Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 27
Текст из файла (страница 27)
монохроматические волны распространяются с различнымифазовыми скоростями, зависящими от частоты. В результате различные спектральные компоненты при распространении через среду приобретают разные фазовые набеги. Так как результат суммирования колебаний зависит от распределения фаз, то,очевидно, что форма импульса на выходе из среды, вообще говоря, отличается отформы импульса на входе.
Другим словами, в процессе распространения в диспергирующей среде световой импульс деформируется. Кроме того скорость переносаэнергии световым импульсом, распространяющимся в диспергирующей среде, существенно может отличаться от фазовой скорости.Если дисперсия не велика, то деформация формы импульса происходит медленно, и мы можем следить за перемещением отдельной амплитуды поля в импульсе,например, максимальной амплитуды поля, и определить скорость, с которой она переносится.
Определенную таким образом скорость, согласно Рэлею, называют скоростью перемещения импульса или групповой скоростью. Таким образом, групповаяскорость — это скорость движения огибающей волнового пакета или группыволн в диспергирующей среде. В общем случае она отличается от фазовой скоростилюбой из составляющих его монохроматических спектральных компонент.Рассмотрим понятие групповой скорости на примере двух близких по частоте плоских монохроматических волн, распространяющихся в диспергирующей среде вдольоси zE1,2 (z, t) = A sin (ω1,2 t − k1,2 z).(10.23)Здесь ω1,2 и k1,2 = k1,2 (ω1,2 ) — частоты и соответствующие им волновые векторы;Суммарное колебание имеет видE(z, t) = E1 (z, t) + E2 (z, t) = 2A cos (∆ωt − ∆kz) sin (ω0 t − k0 z),(10.24)где ω0 = (ω2 + ω1 )/2; k0 = (k1 + k2 )/2; ∆k = (k1 − k2 )/2; ∆ω = (ω2 − ω1 )/2; |∆k| << k0 ,|∆ω| << ω0 .Волна, описываемая формулой (10.24) показана на Рис.10.2.
Она представляетсобой колебания на средней (несущей) частоте ω0 , промодулированные с частотой∆ω << ω0 . Его амплитуда a = 2A cos (∆ωt − ∆kz) (или огибающая) меняется вовремени и в пространстве медленно по сравнению с несущей частотой ω0 . Такиеколебания называются биениями.111РИС. 10.2. Группа волн, представляющих суперпозицию двух близкихпо частоте монохроматических волнДля нахождения групповой скорости vg запишем условие постоянства амплитуды∆ωt − ∆kz = const(10.25)Дифференцируем по t: ∆ω−∆k·dz/dt = 0. Откуда для групповой скорости vg = dz/dtполучаем следующее выражение∆ωdωvg ==(10.26)∆kdkИспользуя связь волнового числа с показателем преломления k(ω) = (ω/c)n(ω),для групповой скорости можно записатьvpvg =.(10.27)∂n1 + ωn ∂ωПоскольку понятие групповой скорости применимо к областям нормальной дисперсии, где ∂n/∂ω > 0, то из (10.27) следует, что vg < vf . Это означает, что модуляциясветовой волны перемещается медленнее, чем несущая.
Различие между фазовой игрупповой скоростью тем больше, чем больше дисперсия dn/dω. В отсутствие дисперсии vf = vg . Это строго выполняется лишь для вакуума, где свет на любой частотераспространяется со скоростью c.Понятие групповой скорости, введенное на примере двух волн, остается справедливым и в случае, когда мы имеем дело с импульсом, состоящим из большого числаспектральных составляющих. Действительно, всякий импульс E(z, t) можно представить в виде Фурье разложенияZ ∞E(z, t) =A(k)ei[ω(k)t−kz] dk,(10.28)−∞где A(k) — амплитуда плосковолновой составляющей с волновым числом k (Фурьеобраз E(z, t)).
Согласно принципу суперпозиции, интеграл (10.28) удовлетворяетуравнениям Максвелла, так как плоские волны являются их решением. Параметры ω и k связаны дисперсионным соотношением k = n(ω)ω/c. В изотропной средеω(−k) = ω(k).Световой импульс характеризуют центральной частотой ω0 (или волновым числом k0 ) и шириной полосы частот ∆ω с центром ω0 . Рассмотрим эволюцию такогоимпульса во времени. Разложим ω(k) в ряд Тейлора в окрестности k0µ ¶dωω(k) = ω0 +(k − k0 ) + ....(10.29)dk 0Здесь мы ограничились линейным членом разложения, предполагая, что импульсявляется узкополосным, т.е. ∆ω << ω0 . На временном языке это означает, что длительность импульса много больше периода световых колебаний.112РИС.
