Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 29
Текст из файла (страница 29)
В этом случаеволны параллелен плоскости падения Eграничные условия (11.1) имеют видr⊥ =H1 + H0 = H2 ,E1x + E0x = E2x(11.24)Выразим Ex через H, используя второе соотношение в (11.15)c kzH.ω εПодставляя (11.25) во второе соотношение (11.24), получим уравнениеEx =(11.25)k1zk2z(H1 − H0 =H2(11.26)ε1ε2Определим коэффициенты отражения и преломления формулами rq = H0 /H1 иtq = H2 /H1 . Используя это, первое соотношение (11.24) и (11.26) можно представитьв видеk2z ε11 + rq = tq ,1 − rq =tq .(11.27)k1z ε2Из (11.27) несложно определить искомые величиныrq =(k1z /ε1 ) − (k2z /ε2 ),(k1z /ε1 ) + (k2z /ε2 )tq =2k1z /ε1(k1z /ε1 ) + (k2z /ε2 )(11.28)Предположим теперь, что обе среды прозрачны, т.е. проницаемости ε1,2 , а также√показатели преломления сред n1,2 = ε1,2 действительные величины.
Нормальныекомпоненты волновых векторов падающей и преломленной волн выражаются формулами (Рис.11.1): k1z = −k1 cos θ1 , k2z = −k2 cos θ2 , где волновые числа k1,2 = (ω/c)n1,2 .Используя это для коэффициентов отражения r⊥ и rq можно записатьn1 cos θ1 − n2 cos θ2n2 cos θ1 − n1 cos θ2,rq =.(11.29)n1 cos θ1 + n2 cos θ2n2 cos θ1 + n1 cos θ2Принимая во внимание закон Снеллиуса (11.12), эти выражения нетрудно преобразовать к видуr⊥ =r⊥ =sin (θ1 − θ2 ),sin (θ1 + θ2 )rq =tg (θ1 − θ2 )tg (θ1 + θ2 )(11.30)Формулы (11.30) определяют амплитудные коэффициенты отражения света награнице раздела линейных изотропных прозрачных сред. Их называются формуламиФренеля.Из закона сохранения энергии с очевидностью следует, что2+ t2⊥ = 1,r⊥120rq2 + t2q = 1(11.31)РИС.
11.4. К пояснению эффекта БрюстераЭффект Брюстера. Из второй формулы (11.30) следует, что при определенныхусловиях коэффициент отражения rq обращается в ноль, когда знаменатель стремится к бесконечности. Это имеет место, если сумма углов падения и преломленияудовлетворяет условию:θ1 + θ2 = π/2(11.32)Таким образом, если падающая световая волна поляризована в плоскости падения и выполняется соотношение (11.32), то отраженная волна отсутствует. Этотэффект называют эффектом Брюстера.
Угол, при котором это происходит, называют углом Брюстера. Используя (11.32)) и закон преломления, нетрудно вычислитьвеличину этого угла.θB = arctan (n2 /n1 )(11.33)Например, для границы раздела "воздух-стекло" θB = 56◦ 400 .Брюстеровский угол называют также углом полной поляризации. Действительно, если падающий под этим углом свет неполяризован, то отраженный пучок светалинейно поляризован перпендикулярно плоскости падения. Таким образом, эффектБрюстера можно использовать для получения линейно поляризованного света.Это явление объясняется следующим образом.
Отраженный луч света представляетсобой переизлучение диполей второй среды. Из Рис.11.4 видно, что при выполненииусловия (11.32) отраженный и преломленный лучи оказываются взаимно перпенди~кулярными. При этом диполи второй среды, колеблющиеся параллельно вектору Eпреломленной волны и, следовательно, перпендикулярно преломленному лучу, не испускают свет в направлении отраженного луча, так как это направление совпадает снаправлением колебаний диполей.
В результате отраженный луч отсутствует, и всяэнергия света передается преломленному лучу. Отсюда следует, что эффект Брюстера возможен лишь при поляризации падающего луча в плоскости падения. Еслиже падающий луч поляризован перпендикулярно плоскости падения, то отраженныйлуч должен наблюдаться при любом угле падения.Изменение фазы световой волны при отражении и преломлении.
Из формулдля коэффициентов отражения и пропускания (11.23) и (11.28) следует, что еслиобе среды прозрачны, то амплитудные коэффициенты пропускания действительныеположительные числа. Это значит, что фаза преломленной волны совпадает с фазойпадающей волны на границе раздела.Амплитудные коэффициенты отражения также действительны, но могут бытькак положительными, так и отрицательными. Следовательно, в зависимости отусловий, фаза отраженной волны может либо совпадать с фазой падающей волнына границе раздела, либо отличаться от нее на π.121~ H~ и ~v в падающей (а) и отраженРИС. 11.5.
Расположение векторов E,ной волнахЕсли θ1 = 0, то несложно получить, чтоn2 − n1n2 − n1r⊥ = −,rq =,(11.34)n2 + n1n2 + n1т.е., при нормальном падении r⊥ = −rq . Смысл этого результата состоит в том, что~ или H~ световой волны должен изменитьпри отражении назад один из векторов E~ H~ и ~k как в падаюсвое направление на обратное; только в этом случае векторы E,щей, так и в отраженной волне образуют правую тройку векторов в соответствии стребованием уравнений Максвелла. При n2 > n1 можно показать, что r⊥ < 0, rq > 0~ сохраняет свое направление, а вектор E~и, следовательно, при отражении вектор Hменяет направление а противоположное. т.е.
