Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Структура световой волны в анизотропном кристалле. Рассмотрим особенности распространения плоской монохроматической световой волны в анизотропномкристалле. Ее структура в линейной анизотропной, однородной и прозрачной средеопределяется уравнениями Максвелла.128~ H,~ D~ и ~k в анизотропномРИС. 12.3. Взаимная ориентация векторов E,~ перпендикулярен всем остальным векторам (ихкристалле. Так как Hконцы которых соединены пунктирной линией), то последние лежат водной плоскости, перпендикулярной ему.Для плоских монохроматических волн в комплексном представлении эти уравнения имеют вид~ = ω H,~[~k, E]c~ = − ω D,~[~k, H]c~ = 0,(~k, D)~ = 0,(~k, H)(12.1)~ H~ и D~ — комплексные амплитуды электрической и магнитной составляюгде E,щих световой волны, и электрической индукции, соответственно; ω — частота, ~k —волновой вектор.~ D,~ ~k образуют правую тройку взаимноИз (12.1) видно, что вектор векторы H,~ перпендикуляренперпендикулярных векторов, как показано на Рис.12.3.
Вектор E~ и лежит в плоскости векторов D~ и ~k, но вообще говоря, не параллеленвектору H~вектору D.Направление переноса энергии в световой волне определяется вектором Пойн~ = (c/4π)[E,~ H].~ Для характеристики этого направления введем единичныйтинга S~ S|,~ ориентированный вдоль вектора S.~ Его называют лучевым вектовектор ~s = S/|ром, так как направление переноса энергии — это и есть направление лучей. Ясно,~ перпендикулярен векторам E~ иH~ и, следовательно, лежит вчто вектор Пойнтинга S~ D,~ но он не параллелен вектору ~k (Рис.12.3). Это означает,плоскости векторов ~k, E,направление лучевого вектора ~s в анизотропном кристалле может не совпадатьс направлением ~k, т.е с направлением нормали к волновому фронту световой~ равен углу между векторами D~ иE~ и назыволны.
Угол β между векторами ~k и Sвается углом анизотропии. Плоскость равных фаз перемещается вдоль вектора ~k сфазовой скоростью v. Скорость u перемещения этой плоскости вдоль луча ~s называется лучевой скоростью. Когда ~k и ~s не совпадают, лучевая и фазовая скоростине равны и связаны, как видно из Рис.12.3, соотношением v = u cos β = u(~k~s).~ и E~ обусловливаетОказывается, что именно непараллельность векторов Dсвоеобразные оптические свойства анизотропных кристаллов.
Причина этого явления состоит в следующем. При распространении световой волны на электроны~ волны. Однако смещениедействует внешняя сила, направленная вдоль вектора Eэлектронов происходит не в направлении этой внешней силы, а в направлении,определяемом структурой кристалла.
В результате вектор поляризации среды P~129~ В свою очередь вектор электрической иноказывается не параллельным вектору E.~ =E~ + 4π P~ также не параллелен вектору E.~дукции DВажнейшим свойством анизотропной среды является то, что подвижность оптических электронов по отношению к различным направлениям в кристалленеодинакова, т.е в одних направлениях они могут смещаться под действием светадовольно свободно, а в других нет.
Поэтому связь между поляризованностью инапряженностью световой волны имеет видPα = æαx Ex + æαy Ey + æαz Ez(12.2)где индекс α = (x, y, z).Уравнения (12.2) принято записывать в сокращенной формеPα = æαβ Eβ(12.3)Здесь α, β = (x, y, z), а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование; æαβ (ω) является тензором. В анизотропной среде связь между поляризованностью и полем имеет тензорный характер, а восприимчивость представляетсобой тензор.Физически (12.2) означает, что x-компонента вектора P~ зависит в общем случае~ так и от y и z-компонент.
То же самое касается икак от x-компоненты вектора E,~других проекций вектора P .~ =E~ +4π P~ или в декартовых координатах Dα = Eα +4πPα , то используяТак как D(12.2), получаем Dα = Eα + 4πæαβ (ω)Eβ илиDα = εαβ (ω)Eβ ,(12.4)где εαβ (ω) = δαβ + 4πæαβ (ω) — тензор диэлектрической проницаемости линейнойанизотропной среды, δαβ — символ Кронекера.Можно показать, что в прозрачной среде тензоры линейной оптической восприимчивости и диэлектрической проницаемости симметричны, т.е.æαβ = æβα ,εαβ = εβα ,β, α = x, y, x.(12.5)Тензор εαβ (или æαβ ) означает собой совокупность девяти чисел (матрицу)εxx εxy εxz εxy εyy εyz (12.6)εzx εzy εzzНе всякая матрица является тензором, а лишь такая, которая связывает два вектора по правилу (12.3), которое представляет краткую запись полного соотношения(12.2). Компоненты тензора εαβ определяются структурой конкретного кристалла, aтакже зависят от выбора системы координат.Можно выбрать направления осей декартовой системы координат так, что симметричный тензор εαβ будет диагональным.
