Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 32
Текст из файла (страница 32)
По мере распрострас разными скоростями, т.е. Dнения в кристалле разность фаз между ортогональными компонентами поля будетменяться. Поэтому волна в кристалле будет иметь эллиптическую поляризацию, причем параметры эллипса поляризации будут меняться по мере изменения расстояния,пройденной волной в кристалле.На частном примере показано, что в анизотропном кристалле произвольная световая волна неустойчива — она распадается на две линейно поляризованныеволны с ортогональными направлениями поляризации, которые бегут в одном итом же направлении, но с разными фазовыми скоростями.
В рассмотренном примере, когда световая волна распространяется вдоль главной оси z кристалла,есть только два устойчивых состояния поляризации волны: линейная поляризация вдоль оси x и линейная поляризация вдоль оси y. Эти состояния поляризацииназывают собственными состояниями поляризации световой волны в анизотропном кристалле.Можно показать, что и в общем случае, когда волна распространяется в произвольном направлении относительно оси кристалла, также происходит разложениесветовой волны на волны с собственными состояниями поляризации.Итак, для каждого направления ~k распространения световой волны в кристалле имеются два "разрешенных" ("собственных") направления поляризации, которые ортогональны друг другу. Произвольно поляризованная волна распадается надве линейно поляризованные "собственные"волны, распространяющиеся с разнымискоростями.
Найдем эти собственные состояния поляризации, если световая волнараспространяется в произвольном направлении в одноосным кристалле.12.3. Одноосный кристалл. В одноосном кристалле nxx = nyy = n0 6= nzz = ne , поэтому главная ось z физически выделена. Ee называют оптической осью кристалла.Любая световая волна, распространяющаяся вдоль оптической оси, сохраняетсвою поляризацию, при этом скорость волны не зависит от ее поляризации. Водноосном кристалле такое направление только одно.Пусть плоская монохроматическая световая волна распространяется в одноосноманизотропном кристалле в некотором направлении, характеризуемом волновым вектором ~k. Допустимые состояния поляризации волны определяются следующими об~ и E~стоятельствами.
С одной стороны, из-за анизотропии кристалла векторы Dсветовой волны, вообще говоря, не параллельны друг другу. С другой стороны, в~ E~ и ~k должны лежать в одной плоскости,силу уравнений Максвелла векторы D,т.е. должны быть компланарными.~ и E)~ математически выПервое из этих условий (неколлинеарность векторов Dражается формулами (12.7), которые для одноосного кристалла могут быть записаныв видеDx = n20 Ex ,Dy = n20 Ey ,Dz = n2e Ez .(12.10)~ E~ и ~k можно представить в виде равенстваУсловие компланарности векторов D,нулю смешанного произведения векторов~ D])~ =0(~k, [E,(12.11)Подчеркнем, что уравнения (12.10) и (12.11) являются независимыми: (12.10) представляют собой материальные уравнения среды, а (12.11) есть следствие уравненийМаксвелла.
Все вместе они они могут выполняться не для всякой поляризации133РИС. 12.6. Поляризация обыкновенной и необыкновенной световыхволн в одноосном анизотропном кристалле. Главная плоскость (а), поляризация обыкновенной волны (б), поляризация необыкновенной волны (в), взаимная ориентация обыкновенной и необыкновенной волн (г).Пунктирной линией соединены концы векторов, лежащих в одной плоскостиволны, а лишь для некоторых избранных поляризаций, которые и называются собственными поляризациями световой волны в анизотропном кристалле.~ D]~ перпендикулярен оси z, то смешанное произведениеТак как вектор [E,~ D])~ = 0,(~z0 , [E,(12.12)~ иE~ должны быть компланарны.
Условия (12.11), (12.12) определят.е. векторы ~z0 , Dют возможные состояния поляризации световой волны в одноосном кристалле.Оба указанных условия выполняются в двух случаях. Во-первых, если вектор~~ и, следовательно,D||E~ D])~ = 0.[E,(12.13)~ лежит в плоскости векторов ~z0 и ~k, что математическиВо-вторых, если вектор Dможно записать в виде равенства~ = 0,(~z0 , [~k, D])(12.14)Оба полученных условия удобно выразить, если ввести понятие главной плоскости — плоскость, в которой лежат волновой вектор световой волны ~k и оптическая ось ~z0 одноосного анизотропного кристалла.Условие (12.13) выполняется для волны, поляризованной перпендикулярно главной плоскости. Такую волна называют обыкновенной (о-волна). Вектор поляри~0 изации этой волны перпендикулярен оптической оси кристалла, векторы D~0 = D~ 0 /n2 параллельны, скорость обыкновенной волны ~v0 не зависит от направE0ления распространения в кристалле.