его фаза меняется на π. При отраженииот от менее потной среды (n2 < n1 ) все происходит наоборот, т.е. фаза E-волнысохраняется, а H-волны меняется на π (Рис.11.5). Об этом обычно говорят как опотере полуволны при отражении. Для преломленной волны фазы обеих волн неменяются.Отношение потока энергии отраженной волны к потоку падающей называютэнергетическим коэффициентом отражения. Так как энергия пропорциональнаквадрату амплитуды, то, очевидно, что последний связан с амплитудными коэффи2циентами как R⊥,q = r⊥,q .
Используя формулы для r⊥ , rq (11.29), нетрудно записатьвыражения для R⊥,qµ¶2µ¶2n1 cos θ1 − n2 cos θ2n2 cos θ1 − n1 cos θ2R⊥ =,Rq =.(11.35)n1 cos θ1 + n2 cos θ2n2 cos θ1 + n1 cos θ2Если падающий пучок света линейно поляризован, а вектор E составляет угол ψс плоскостью падения, коэффициент отражения будетR = R⊥ cos2 ψ + Rq sin2 ψ.(11.36)Для неполяризованного света (11.36) следует усреднить по всем углам ψ.R = (R⊥ + Rq )/2.(11.37)11.2. Отражение света от поверхности металла.
Формулы Френеля, описывающие отражение и преломление света от диэлектриков, справедливы и для металлов.Однако имеются существенные отличия при отражении света от поверхности металлов по сравнению с диэлектриками. Они обусловленны дисперсионными свойствамидиэлектрической проницаемости металлов.В металлах некоторые из электронов не связаны с каким-либо определенным атомом. Такие электроны называют "свободными". Они ответственны за электрическуюпроводимость металла. В отличие от оптических электронов в атомах диэлектрикана свободные электроны не действует “квазиупругая” сила, удерживающая их около122какого-то атома, но сила “трения” характеризующая сопротивление движению электрона, остается. Следовательно уравнение (10.4) классической теории дисперсии ивсе следствия из него можно применить к свободным электронам, положив обусловленную квазиупругой силой собственную частоту ω0 равной нулю.
Поэтому формула(10.11) для диэлектрической проницаемости применима и для металлов, но в нейнеобходимо положить ω0 = 0:ε(ω) = n2 = 1 −ωp2.ω 2 + iωγ(11.38)pЗдесь плазменная частота ωp = 4πN e2 /m имеет такой же вид как и в формуле(10.11), но под N понимают концентрацию свободных электронов.Формула (11.38) для показателя преломления в металлах предсказывает совершенно разный характер распространения волн в металлах в областях низких ивысоких частот.
В случае высоких частот, удовлетворяющих неравенству ω À γ, вформуле (11.38) можно пренебречь мнимым слагаемым iωγ, и для диэлектрическойпроницаемости получается вещественное выражениеωp2ε(ω) = n = 1 − 2(11.39)ωИз этой формулы видно, что плазменная частота ωp , имеет смысл своего родакритической частоты. При ω < ωp диэлектрическая проницаемость отрицательна, апоказатель преломления чисто мнимый. Это значит, что волны с ω < ωp (но ω > γ) немогут распространяться в металле из-за сильного затухания, причем это затуханиене связано с поглощением (т.е. диссипацией) энергии. Физически это означает, чтопроисходит полное отражение падающей волны от среды.Чтобы показать это, воспользуемся формулами (11.12), (11.28) и (11.29), которыесправедливы и в случае комплексных показателей преломления.
При нормальномпадении2r⊥ = −rq = −n2 − n1n−1(n0 − 1) − in00=−=− 0,n2 + n1n+1(n + 1) + in00(11.40)где n = n2 /n1 = n0 − in00 — относительный показатель преломления. Для энергетического коэффициента отражения получаем¯¯¯ (n0 − 1) − in00 ¯2 (n0 − 1)2 + n002¯¯ =R = ¯− 0(11.41)(n + 1) + in00 ¯(n0 + 1)2 + n002Отсюда видно, что при чисто мнимом показателе преломления (n0 = 0) коэффициентотражения равен единице.При ω > ωp показатель преломления становится вещественным, а металл — прозрачным для излучения. Обычно плазменная частота у металлов попадает в областьрентгеновских лучей, но для некоторых металлов область прозрачности начинается с ультрафиолетовых лучей. Например, у натрия длина волны, соответствующаяграничной частоте ωp , составляет 210 нм.
Прозрачность щелочных металлов в ультрафиолетовой области спектра была обнаружена на опыте Вудом в 1933 г.При низких частотах, когда ω ¿ γ, и, следовательно, ω 2 ¿ 2γω, из (11.38)получаемε(ω) = n2 = 1 + i123ωp2.2γω(11.42)Концентрация свободных электронов в металлах такова, что ωp À Γ, поэтомуωp2 /2γω À ωp2 /2γ 2 À 1, т.е. мнимая часть много больше действительной. Для показателя преломления получаемsωp21 + i ωp√n' i=.(11.43)2γω22γωОтсюда следует, что показатель преломления являетсякомплексным с одинаковыми√000вещественной и мнимой частями n = n = ωp / 2Γω À 1.Таким образом, амплитуда волны уменьшается по мере проникновения в металл.Глубина проникновения z ' 1/α00 , где α — показатель поглощения.
Такие волныпроникают вглубь металла на расстояние, которое много меньше длины волны ввакууме (скин-эффект). При нормальном падении коэффициент отражения R, определяемый действительной частью показателя преломления для них близок к единице: R = [(n0 − 1)/(n0 + 1)]2 >> 1 и волна практически полностью отражается отповерхности.Для промежуточных частот ω ≈ ωp нужно пользоваться полным выражением(11.38), а не его предельными формами. В этом случае у показателя преломления отличны от нуля зависящие от частоты вещественная и мнимая части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