В этой системе координат тензор имеем виддиагональной матрицыεxx 0 0 0 εyy 0 0 0 εzz~ иE~Эта матрица соответствует следующей связи между DDx = εxx Ex ,Dy = εyy Ey ,130Dz = εzz Ez .(12.7)Формулы (12.7) "говорят" о том, что существуют три направления в кристалле,~ совпадает с одним из этих направлений, то вектор D~ (и P~ )такие, что если вектор Eбудет ему коллинеарен. Направления x, y, z в кристалле, для которых выполняютсяравенства (12.7), называются главными направлениями или главными осями координат, а величины εxx , εyy , εzz — главными диэлектрическими проницаемостямианизотропного кристалла. В общем случае они не равны друг другу.В прозрачной среде им соответствуют три главных показателя преломления nx =√√√~ параллеленεxx , ny = εyy и nz = εzz .
Это значит, что волна, в которой Eоси x, распространяется с фазовой скоростью vx = c/nx , соответственно, волны, вкоторых колебание поля происходит параллельно осям y и z, имеют фазовые скоростиvy = c/ny и vz = c/nz . Кристаллы, у которых три главных показателя преломленияразличны, т.е. nx 6= ny 6= nz , называются двуосными. В таких кристаллах существуетдва направления, при распространении вдоль которых световой луч не раздваивается.Эти направления называют оптическими осями.Если одинаковы два из трех главных показателей, т.е. nx = ny 6= nz , то кристалл называется одноосным. В этом случае ось z называют оптической осью кристалла.
Подчеркнем, что оптическая ось — это не фиксированная прямая в кристалле, а направление, т.е. любая прямая параллельная оси z, является оптическойосью кристалла. Показатель преломления nz обычно обозначают ne , а показателиnx = ny = no . Кристаллы, у которых ne > no называют положительными (кварц), апри ne < no — отрицательными (исланский шпат).Отметим, что приведение тензора εαβ к диагональному виду означает поворотсистемы координат. Такому тензору может быть поставлена в соответствие поверхность второго порядкаx2y2z2++= 1,εxx εyy εzz(12.8)которую называют эллипсоидом диэлектрической проницаемости или с учетом ε =n2x2y2z2++= 1,n2x n2y n2z(12.9)— эллипсоид показателя преломления. Здесь nx ,ny и nz — главные значения показателя преломления. В сечении этого эллипсоида плоскостью, перпендикулярнойнаправлению распространения света, получим эллипс. Главные полуоси этого эллипса и будут значением показателя преломления для двух взаимно перпендикулярно поляризованных компонент.Собственные состояния поляризации световой волны в анизотропном кристалле.
Основная особенность распространения света в анизотропном кристаллесостоит в том, что световая волна с произвольным состоянием поляризации распадается на две линейно поляризованные волны с ортогональными поляризациями,бегущие с разными фазовыми скоростями. Рассмотрим сначала простые частныеслучаи.Пусть плоская монохроматическая световая волна распространяется вдоль однойиз главных осей кристалла, например оси z (Рис.12.4).
Обозначим орты главныхосей кристалла ~x0 , ~y0 , ~z0 . В этом случае волновой вектор волны ~k||~z0 . Из поперечности~ = 0, следует, что вектор D~ лежит в плоскости x, y.световой волны (~k, D)131РИС. 12.4. К анализу собственных состояний поляризации световойволны а анизотропном кристалле. Показаны главные оси кристалла x,y, z и волновой вектор световой волны ~kРИС.
12.5. Собственные состояния поляризации в анизотропном кристале~ k ~x0 , т. е. волна поляризована вдоль главной осиа) Предположим теперь, что Dx кристалла. Тогда Dy = Dz = 0, и по формулам (12.7) получаем Ey = Ez = 0,~ параллелен вектору E.~ Это означает, чтоDx = εxx Ex , откуда следует, что вектор Dпо отношению к данной волне среда подобна изотропной, и волна бежит со скорость√v1 = c/ εxx . Поляризация волны устойчива (Рис.12.5 а).~ k ~y0 , т.е.
световая волна параллельна главной оси y кристалла.б) Пусть теперь D~ k E~ k y~0 , но скоростьРассуждая аналогичным образом, нетрудно показать, что D√волны будет теперь v2 = c/ εyy . Поляризация волны устойчива (Рис.12.5б).~ ∦ x~0 , D~ ∦ y~0 . Используя формулы (12.7) и учитывая, чтов) Пусть теперь D~ и E~ лежат в плоскости x, y, но неεxx 6= εyy , приходим к выводу, что векторы D~ E,~ ~k не компараллельны друг другу (Рис.12.5 в). Однако в этом случае векторы D,планарны и, следовательно, волна с такой структурой не может распространятьсяв кристалле в силу уравнений Максвелла. Таким образом, в анизотропном кристалле волна распадается на две волны с ортогональными поляризациями, бегущие132~ = x~0 Dx + y~0 Dy (Рис.12.5 г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
