Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов (1977) (1095911), страница 68
Текст из файла (страница 68)
з 6. энеРГетический спектР слУчАЙнОГО пРОЦессА ИЛИ СПЕКТР ХИНЧИНА — ВИНЕРА Случайный процесс представляет собой множество (ансамбль) случайных функций, обладающих различной формой и различной внутренней структурой, т. е. различным спектром. Всегда можно вычислить спектр для каждой конкретной реализации случайной функции, пользуясь разложением Фурье, однако усреднение комплексной спектральной плотности по всем реализациям приведет к нулевому спектру из-за случайности и независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях. Лаже для одной случайной функции разложение Фурье не имеет смысла, так как представление ее в виде суммы гармонических колебаний с амплитудами 20 (х) ах и вычисление спектральной плотности б (х) приводит вновь к случайной функции, поскольку каждая комплексная амплитуда является случайной величиной.
Следовательно, непосредственный спектральный анализ случайной функции не позволяет выявить, какого рода колебания преобладают в данном процессе, какова его внутренняя структура, так как спектральная плотность такого процесса сама является случайной функцией. В связи с этим вводится понятие спектральной плотности дисперсии случайной функции, поскольку дисперсия представляет собой неслучайную функцию, а ее распределение по частотам определяет спектральное распределение среднего квадрата заданной случайной функции. Спектральную плотность дисперсии называют также спектральной плотностью шума и представляют в виде Ьи~ йР Е(х) = 1ип — = —, ь о ~х "" откуда ~':= ~ Е (к) Йк, 0 Дисперсия случайной функции может быть разложена на бесконечно большое число элементарных слагаемых йР .-=- Е(х) с1х, каждое из которых представляет собой дисперсию, приходящуюся иа элементарный интервал частот дх, прилегающий к частоте х.
Если спектральная плотность шума не зависит от частоты, то шум называют белым, если же зависимость от частоты имеет место, то шум называют окрахиенным.."-,)та терминология заимство- Е вана из физической оптики, где бель)й свет представляют в виде йл) набора электромагнитных колеба- Х,)л Е<я иий всех частот, а окраска света Й)(и9 зависит от наличии преимущественных (по энергия) частот в спек- Р тре колебаний. -н--.Рла Р Для определения спектральной плотности шума могут использо- Рис.
312. Различные функиии спекваться следую1цие соотношения: тральной плотности шума ье = ) Е)и) Ии; +:О ~' =- ) Е,)к) й~; Е, (х) -- Е (х)/2: Е, (и)) =.= Е (и))/2; а === 2зтх Область интегрирования в некоторых из приведенных соотношеги)й расширена на интервал от — сю до ) оо, т е. в рассмотрение введены отрицательные частоты.
Соотношения между функциями * Е (х), Ее (х), Е (ы)), Е, (и)) ))ллюстрируются кривыми па рис. 312. ' Иногда удобнее использовать иные обозначения. Например, обозначать ")щстральиую плотность, учитывающую отрицательные частоты, К (х), а н обо"')чснис спектральной плотности для иолояснтсл),н),)х сзстот вводить индекс ) ') у символа частоты, т. с. Е (х,) нли К (н)„).
Формально установленная связь между дисперсией и спсктраль- нОЙ плотностью шума может быть су1цественио у Глублсйа, если найти зависимость спектралыюй плотности шума От фупкцни корреляции случайного процесса. Нетрудно понять возможные причины такой зависимости. Действительно, чем больше взаимосвязь между сечениями случайной функции, находящимися друг от друга на значительном расстоянии, тем, очевидно, более медленно развивается процесс, пе испытывая резких изменений в промежутках между рассматриваемыми сечениями Следовательно, в атом случае можно ожидать, что в спектральном распределении дисперсии случайного процесса отсутствуют составляющие на высоких частотах. Наоборот, если расположенные достаточно близко друг от друга сечении случайной функции связаны между собой слабо, можно ожидать быстрых изменений дисперсии процесса, т.
