Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Такие явления хорошо известны для длинных волн, например звуковых волнили волн на поверхности воды. В оптике этому соответствует проникновение светав область геометрической тени. В теории волн под дифракцией понимают всюсовокупность явлений в волновом поле, возникающих при наличии препятствийраспространению волн. Наконец, используя понятие интерференции света, можносказать, что дифракция — это интерференция в ограниченных световых пучках.Принципиальное значение дифракции состоит в том, что она, как и интерференция,доказывает волновую природу света. Фундаментальный смысл дифракции состоит втом, что она ограничивает возможности концентрации света в пространстве, кладетпредел разрешающей способности оптических и спетральных приборов, влияет наформирование оптического изображения и т. п.Первое сообщение о наблюдении дифракции света было сделано Гримальди.
Онустановил, что переход от света к тени происходит постепенно, а не резко. Этотрезультат не мог найти удовлетворительного объяснения в рамках корпускулярнойтеории света, которой в то время придерживались и согласно которой свет долженраспространяться прямолинейно, а изображение отверстия в плоскости наблюдениядолжно иметь резкую границу.Принцип Гюйгенса-Френеля.
Понимание природы дифракционных явлений связано с развитием представлений о свете как о волне. Первый шаг на этом путисделал в конце XVII в. (1678) голландский ученый Христиан Гюйгепс. Основываясьна догадке о том, что свет это волна, он выдвинул идею, раскрывающую механизмраспространения света. Гюйгенс полагал, что свет распространяется от источникаподобно волне на поверхности воды. На фронте светового возмущения каждаяРИС. 8.1. Построение огибающей световой волны по Гюйгенсу82РИС.
8.2. К выводу Интеграла Гюйгенса-Френеля: S — источник света,P — точкa наблюдения, SM = ρ1 , SP = ρ, ~n — нормаль к поверхностиΣ в точке M .точка есть источник вторичной сферической волны. Положение волнового фронта в следующий момент времени определяется огибающей вторичных волн.Принцип Гюйгенса иллюстрирует Рис.8.1, на котором показаны волновой фронтсветового возмущения, элементарные вторичные волны, огибающая вторичных волн.Пользуясь этим принципом, можно объяснить такие явления, как распространениесвета от точечного источника, распространение светового пучка, отражение и преломление света.
О.Френель ((1818)) дополнил принцип Гюйгенса представлениемо том, что вторичные световые волны могут как усиливать, так и ослаблятьдруг друга. Другими словами, они могут интерферировать. Световое поле есть результат интерференции элементарных вторичных волн, испускаемых каждымэлементом некоторой волновой поверхности. Это утверждение называют принципом Гюйгенса-Френеля. Основываясь на этом принципе, Френель смог с большойточностью рассчитать распределение света в дифракционных картинах.Дифракционный интеграл Френеля.
Принцип Гюйгенса-Френеля позволяет построить элементарную теорию дифракции света. Пусть имеется точечный источниксвета S. Требуется найти световое поле в некоторой точке P , если между точками Sи P расположено препятствие распространению света, например экран с отверстиемили непрозрачный диск.Сначала рассмотрим математическую формулировку принципа Гюйгенса-Френеля.Введем некоторую замкнутую поверхность Σ, охватывающую источник света, и будем считать каждый элемент dσ этой поверхности источником вторичной сферической световой волны (Рис.8.2). Рассмотрим некоторую точку M на поверхности dσ.Считая источник света S точечным, обозначим расстояние от S до M через ρ1 , арасстояние от M до точки наблюдения P через ρ. Введем также угол ϕ между нормалью ~n к поверхности Σ в точке M и направлением на точку наблюдения M P . Дляпростоты будем считать, что источник света испускает монохроматическую волну.Принцип Гюйгенса-Френеля утверждает, что световое поле в точке P есть результат наложения (сложения) световых волн, испускаемых всеми элементамиповерхности Σ.
