Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов (1977) (1095911), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Следовательно, спектральная плотность выходного напряжения а,Я й3 Я й, (ОЯ„(Дк,Я, или и,(0 = и.'Г,ып2иЪ„, ЯЗ„„ЯК~,(~) х +аа х ~Ц~~В(х„д1, 1) я(х, д)й(х, д, х„д,)е — г ппх,дд,дхддй, причем и, (~) выражается в В-с или В.Гц '. Полученное выражение можно существенно упростить, если ввести два важных допущения: 1) предположить, что оптическая система обладает свойством изопланарности (пространственной иивариантности), т. е. й (х, д, х„д1) =- й (х — х1, д — д1); 2) задать закон сканирования (пространственной развертки изображения), когда зависимость освещенности в точке (х, у) плоскости изображения от времени Е (х, д, 1) будет определена в явном виде. 5 2.
ИЗОПЛАНАРНАЯ ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА И ЗАДАННЫЙ ЗАКОН СКАНИРОВАНИЯ Рассмотрим наиболее типичный случай, когда за счет сканирования объект движется относительно приемной системы, имея неизменную за время наблюдения яркость в точке с координатами х„д,. Предположим, что относительное перемещение изображения объекта совершается вдоль оси х со скоростью о (рис. 303), и введем систему координат х'О'д', связанную с подвижным изображением объекта. В этих координатах освещенность в точке (х', д') от времени не зависит и равна Е (х', д*), а сама система координат х'О'д' движется относительно системы координат хОУ вдоль оси х так, что х' = х — И; д' =- д.
В этом случае Е (х', д') .=- Е (х — И, у) и реакция безынерционного приемника на воздействие лучистого потока определяется выражением (7о (~) — — Ц Б (х, д) Е (х — И, у) дх дд =- — ) НО ) Е(х — о(, о)5(х, о)дх. -~. оо (),(х„о) = ) Е(х— хо у)~(х у) с(х. Вернемся к обозначению х' =-. х — х,; тогда получим Рис. 303. Движение системы координат х'О'д', связанной с нзобРажением объекта нобла)денни (Ц), относительно неподвижной системы кооРдинат хОу (l (х„, д) = ~ Е(х', д) Я(х'-(- +оо +х„д) дх' = ~ Е (х', д) Я [хо — ( — х'), У1 дх'.
Если принять х" =- — х', ()х' = — дх" и иметь в виду, что —со,х = — +со; х' =- + оо, х" === — оо, найдем +хо (.(о (хо д) = ~ Е ( — х", у) Я (х„— х", д) дх". Полученный интеграл есть одномерная свертка функций Е ( — х„д) и 3(хо, д), т.е. (Уо (хо, у) = Е ( — хо, у) З ~ (хо у) Спектр свертки можно найти сразу же как произведение спектров функций, образующих свертку, однако, учитывая некоторые особенности, выполним весь расчет полностью. 403 Введем обозначение И =х, и рассмотрим внутренний интеграл выражения для с)'о (1), обозначив его с)'о (хо, д): Одномерный спектр функции ~l, (хо, р) равен +ео й, (е, у) = ) (/е (хе, у)е-Р""о ухе = +ео + ео = ) Е( — х', д]ох" ~ 5(х,— Х.
д)е — Р~" Нх,. Так как хо — х" = хо + х' ==. х, то +хо +ох йе(е, У)= ) Е( — Х,д]УХ) 5(х, У)е-~ '~*' 'д —— +оо +хо Е( — х", у)е — ге"'*" ЕХ )( 5(х, у]е — ~е"'*е]х. Вновь заменим переменную — х" =х', причем заметим, что в процессе этой замены одновременно с изменением знака первого интеграла изменяются знаки пределов интегрирования; следовательно, +хо +оо К(о д) =- ) Е(х',у]еР" 'е]х' ) 5(х,д)е — Г'"""ох. Первый интеграл представляет собой сопряженный одномерный спектр функции Е (х', у), а второй — одномерный спектр функции Я (х, у), поэтому ~4( и) =-- е"'(, и)Ф(', й).
+ох Е(е, у] =- ) Е(х', д)ее" "'Ух', или, так как р = р', +ох Ед (ч, у) =-= Е*(ъ, р') =- ) Е (х', у') еР"""' дх', +хо 5(о,у)= ) (5(х,у)е-Р" ох. Далее, поскольку +о ().(хе]=- ) й.(хе. д]уу. то соответствующий спектр +со +со Ус(о)= — 1 О,(с, д)ну-:=- 1 е (», д) 5(о, о1 ф. Вспомним, что нас интересует функция Ц,Щ== ЦЯ(х, у)Е(х — И, д)дхду и ее спектр +со + «о -"~'""""'=-И1 ~ и ~*-. "о (~~) = — (/о (И), а спектр функции (/ (о1) рав +ос +со 1 со~о~)с ~с~~=- — 1 о (с)с — гв(с )*,д 1 При движении изображения объекта в картинной плоскости с линейной скоростью о вдоль оси х пространственный период Х анализируется за время Т, представляющее собой период изменения сигнала во времени.