е. наличия значительной мощности его в высокочастотной области спектра. Для установления интересу1ощей нас зависимости предположим„что задана стационарная и эргодпческая случайная функция 0 (~), определенная при всех значениях аргумента т,. Пусть функция (l (т) имеет весьма большую, но конечнун! протяженность в интервале от — Х до +Х, т. е. опа представляет собой «урезанную» функцию, определяемую соотношением У (у) при < т < ~ Х, (~х (Х) '-= О при <т< >Х. Функция аетокорреляции рассматриваемой функции (/х (у), Определенная как среднее по аргументу, равна +х 1 К (Лт) — 11п! — ~ их (т) их (т -1-- Лу) ~~у, ж где пх (Х) и их (т -! Лу) — центрированпые значения функций (.1х (х) и Ух (ж +ЛХ).
Функции их (у) и их (т + Лу) можно представить в виде интегралов Фурье: Следовательно, х е'2 "* ~' ~ г(р, с1х сЬс, =. +ОО -~ Х ~ | ~ ° ~ ~ ~ | ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ и к ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ и и ~ ~ и С с Х ~ о ,-(и,)и*х(х)1,„,, Г -,„,, „ Х+е х —,~ во Ио внутренний интеграл прн Х --~ ею представляет собой дельтафунк~иио +Х Ии1 ~е~" ~"-"~хД-, б(х, х) х~в х поэтом) Э пх (~,) пх (~) ! ( У) ='= ~ е ~пн, ~ е ' '' "б(х, -- х) дхдх,.
Так как дельта-функция не равна пулю только ирп х, -= х, пользуясь фильтрунщим свойством дельта-функции, найдем * 1 К(ЛД=-- ~ 11н1 ', ' е' хдх. Обозначив Е1 (х) -=--1ип !~ нх(х) ~'42Х)!, найлом + Со К(Лу)::= ) Е,(х)е' " ~дх. Поскольку иа полученного соотногнепия видно, что К (Лв) есть преобрааование Фурье от Е, (х), то справедливо также и преобразование +кю Е, (х) == ) К(ЛХ)е ' "' 'д(ЛХ). ь Можно показать, что полученное значение иилиетеи оценкой фуикции аитокоцх'линии.
Гк)лее етрогое Раесмотоепие прииодие к Виражепию -~ ао К (~~ ) ~ р 1пхЩ ~2лилх При этом по-прежнему предполагается, что для случайной функция времени обобщенная координата т =-- 1, а для случайной функции пространственных координат у. = х или т = у. функция Е, (х) называется энергетическим спектром случайного процесса. Это название становится понятным, если учесть, что при ЛХ =- О К (л,Д К (О) и2 Дуя (Ц Ц~ т. е. представляет собой дисперсию процесса. Поскольку -~ ж К (Лу) ---= ~ Е, (х) е'~ "~" с1х, то и'= — ) Е,(х) с(х, откуда следует, что йР Е,(х) = — „ представляет собой спектральную плотность дисперсии — дисперсию, приходящуюся иа единичный интервал частот. Если процесс развивается во времени, а случайной функцией и (1) являются электрические напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом.
Спектральная плотность средней мощности представляет собой среднюю мощность, приходящуюся иа частотный интервал 1 Гц, т. е. мощность, умноженную иа время или энергию. Поэтому спектральную плотность дисперсии процесса часто называют энереетическим спектром или спектром мои1ности. Однако, если речь идет, например, о спектре флуктуаций потока излучения, который сам является мощностью, предпочитают пользоваться названием — спектр Хинчана — Винера, так как именно Хинчин н Винер показали, что автокорреляционная функция и энергетический спектр случайного процесса являются парой преобразований Фурье: ~ К (Л ) — ~~их лх 1 (~~), Ъ'чптывая различные определения спектральной плотности п)ума, а также четность корреляционной функции для стационарного случайного процесса, можно найти: +со е,се) = ) кслв)сов2овлвнслв!— = 2 ) КСЬ2) сов 2ов Ь2 ИСЛ2); о +со ео К(ЛХ) = — ~ Е,(х)е' "~~~Хх=2 ~Е,(х)соз2ххЛуйх, или Е (х) = 2Е, (х) = — 4 ~ К (Лт) соз 2хх Лт д (Лу); о К (ЛХ) = ~ Е(х) соз2лхЛудх, о +ее Е,(п)) = ' ~ = — ~К(Лт)е ~ ~" д(Лт) = : — — ~ К (Лу) соз и) Лу И(Лу); К СЬ2) — — 2о ) Ес фе) е~ в Л ) -в — „) =- =-= ~ К,(н))е' ' ~йо=-2 ~Е,(п))созе Лтй2), плп Е (и)) = — 2Е, (и)) = — — К (Лр) соз и) Л~ 0 (Лу); К (Лу) == 4 ~ Е (кю) соз а) Л~ Йю.
