Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Видно, чтоосвещенность экрана периодически меняется в пространстве — в одних местах онамаксимальна, в других — минимальна.Положение максимумов, соответствующее cos(k · ∆) = 1, определяется условиемk · ∆ = ±2πm,(6.3)где целое число m = 0, 1, 2, ... — порядок интерференции. Так как k = 2π/λ, тоусловие (6.3) принимает вид ∆ = mλ, т.е. разность хода равна целому числу длинРИС. 6.3. К интерференции волн, испускаемых точечными источникамиS1 и S2 .61волн. Когда волны распространяются в среде с показателем преломления n геометрическую разность хода заменяют на оптическую разность хода интерферирующихволн: ∆ = n(r2 − r1 ).Положение минимумов соответствует cos k∆ = −1 илиk · ∆ = (2m + 1)π,(6.4)т.е. разности хода, равной нечетному числу полуволн ∆ = (2m + 1)λ/2.В областях минимума освещенность равна нулю, а в максимумах — в четыре разабольше интенсивности исходных волн.
Светлые полосы также называют областямиконструктивной интерференции (здесь интерференционное слагаемое положительно и имеет место усиление света), а темные — области деструктивной интерференции (интерференционный член отрицательный — гашение или ослабление света).Если начальная разность фаз ∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 6= 0, картина будет той же самой, нотемные и светлые полосы принимают некоторое промежуточное положение, зависящее от ∆ϕ. Действительно, в этом случае условие, например, максимума интенсивности в интерференционной картине имеет вид ∆/λ + ∆ϕ/2π = m.
Следовательно,отличие ∆ϕ от нуля эквивалентно тому, что ∆/λ не равно целому числу, как этобыло при ∆ϕ = 0.Чтобы получить зависимость освещенности экрана от координаты, выразимразность хода ∆ через координату x точки наблюдения. Для этого введем уголθ, образуемый направлением на точку P с перпендикуляром к линии, соединяющейисточники (Рис. 6.3). При θ ¿ 1 (d ¿ l) для разности хода можно записать ∆ ' d·θ.Учитывая, что θ ' x/l имеем ∆ ' x · d/l.
Подставляя ∆ в (6.2), получаем¶¸·µkdxI = 2I0 1 + cos(6.5)lВ x = 0 расположен максимум, соответствующий нулевой разности хода. Для негопорядок интерференции m = 0. Расстояние между соседними максимумами (илиминимумами) ∆x определяется из условия kd∆x/l = 2π, откуда ∆x = 2πl/kd = λl/d.Введем угол схождения лучей, т.е. угол, под которым видны источники из точкинаблюдения, α ' d/l, для ∆x получаем: ∆x ' λ/α.Интерференция плоских монохроматических волн.
Пусть в пространстве распространяются две монохроматические плоские волны с одинаковой поляризацией,частотой ω и одинаковыми начальными фазами, которые положим равными нулю. В комплексном представлении плоские монохроматические волны имеют вид:E1,2 = F1,2 (~r)e−iωt +к.с, где F1,2 (~r) = A1,2 (~r)eiϕ1,2 (~r) — комплексные амплитуды, аϕ1,2 (~r) = ~k1,2~r — фазы каждой волны в точке наблюдения, соответственно. Предполагаем, что волновые векторы ~k1 и ~k2 составляют углы ±α с осью z и лежатРИС.
6.4. Интерференция плоских волн. Волновые вектора k~1,2 плоскихволн лежат в плоскости xz, под углом ±α к оси z.62в плоскости xz (Рис.6.4). Проекции векторов ~k1 и ~k2 на ось y (перпендикулярноплоскости рисунка) равны нулю.Согласно принципу суперпозиции колебательный процесс в любой точке наблюдения есть сумма колебаний, поэтому комплексная амплитуда F (~r) результирующей волны E = F (~r)e−iωt равна сумме комплексных амплитуд F1 (~r) и F2 (~r):F (~r) = F1 (~r) + F1 (~r), а ее интенсивность I ∼ |F (~r)|2 равна|F (~r)|2 = |F1 (~r)|2 + F1 (~r)|2 = |F1 (~r)|2 + |F2 (~r)|2 + 2Re F1∗ (~r)F2 (~r),(6.6)или переходя к интенсивности I = (c/8π)|F |2 , перепишем (6.6) в виде:I(~r) = I1 (~r) + I2 (~r) + 2pI1 I2 cos (∆ϕ)(6.7)~ r— разность фаз слагаемых колебаний в точке наблюдегде ∆ϕ = ϕ2 (~r) − ϕ1 (~r) = K~~ = ~k2 − ~k1 , I1,2 — интенсивности исходных волн.ния; KИз (6.7) видно, что интенсивность результирующей волны складывается из интенсивностей источников (слагаемые I1,2 ) плюс интерференционное слагаемое.
Такимобразом, интенсивность результирующей волны не равна сумме интенсивностейслагаемых волн. В пространстве, где волны перекрываются, происходит перераспределение потоков энергий: в некоторых точках пространства результирующая интенсивность оказывается больше суммы интенсивностей слагаемых√ волн, а в других,наоборот, меньше. Результат зависит от третьего слагаемого 2 I1 I2 cos (∆ϕ), т.е. отразности фаз ∆ϕ колебаний в данной точке наблюдения. Оно описывает интерференцию.Разность фаз обусловлена тем, что волны проходят разные пути до точкинаблюдения или, как говорят, разностью хода.
