Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов (1977) (1095911), страница 66
Текст из файла (страница 66)
КК 2 1„,,~2 — г„„р Полученный интеграл (~) 5 аа12п~(1~„/2)1 5 аа(хф„„) 1 — (~Гвх)' ' ) — увх)' ' а его нормированное значение -н 12п~И Ф)1 укк" ) у )а 1 — Ч~вк)' дает значение 1 в,, (О) .= 1. Соответствующи й график модуля спектра примоуголгпюго импульса имеет впд, показанный на рис. 309 (кривая Л). Наименьшая частота, прп которой спектральная плотность Обращается в пуль, равна ~„, — — — И„к.
Максимальные значения спектральной плотности соответствуют частотам, определяемым из уравнения функпия спектральной .плотности обращается в нуль при 2д.) (1„,.~2); —.— ):и для й .... ="=2, 3, 4,...; ири й -=. 0 и А ...: ! имеет место неопределенность. Неопределенность в числителе ири й .:.; 0 легко раскрывается ио правилу Лоииталя, чтО дает значеиие (О):-= 0,5, Раскрытие неопределенности при А:=- ! (~ -= М„,) дает зиачеиие1,„. (1й„х) =-:: 0,25. Соответсгвующий график спектра косинус-квадратного импульса имеет вид, представленный иа рис.
309 (кривая В). Наименьшая частота, при которой спектральная плотность обращается в нуль, равна ~„= — 2й„х Максимальные значения спектральной плотности соответствуют частотам, определяемым из уравнения д ~ япх с~х ),х [1 — (х/лЯ или 1 1 + 2Д! — (л/х)~) где х = 2л~ (1„„/2), т. е. главный максимум соответствует значению х:=- О, а первый боковой максимум — значению х = ==: =2,36п (425'), или ~,„, = 2,360„„. Спектральная плотность в первом боковом максимуме будет определяться величиной 1,„, д,„.,х,) = 0,027.
Глава 16 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ШУМА э 1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Несмотря на возможность усиления сколь угодно слабых сигналов до любой величины, все же их не всегда удается зарегистрировать из-за хаотических флуктуаций или шумов. На зажимах любого приемника нли системы, состоящей из приемника и усилителя, обычно существует определенный уровень шума. Этот шум определяет нижний предел энергии, которая еще может быть обнаружена. Любая величина, характеризующая работу приемника излучения (наиряжение, ток, сопротивление и т.
д.),флуктуирует по случайному закону около своего среднего значения. Эта флуктуация и есть то, что мы называем внутренним или собспгвенным шумом приемника. Распределение яркости природных образований в поле зрения прибора также имеет случайный характер, создает неоднородный фон, препятствующий обнаружению объекта наблюдения. В процессе сканирования неравномерности яркости фона в пространстве преобразуются приемником излучения в случайные изменения вырабатываемого им сигнала, которые принято называть шумом фона. Наряду с этим входная цепь усилителя и усилитель характеризуются собственными шумами усилшпеля, увеличивающими общий уровень шума прибора.
Процесс регистрации сигнала при наличии шумов требует предварительного знания отличительных признаков сигнала и шума. Использование этих признаков позволяет решить зада~у обнаружения — ответить на вопрос о наличии или отсутствии сигнала. Обычно ответ носит вероятностный характер, т. е. су ществует определенная вероятность и ложного решения.
Это свя- вано с тем, что любой признак или свойство в той или иной степени присущи как сигналу, так и шуму. Ио теории шумов и проблемам обнаружения имеется большое число книг и статей, поэтому главной задачей последующего изложения является подготовка читателя к свободному обращению с соответствующей терминологией и получение тех минимальных сведений о шуме, которые позволят в заключительной части этой книги решать простейшую проблему обнаружения.
С точки зрения математика шум представляет собой случайную функиив, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, какой именно — заранее неизвестно. Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной фунниии. Случайную функцию нельзя изобразить в ниде графика, начертить можно лишь ее конкретную реализацию. ~Аргументом случайной функции может быть ие только время, но и пространственные координаты. Например, яркость земной поверхности представляет собой случайную функцию координат рассматриваемой точки.
Температура воздуха в различных слоях атмосферы может рассматриваться как случайная функция высоты и т. д. На практике встречаются также случайные функции, зависящие пе от одного аргумента, а от нескольких. Например, яркость данной точки земной поверхности зависит от времени суток, т. е. является случайной функцией пространственных координат х, у н времени 1. Рассмотрим некоторые математические методы описания шума, используя в качестве аргумента обобщенную координату т„ которая в одних случаях может представлять собой временную координату 1, а в других — пространственные координаты х и у.