Волну, испускаемую элементом поверхности dσ, можно считать сферической. Поэтому можно записатьZE(P ) =E(M )Σexp (−ikρ)K(ϕ)dσ.ρ83(8.1)Здесь E(P ) и E(M ) — комплексные амплитуды поля в точках P и M , ω иk = ω/c = 2π/λ — частота и волновое число световой волны, K(ϕ) — "коэффициент наклона", монотонно убывающий от некоторого начального значения K(0) донуля при изменении угла ϕ от нуля до π/2. Он учитывает то обстоятельство, чтовклад элемента dσ в результирующее поле зависит от ориентации данного элементаповерхности по отношению к направлению на точку наблюдения.Интеграл (8.1) называют интегралом Гюйгенса-Френеля. Формула (8.1) получена на основе качественных физических соображений.
Множитель exp (−ikρ)/ρ вподынтегральном выражении описывает распространение элементарной вторичнойсферической световой волны. Наиболее существенно то, что интеграл ГюйгенсаФренеля учитывает фазы элементарных вторичных волн, приходящих в точку P отразличных элементов поверхноcти Σ, т.е. принимается во внимание интерференциявторичных волн.Зоны Френеля.
Френель предложил хотя и приближенный, но изящный способрасчета дифракционных картин, основанный на представлении о так называемыхполуволновых зонах или зонах Френеля, которые вводятся следующим образом.Выберем поверхность Σ в виде сферы с центром в точке S. Согласно принципуГюйгенса-Френеля, данную поверхность можно рассматривать как источник вторичных световых волн. Выделим на сфере кольцевые зоны так, чтобы расстояния отграниц зоны до точки наблюдения отличались на половину длины световой волны.Обозначив границы зон буквами M0 , M1 , M2 ..., получимM0 P = OP + λ/2M1 P = M0 P + λ/2..........Mn P = Mn−1 P + λ/2(8.2)где λ — длина световой волны, P — точка наблюдения поля, O — центр нулевой зоныФренеля (Рис.8.3).Формулы (8.2) определяют положение границ зон Френеля.
Смысл разбиения поверхности Σ на зоны состоит в том, что разность фаз элементарных вторичныхволн, приходящих в точку наблюдения от данной зоны, не превышает π. Сложение таких волн приводит к их взаимному усилению. Поэтому каждую зону ФренеляРИС. 8.3. Зоны Френеля. S — источник света, P — точка наблюдения. Цифры 0, 1, 2 на правом рисунке соответствуют нулевой, первой ивторой зонам Френеля.84РИС. 8.4.
Схема дифракции на круглом отверстии. Плоская монохроматическая волна падает слева на круглое отверстие радиуса r. Штриховая линия — ось пучка. Tочка наблюдения P находится на расстоянииz от отверстия.можно рассматривать как источник вторичных волн, имеющих определенную фазу. Причем две соседние зоны Френеля действуют как источники, колеблющиеся впротивофазе, а, значит, вторичные волны приходят в точку наблюдения также в противофазе. Подчеркнем, что положение границ френелевских зон зависит от выбораточки наблюдения.Для того, чтобы оценить относительный вклад френелевских зон в интегралГюйгенса-Френеля, оценим радиусы зон и их площади (Рис.8.3).
Пусть a — радиуссферы Σ, b — кратчайшее расстояние от точки P до сферы, r0 — радиус нулевойзоны Френеля. Из Рис.8.3 видно, чтоr02 = a2 − (a − x)2 = 2ax − λ2 ,(8.3)r02 = (b + λ/2)2 − (b + x)2 .(8.4)2ax = bλ − 2bx + (λ/2)2 .(8.5)С другой стороны,Из (8.3), (8.4) следует, чтоОбычно в оптике a, b À λ, x. Поэтому для x можно записатьx=bλ2(a + b)(8.6)и при r02 ≈ 2ax получаемrr0 =λab.a+b(8.7)Формула (8.7) дает радиус нулевой зоны Френеля. Аналогичным образом для n-йзоны Френеля можно получить:rabrn = (n + 1)λ.(8.8)a+b858.2. Дифракция на круглом отверстии. Для примера рассмотрим случай дифракции монохроматической плоской волны на круглом отверстии (Рис.8.4).