1)олучеппые результать) сведены и табл. 23. Снсиеральнаи плотность и ее сиизь с дисперсией Прссбразснанис Хиичина-Винера +о: Е (х) =. К(ЛХ)е -1~"х ~" и" (ЛХ) .==- + = 2 К (ЛХ) сон 2пх ЛХ" (ЛХ) о +со К (ЛХ) =- Е1 (х) е1~~" 1 Их --= =2 Е (х)соз2лхЛуйс о Е (х) +со ц =- ~ а,(,)о + со Е(х) =2 ~ К(Лу)е 1 пх "б(ЛХ)— +ос = 4 ~ К (ЛХ) соз 2пх ЛХ с( (Лу) о К(ЛХ) =- ~ Е(х) соз2пх ЛХс(х Е(х) = 2Е1(х) йз = ~ Е (х) Йс б +со Е,(сп).=-- — К(ЛХ)е 1и' "И(ЛХ) -=- 1 — К (Лу) соз и ЛХ д ( 1Х) +ос К(ЛХ) =- Е (сс)е1~ айг =- = 2 ~ Е1 (ю) сов ж ЛХ йг о Е,„,) Е () 2п +ос йа =.- Е1 (ы) с(сс +со Е(ц~)= — К(ЛХ)е 1~ Хп(ЛХ) = зт 2 7 = — ) К(ЛХ)созсн ЛХИ(ЛХ) Я 6 Е( )=2Е ( ) й — Е (1с) а1ы 0 К(ЛХ) =4 Е1(ю)созюлХди о 1" аблина 23 Наиболее употребительные определенны спектральной плотности и вила преобразований Хинчииа †Вине э 7.
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ И СПЕКТР ХИНЧИНА — ВИНЕРА НА ВЫХОДЕ ЛИНЕЙНОЙ ИНВАРИАНТНОЙ СИСТЕМЫ Пусть на произвольную линейную инвариантную систему с импульсной характеристикой У((Д действует сигнал ~/„,. (у), являющийся реализацией стационарного нормально распределенного случайного процесса. Тогда сигнал па выходе можно найти в виде интеграла свертки Так как сигнал, действующий на входе, случаен, то ансамблю реализаций 0„, (у) соответствует ансамбль случайных чисел (/„„,„(~).
Нас интересует закон распределения этих случайных чисел. Очевидно, что значения У„„(т,), взятые из нормально распределенного процесса (/„„(у), обладают нормальным распределением. При умножении йх на постоянное число К (т — т,) распределение остается нормальным. Таким образом, правая часть выражения для (/„„. (у) есть сумма нормально распределенных слагаемых, откуда следует, что (/„„„(~) подчиняется нормальному закону распределени я.
Это свойство нормального случайного процесса имеет фундаментальное значепие и формулируется обычно следующим образом: при любых линейных преобразованиях нормального процесса закон распределения остается нормальным. Корреляционную функцию и спектр Хинчина — Винера случайного процесса на выходе линейной системы можно найти непосредственно из выражения для (/„„(~), однако мы воспользуемся более простым доказательством. Предположим, что функции 0„„(~) и (/„„,(К) имеют весьма болыпую, но конечную протяженйость в интервале от — Х до ~-Х. Тогда можно найти преобразования фурье от этих «урезапныхл функций (/„х (х) и (/, „х (х), которые связаны между собой соотношением ,х (и):-- 6„„„(х) К (х), где с точностью до постоянного лпюжителя комплексный коэффициент передачи /((и) = ~ 1~ (у) е ' ~х ИХ. 441 Лалее можно найти: ~У,~х(х)~ = ~0,„х(х)~ ~К(х)~~; 1пп Й (У,„, (х) ~~/(2Х)] = ) К (х) (211п«Ц «.«,„х (х) ~2~(2Х)1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