При ∆ϕ = 2πm, соответствующейразности хода равной целому числу длин волн, cos (∆ϕ) = 1 имеется интерференционный максимум m-го порядка (светлые полосы), а при ∆ = (2m + 1)π, соответственно – интерференционный минимум. При I1 = I2 в областях минимума светадействительно нет, что соответствует темным полосам.Поскольку проекции волновых векторов ~k1,2 на оси x, y, z соответственно равныk1x = k sin α, k1x = k2y = 0, k2x = −k sin α, k1z = k2z = k cos α, то с учетом этогоперепишем (6.7) в виде:I(x) = I1 + I2 + 2pI1 I2 cos (2kx sin α).(6.8)Видно, что результируюшая интенсивность не зависит от z, т.
е. одинакова в любойплоскости наблюдения z = const, и поскольку она не зависит также от y, то влюбой плоскости z = const она имеет вид чередующихся светлых и темных полос,параллельных y, т.е. перпендикулярных плоскости рисунка (Рис.6.4).Расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности (интерференционными полосами) или между двумя соседними минимумами называют шириной интерференционной полосы. Очевидно, что переход от одной светлой полосы кдругой соответствует изменению аргумента синуса в (6.8) на 2π: 2kx sin α∆x = 2π.Отсюда находим∆x = l =πλ' ,2 sin (β/2)β63β ¿ 1,β = 2α.(6.9)Контраст интерференционной картины характеризуют величиной, называемойвидностью, которая определяеется как√Imax − Imin2 I1 I2V ==(6.10)Imax + IminI1 + I2Видность максимальна и равна единице при равных интенсивностях интерферирующих волн I1 = I2 (Imin = 0) и близка к нулю, когда интенсивность одной иинтерферирующих волн существенно больше другой.6.2.
Методы реализации интерференционной картины. Рассмотренные вышепримеры интерференции являются идеализированными, так при интерпретациипредполагалось, что источник света является точечным и излучает монохроматические сферические или плоские волны. Поэтому эти результаты имеют ограниченнуюприменимость, так как реальные источники света не являются таковыми. Реальныеисточники испускают немонохроматический свет, состоящий из отдельных цугов,соотношение фаз между которыми имеют случайный характер. Длительность цуговτ0 , как правило, не превышает 10−7 c, а его протяженность τ0 c (c — скорость света)менее одного метра даже в случае узких спектральных линий излучения газоразрядных источников низкого давления.
Только лазеры позволяют получать когерентныесветовые волны, близкие по свойствам к монохроматическим плоским или сферическим волнам.Излучение обычных (нелазерных) источников света представляют собой наложение огромного числа несогласованных между собой цугов волн, т.е. беспорядочныенекогерентные колебания, которые не могут интерферировать. Действительно,каждая частотная компонента немонохроматического излучения создает свою интерференционную картину (полосы) в плоскости наблюдения.
Эти полосы накладываются друг на друга, причем максимумы одной картины могут совпадать с минимумами другой. В результате освещенность экрана оказывается однородной, т.е. интерференция исчезает. Поэтому для наблюдения интерференции с использованиемРИС. 6.5. Некоторые интерференционные схемы, широко применяемыев оптике: а — схема Юнга, б — схема Ллойда, в — бипризма Френеля,г — билинза Бийе, д — интерферометр Майкельсона, е — звездныйинтерферометр; все лучи 1 и 2 идут от удаленного источника64немонохроматического света приходится прибегать к различным ухищрениям:применять спектральные фильтры, располагать источники таким образом, чтобы ихможно было считать точечными и другим.Наблюдать интерференцию света от некогерентных источников можно, если разделить излучение на два или несколько пучков, а затем свести их вместе. Хотя вкаждом из пучков за время наблюдения фазовые соотношения между цугами хаотически изменяются эти изменения одинаковы в разных пучках.
Интерференционнаякартина будет наблюдаться, если разность хода между пучками не превышаетдлины отдельного цуга.Способы разделения волны от первичного источника на две когерентные междусобой волны можно разбить на две группы: деление волнового фронта и делениеамплитуды. На Рис.6.5 приведены примеры нескольких интерференционных схем,широко применяемых на практике. Схемы на Рис. 6.5 а-г относятся к первой группе. Во всех схемах излучение источника S попадает на экран по двум различнымпутям (плечам) интерференционной схемы, отмеченным на рисунках индексами 1 и2.
В любом случае вместо первичного источника можно рассматривать два когерентных источника S1 и S2 , находящихся на некотором расстоянии d. Для определенияположения и формы интерференционных полос излучение можно считать монохроматическим. Наиболее важными характеристиками любой интерференционной схемыявляются: угол схождения волны β в точке наблюдения и угол Ω между лучами,исходящими из источника S, которые каким-либо способом сводятся далее в точкунаблюдения. Угол Ω называется апертурой интерференции.Две когерентные световые волны можно получить в результате отражениясвета от двух поверхностей плоскопараллельной прозрачной пластинки (пленки)(Рис.6.6 a).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