Выберемнекоторую точку P на оси пучка и определим, как меняется интенсивность света вданной точке при изменении радиуса отверстия. Пусть z расстояние от точки наблюдения до экрана с отверстием, а r— радиус отверстия. В качестве поверхности Σ —источника вторичных волн — введем круг радиуса r, лежащий в плоскости экранаи совпадающий с отверстием. Разобьем поверхность Σ на зоны Френеля. В данномслучае они представляют собой кольца на плоскости. Их радиусы можно подсчитатьпо формуле (8.7), полагая a → ∞, b = z. Получимprn = (n + 1)λz.(8.9)Из формулы (8.9) следует, что зоны Френеля имеют одинаковые площади, определяемые формулой2Sn = π(rn2 − rn−1) = πλz.(8.10)Отметим, что полученный результат, как можно показать, справедлив для зон Френеля любой формы.Если известны длина световой волны, радиус отверстия и расстояние от экрана сотверстием до точки наблюдения поля, то, используя (8.9), можно вычислить числозон Френеля NF , попадающих в пределы отверстия, или число открытых френелевских зон, видимых из точки P .
Это число называется числом Френеля, оно играетважную роль в теории дифракции. Полагая rn = r, n + 1 = NF , получим из (8.9)r2.(8.11)λzВведение зон Френеля позволяет графически анализировать дифракционные явления. Вычисление результирующего светового поля, описываемого интеграломГюйгенса-Френеля (8.1), по сути дела сводится к суммированию световых колебаний,возбуждаемых элементарными вторичными источниками. С математической точкизрения задача сводится к суммированию гармонических колебаний, имеющих одну иже частоту, но разные амплитуды и фазы.
Это можно сделать графическим способомс помощью построения векторной диаграммы.Как известно, гармоническое колебание с амплитудой a и фазой (ϕ можно охарактеризовать комплексной амплитудой A = a exp (iϕ), которая изображается векторомна плоскости переменных Re A, Im A, причем длина вектора равна a, а угол наклонак оси Re A равен ϕ = arctan (Im A/Re A).
Сумма нескольких гармонических колебаний c произвольными амплитудами и фазами есть также гармоническое колебаниеNF =РИС. 8.5. Сложение гармонических колебаний методом векторной диаграммы86РИС. 8.6. Векторные диаграммы для расчета амплитуды дифракционного светового поля: a) открыта нулевая зона Френеля (все остальныезакрыты); б) открыта первая зона Френеля; в) открыты нулевая и первая зоны Френеля; г) открыты нулевая, первая, вторая и третья зоныФренеля. Короткие векторы обозначают комплексные амплитуды полей, приходящих в точку наблюдения от отдельных подзон Френеля.Длинные вектора изображает результирующее световое поля в точкенаблюдения.на той же самой частое.
Амплитуду A и фазу Φ результирующего колебания можнонайти, складывая по правилу сложения векторов векторы, изображающие колебанияслагаемые. Каждый такой вектор имеет длину, равную амплитуде колебания и уголнаклона к оси абсцисс, равный фазе данного колебания. После построения векторной суммы, амплитуда результирующего колебания находится как длина полученного вектора-суммы, а фаза результирующего колебания — как угол наклона этоговектора к оси абсцисс, как показано на Рис.8.5.Применим этот метод для расчета дифракционного интеграла Гюйгенса-Френеля.Сначала вычислим вклад в дифракционный интеграл какой-нибудь одной, напримернулевой зоны Френеля. Соответствующее построение показано на Рис.8.6 а.
Оновыполняется следующим образом. Разбиваем зону Френеля на множество концентрических колец (подзон). Очевидно, разбиение можно произвести таким образом,чтобы площади подзон были примерно одинаковы, а число подзон было достаточнобольшим. В этом случае вклады подзон изображаются векторами, которые имеютодинаковую длину, но разные углы наклона к оси абсцисс. Первый и последний векторы повернуты друг относительно друга на угол π — в соответствии с определениемзоны Френеля.
По мере увеличения радиуса вклад подзоны (и, следовательно, длинасоответствующего вектора) немного уменьшается в следствие увеличения угла между нормалью к поверхности Σ и направлением на точку наблюдения. Аналогичнымобразом строится вектор, изображающий вклад в дифракционный интеграл первой87РИС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