э 2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ Статистические свойства шума в общем случае описываются мноеомерными законами распределения. Пусть имеем случайную функцию (/ (х), две конкретные реализации которой У (т) и (l, (у) изображены на рис. 310. Если зафиксировать значение аргумента у, то случайная функция при этом фиксированном аргументе будет представлять собой случайную величину, которую называют сечением случайной функции. Эта случайная величина (/ может принимать любые значения, заранее неизвестно — какие именно.
' Предполагая, однако, что вероятность попадания случайной величины 0 внутрь малого интервала й(/ пропорциональна не~янине интервала, можно охарактеризовать ее этой вероятностью ~п =~(ц в или значением коэффициента пропорциональности — функцией которую называют плотностью распределения еероятноапей случайной величины О, или, поскольку 0 есть сечение случайной функции, одномерным законом распределения вероятностей случайной функции.
Так как непрерывная случайная величина У обязательно имеет какое-либо конкретное значение в промежутке от — оо Рис. ЗЮ. Реализации случайной функции до +сж, т. е. вероятность пребывания ее в этом промежутке равна единице, имеем следующее условие для функции ф ((/): которое называют ислоаием нормировки. Одномерный закон распределения ф ((/) не является исчерпывающей характеристикой случайной функции 0 (т).
Он характеризует распределение вероятностей только для данного, хотя и произвольного, значения аргумента и не отвечает на вопрос о распределении случайных величин 0 для различных т. Более полной характеристикой случайной функции является двумерный закон распределения ф (01, У,) — это закон распределения системы двух случайных величин О, =-0 (~~) и Уа = = (/ (Х,), т. е.
двух произвольных сечений случайной функции. Определить двумерный закон распределения можно, задавая вероятность дР того, что одна случайная величина имеет значение, заключенное между О, и О, + сИ/„а другая — между У, и У, + гИl„ = ф (~ 11 (~2) ~((. 1~(~21 тогда дР ') аи, Ва' 424 Для удобства отклонение (l от среднего значения с[' часто выражают в единицах величины о, называемой стандартным или среднеквадратическим отклонением, г;=- (У -- б)/о = И//о = — и~а, где И/ = и =- У = Π— центрированное значение случайной величины.
Тогда +« причем ~ ф (г) сЬ = 1. Двумерное нормалы[ое распределение имеет плотность распределения вероятностей вида ~[[У«, О«) = [1/[2««,а,[«Т — ««)[ х или — [!Д2 (1 — Г )1[ (з~ — 2ГХ~ 32-[-2Д [: [««, «,) — — - [1«(2«[/Т вЂ” «') [ е где о„ о, — стандартные отклонения случайных величин (сечений случайной функции) У, и Сl,; О„ Е7, — средние значения случайных величин 01 и У~; г — коэффициент корреляции случайных величин С1 и У„ определение которого приводится ниже.
Функции ф (У1, У,) и ф (г„ г,) связаны соотношением Д~[[Г,, Г~Н/, Ю,= Ц««[«,, «,) д«,й«,:::=!. Есл[[ г = О, то — [1/2) (~~ -[- ~~) ф (г„г,) =-- (1['2л) е В этом случае двумерная плотность распределения вероятностей может быть представлена в виде произведения двух одномерных функций 'ф (Р1. з2) =.— 'ф (М 'ф (зя) что существенно упрощает ее исследование, 1-1аряду с нормальным законом распределения при анализе п,умов, прошедших через узкополосный фильтр и детектор элекгроннои схемы *, используется распределение Релея, для которого — о /(2о~~) при 1/'-»0; при 0 «О. Тик как и — ак- 'Г Нп+ !)/21 в 2п -'н =- (а.+П/а где Г --- гамма-функция, то при и =.=.. 1 и а =--.
1/(2о4) — ах~ Г()) ) 2 хе дх = — = — =- ог,. 2й Следовательно, ~ ф(ЙИ/=-1. Соответственно, если обозначить г = (Ло„, то 11-(г)::= (~/ггД е ' ' . Вид функций для нормального и релеевского (при оа = 1) распределений представлен на рис. 311. Вероятность того, что сечение случайной функции (У (у) для аргумента у, равное У, не превзойдет значения О,, равна Р ((l <. ~/„~ --:= 1 гР(У) Лl. Функцию, задаюгцую эту вероятность, называют функцией РатряЭелентгя аерплтностеи сечения случайной функции ою г(и„) =-Р~ис ид = ~ ф(и)ж. ' Па выходе узкополосного фильтра гпум представляет собой модулирован'юс колебание, все параметры которого — несущая частота, фаза и огибающая —- являются случайными медленно меняющимися функциями времени. Среднее з"ачепне несущей частоты равно частоте настройки фильтра, а среднее значение 'и'-"'отного отклонения гпума близко к полосе пропускапия фильтра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