10.3.Подставляя (10.29) в (10.28), получаем¸¸· ·µ ¶Z ∞dωi(ω0 t−k0 z)t − z (k − k0 ) dk =E(z, t) = eA(k) exp idk 0−∞(10.30)ei(ω0 t−k0 z) E[z − (dω/dk)0 t].Здесь E[z − (dω/dk)0 t] — огибающая импульса.Отсюда следует, что импульс распространяется с сохранением своей формы(Рис.10.3) с групповой скоростью vg = (dω/dk)0 . Это приближение имеет место,когда A(k) имеет ярко выраженный пик при k0 , а частота является медленно меняющейся функцией k. В противном случае необходимо учитывать следующие членыразложения в (10.29), но при этом форма импульса при распространении уже небудет сохраняться.Итак, огибающая импульса перемещается с групповой скоростью, при этом стечением времени ее профиль остается неизменным. Отметим, что понятие групповой скорости не является универсальным.
Оно имеет смысл лишь для узких световыхсигналов, распространяющихся в прозрачных средах. В резонансных условиях, когда импульс сильно искажается, понятие групповой скорости не применимо. Болеетонкий анализ показывает, что в отличие от фазовой скорости волны, характеризующей скорость смещения точки волны, имеющей фиксированное значение фазы,групповая скорость отражает скорость переноса энергии в волне, т.е. скоростьпередачи взаимодействия.10.3.
Рассеяние света в мутных средах. Известно, что в вакууме свет распространяется прямолинейно. Это связано с взаимным интерференционным гашениемвторичных сферических волн, идущих от разных точек пространства, согласно принципа Гюйгенса. Такое гашение имеет место для всех направлений, кроме прямого,что и обуславливает прямолинейность светового пучка в вакууме. Аналогичным образом в однородной среде сферические световые волны, испускаемые отдельнымиатомами, интерферерируют так, что световой луч оказывается прямолинейным.113РИС.
10.4. К объяснению механизма прямолинейного распространениясвета в однородной средеМеханизм подавления бокового свечения поясняет Рис.10.4. Пусть А некоторыйатом среды расположен в пределах светового пучка. Под действием падающей световой волны оптический электрон атома начинает совершать вынужденные колебания.в результате чего атом становится источником волны. Рассмотрим излучение атома,идущее под углом θ к оси светового пучка. Как видно из рисунка, для любого угла θкроме θ = 0, найдется такой атом B, который в том же самом направлении испускаетволну, находящуюся в противофазе к волне первого атома. В самом деле, если, например, падающее излучение имеет структуру плоской волны, то атом В находится втом же самом поперечном сечении пучка на расстояние d от атома A, определяемомусловием d sin θ = λ/2, где λ — длина световой волны. Таким образом, атомы A и Bвзаимно гасят излучение друг друга в направлении θ.
Поскольку аналогичную паруатомов можно подобрать для любого угла θ 6= 0, приходим к выводу, что свет распространяется прямолинейно. Такое уничтожение возможно лишь при одинаковойамплитуде всех вторичных волн. А это достигается в однородной с точностью до λсреде.Можно ожидать, что в неоднородной среде луч света не будет прямолинейным, т.е.будет переизлучение света или, как говорят, рассеяние назад и в стороны, так какамплитуды и фазы вторичных волн в неоднородной среде различны. Это возможно вмутных средах с размерами частиц d > λ и в чистых с размером неоднородностиплотности с такими же размерами. Действительно, опыт показывает, что для неоднородных сред характерно сильное рассеяние света, т.е. свет попав в такую средупереизлучается в разные стороны.
Именно по этой причине, например, задымленныйвоздух и туман выглядят "мутными".Можно показать, что интенсивность рассеяного света прямо пропорциональна четвертой степени частоты внешнего воздействия или обратно пропорциональна четвертой степени длины волны.P ∼ ω4 ∼1λ4(10.31)Выражение (10.31) называется законом Рэлея.Именно этим законом объясняется голубой цвет неба. Солнечный свет проходитсквозь воздух, и, когда мы смотрим в сторону от Солнца, например, перпендикулярнопадающему лучу, мы видим свет голубой окраски.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