Обыкновенные волны в кристаллах ведут134РИС. 12.7. К расчету скорости необыкновенной волны в одноосном анизотропном кристалле: ~k — волновой вектор световой волны, z — оптическая ось кристалласебя, как волны в изотропных средах. Поэтому волновые поверхности излученияточечного источника являются сферами. Отсюда и название — обыкновенная волна.Условие (12.14) выполняется для волны, поляризованной в главной плоскости.Такая волна называется необыкновенной (e-волна). Вектор индукции этой волны~e и E~e = D~ 0 /n2 не паралне перпендикулярен оптической оси кристалла, а векторы Deлельны друг другу (Рис.12.6), скорость распространения необыкновенной волны~0 и D~ e взаимно перпендику~ve зависит от направления в кристалле. Векторы Dлярны.Итак, в одноосном анизотропном кристалле для любого направления ~k существуетдва разрешенных ("собственных") направления поляризации световой волны.
Одноиз них перпендикулярно главной плоскости, другое ей параллельно. Волна с произвольным состоянием поляризации распадается в кристалле на две линейно поляризованные волны со взаимно ортогональными ("собственными") направлениями поляризации. Скорости распространения этих волн различны. Скорость обыкновеннойволны не зависит от направления распространения и равна ~v0 = c/n0 .
Скоростьнеобыкновенной волны зависит от направления распространения в кристалле илежит в диапазоне между c/n0 и c/ne . Последнее означает, что показатель преломления для необыкновенной волны зависит от направления распространения.Для луча, распространяющегося вдоль оптической оси n0 = ne , v0 = ve , т.е. вдольоптической оси существует только одна скорость распространения света. Различие между v0 и ve для всех направлений, кроме направления оптической оси,обуславливает явление двойного лучепреломления света в одноосных кристаллах.Определим скорость необыкновенной волны для заданного направления распространения в кристалле. Предположим, что необыкновенная волна распространяетсяв некотором направлении ~k, не совпадающим ни с одной из главных осей одноосногоанизотропного кристалла (Рис.12.7). Из уравнений Максвелла (12.1) для плоскихволн, запишем дисперсионное уравнение2~ +ω D~ = 0,[~k, [~k, E]]c2или2~ ~k − k 2 E~+ω D~ =0(~k, E)c2(12.15)~ и (~k, E)~ = 0, то согласно уравнению~ = n20 EТак как для обыкновенной волны имеем D(12.15), имеем k = (ω/c)n0 , v0 = c/n0 вне зависимости от направления ~k.Введем единичный вектор m~ = ~k/k и показатель преломления для необыкновеннойn, связанный с ее волновым числом формулой k = (ω/c)n.
С учетом этого второе135уравнение (12.15) запишем в виде:~− 1D~ = (m,~ m.E~ E)~(12.16)n2~ связаныДля одноосного анизотропного кристалла компоненты вектора индукции Dс компонентами вектора напряженности электрического поля световой волны формулами (12.10). Переходя к декартовым компонентам и учитывая (12.10), получимтри скалярных уравнения~ x~ y~ z(m,~ E)m(m,~ E)m(m,~ E)mDx = 1,D=,D=(12.17)yz11− n12− n12− n12n2n2n20e0где n0 и ne — главные показатели преломления одноосного кристалла.
Поскольку~ = 0 или mx Dx + my Dy + mz Dz = 0, то (12.17) можно записать в виде(m,~ D)m2x + m2y11 +−2n2n0m2z11 = 0−2nn2(12.18)eЭто уравнение называется уравнением нормалей Френеля, оно позволяет рассчитать показатель преломления необыкновенной волны n для любого направления m~в кристалле.Уравнение Френеля удобно записать в более компактном виде, если направлениераспространения световой волны в кристалле характеризовать не вектором m,~ а углом ϕ между волновым вектором и оптической осью кристалла z (Рис.12.7). Учитывая, что |m|~ 2 = 1 и, следовательно, m2x +m2y +m2z = 1, где mz = cos ϕ, m2x +m2y = sin2 ϕ,уравнение (12.18) можно записать в видеsin2 ϕcos2 ϕ+=011− n12− n12n2n2или(12.19)e02sin ϕ cos2 ϕ1+= 222nen0nИз последнего уравнения получаем, чтоn0 nen(ϕ) = p.(12.20)22ne cos ϕ + n20 sin2 ϕТаким образом, зная главные показатели преломления одноосного кристалла n0и ne , и направление распространения можно вычислить показатель преломлениянеобыкновенной волны и ее скорость для любого направления в кристалле.РИС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
