 0 и, следовательно, V1 = 0. На выходе из системы луч имеет параметрыy2 = ay1 V2 = CV1 . Угол его наклона к оптической α2 = V2 /n2 , поэтому луч (илиего продолжение) пересечет оптическую ось в точке F2 , отстоящей от последнейпреломляющей поверхности ОП2 на расстоянии t2 = −y2 /α2 = −n2 y2 /V2 . Подставляя сюда y2 V2 , получаем t2 = −n2 A/C. Расстояние t2 не зависит от y1 , т.
е. вселучи, входящие в систему параллельно оптической оси, проходят (в параксиальномприближении) через одну и ту же точку F2 , которую называют задней фокальнойточкой или задним главным фокусом оптической системы.Пересечение продолжений входящего параллельно оптической оси луча и выходящего луча происходит в плоскости H2 — главной плоскости. Определим фокусноеРИС. 5.9. К нахождению кардинальных точек оптической системы55расстояние F2 как смещение вдоль оси от H2 до F2 .
Тогда f2 = −y2 /α2 = −n2 y1 /V2(рис.5.8). Подставляя V2 = Cy1 получаем f2 = −n2 /C, т. е. фокусное расстояниеопределяется элементом C матрицы M оптической системы (7.20). Чтобы найтиположение передней фокальной точки F1 , рассмотрим луч, идущий через нее поднекоторым углом α10 . На выходе из системы он должен быть параллелен оптическойоси, т.
е. для него V10 = 0. Поэтому V20 = Cy10 + DV10 = 0. Подставив сюда V10 = n1 α10 ,найдем y10 = −dn1 α10 /C. Из Рис.5.9 видно, что t1 = −y10 /α10 = n1 D/C. Мы получили, что расстояние t1 не зависит от α10 , т. е. все лучи из F1 после прохождениячерез систему будут параллельны оптической оси. Рассматривая продолжения падающего и выходящего лучей, определяем положение передней главной плоскости H1и переднее фокусное расстояние, отсчитываемое от H1 (при этом учтено, что дляматрицы det M = 1). Когда показатели преломления сред по обе стороны от системыодинаковы f2 = −f1 , т.е. ее переднее и заднее фокусные расстояния равны модулю,но противоположны по знаку.Фокусы F1,2 и точки пересечения главных плоскостей H1,2 c оптической осьюназываются кардинальными точками.
Их положение полностью определяет преобразование любого параксиального луча оптической системой. Если оно известно,можно построить выходящий из системы луч, не рассматривая реального хода лучейв системе. Можно показать, что они полностью определяются элементами матрицыоптической системы.Фокусное расстояние оптической системы полностью определяется элементом Cматрицы преобразования лучей: f2 = −1/C. Как и у тонкой линзы, этот элемент,взятый с противоположным знаком, называется оптической силой системы P = −C.Для толстой линзы, как видно из матрицы (5.10), P = P1 + P2 − P1 P2 L Подставляявыражения для P1,2 и L, можно получитьP = (n − 1)[1/R1 − 1/R2 + (n − 1)l/nR1 R2 ](5.14)При P > 0 линза называется собирающей, при P < 0 — рассеивающей.
Диагональные элементы A и D матрицы M 18) позволяют найти положение главных плоскостейтолстой линзы: h1 = (D − 1)/C и h2 = (A − 1)/C (расстояния от входной и выходнойплоскости)Все полученные результаты справедливы при следующих условиях:• свет поступает в систему в виде параксиальных пучков;• пучки составляют небольшие углы с главной осью системы;• показатель преломления постоянен для всех лучей. т.е. среда не имеет дисперсииили свет монохроматичен.Все три условия не соблюдаются в практической оптике.
Мы, как правило, имеемдело с немонохроматическим светом и должны учитывать зависимость показателяпреломления от длины волны (дисперсия). Ограничение пучками, слабо наклоненными к оси, означало бы отказ от получения изображения точек, лежащих в стороне отглавной оси системы, применение лишь параксиальных пучков вело к использованиюнезначительных световых потоков. К тому же реальная линза является толстой.
Всеэто приводит к тому, что реальные оптические системы обнаруживают различноговида аберации или искажения, которые приходится устранять, используя различныеухищрения, правда этого невозможно делать до бесконечности.Необходимо помнить, что геометрическая оптика — всего лишь некоторое приближение. В этом смысле принцип Ферма, в отличие, например, от закона сохранения энергии или импульса, тоже приближение.565.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