Следовательно, Т = —.Х/о; но Т с.—.-1ф а Х .=- 1Ж, т. е. ~ = ч о, или Ро —. ~. Тогда +о» (l,(И) = — ~ Г,(х„) е-~'-"'" дх,=— 6 Поскольку функция ~/о (И) определяется выражением +со ~~, (м) = 11 я (х, р) е (с — л, у) ис дс, то ее спектр +со (~о(Я =- Ц~ Б(х, у) Е(х — И, у)е — Р"~' йхйу Й; следовательно, й, 0:= ~„Ю = 0 И~ = (~4~о)~ т. е. +со +ос й,р= ' 1 й'(.,~~)~(.,йас:== ', 1 г( — ',у)~( — „' с)~с Для того чтобы получить эту формулу, можно также использовать соотношение б, Д) ф = 0В (~)) Ич, откуда (~.0=-(~,( ) — = (~ВИ— (х" (в 06 в)в) Г~О (у( ") М)) () о В общем случае в системе координат х"О'у', связанной с объектом наблюдения, освещенность точки (х', у') равна +по Е (х', у ) = пТа пи' и' Ц В (х(, р1 Й (х', у', х;, р1) Лх; ур1.
Для изопланарной системы +еа Е (х', у ) = иТо в Впв й Ц В (х1, Хо1) Е (х — хь р — р () дх( У у1 = +ао -~-ао =пТовопви' ) Ур1 ) В(хь у1)Е(х' — хьу — р1)рх1. Внутренний интеграл представляет собой одномерную (по координате х') свертку функций В (х', у)) и й (х'„у' — д)), т. е. +по В (х', у~) Я й (х', у' — д)) =. ~ В (х), д)) й (х' — х1, у' — д1) дх1. Спектр свертки равен произведению спектров 1 В(х', д))(Зй(х', д' — д)) = В(ч, д)) й(ъ,д' — у)).
Следовательно, сечение спектра исходной функции Е (х', у') равно +па Е(а, у') = пТаввпо и') Е"(а, и) Й(а, р' — у1) уу~. Так как у' = у и нас интересует сопряженное сечение спектра, Е*(ъ), д) = — яТ з1п и' ~ В*(),у,)й*()), у — д,) дд,. Здесь +по В'(о,р)--=В'(а, р1)=- ) В(х(,у1)еи" Ух1; +по Й'(т, у — у)) = ~ й(х', д — д)) еРуур"' дх*; Следовательно„сопряженное сечение спектра распределения яркости В*(, ид — --!Ь( )б(Й=1Ь()бЬ), причем 6' (~) = 1.
В свою очередь, входящий в исходное уравнение коэффициент л з1п' и' для случая наблюдения точечного источника представим в виде и 'и'и' = — п(42)М)'= А. ЛГ)', где А,~ =. псР/4 — площадь входного зрачка объектива; д— диаметр входного зрачка; 1' — заднее фокусное расстояние. Если бы источник излучения имел площадь А„ и находился на расстоянии Ь от объектива, то его изображение, создаваемое идеальным объективом в сопряженной плоскости, совпадающей с задней фокальной плоскостью при 1. — оо, имело бы площадь а„=- А„„., ЯЧР. Поскольку (А„1Р) (ДЧа.,„:=- 1, можно записать д з1п и — —.~ — ~ Л„„, У'Р А Ам 11'1~ ~Р аист "нст Для рассматриваемого случая площадь источника А„и его изображения в идеальной оптической системе а„„одинаковы (являются точками), т. е. А„ /а„„= — 1, л зиРи' == А,~~~У-= л(Ф2Е)~; Тогда спектр сигнала при реакции па единичный импульс найдем в виде +оь баЩ=-.
' „! ЦЯ( —, у) Й ( ~, д — у,)6(д,)дуну,. Учитывая фильтрующие свойства дельта-функции 1функция 6 (д,) отлична от нуля только при у, =01, получим -~- аО' оЬ~ = "'«~~ ~, 1 ~ ( 1 -„) „- р -„) а, Если точечный источник визируется идеальной оптической системой, легко найти, что спектр сигнала определяется лишь одномерным (вдоль оси х) спектром приемника излучения: До(~) = лТо (42Е)'1 — ~ Спектр сигнала па выходе усилителя во всех случаях равен ~~, Я = — (~,(О А„~ ОБ„„Ок„,Я.
Выражение для спектра сигнала, которое получается при визировании точечного и~т~~~~к~, ~~жно получить непосредственно из основнык соотношений, не пользуясь понятием дельта-функции и искусственным приемом вычисления козффицнента и зи1а и'. Действительно, поток излучения от точечного источника, воспринимаемый объективом, равен РТеАоеlЖ Освещенность плоскости изображении в произвольной точке изопланарной системы определяется зтим лучистым потоком и функцией рассеяния объектива: Е(х, р) == 1Т (Аоо1Яа) й(х, у). Так как в общем случае + со к*ао, р) — ~т, (А ~~П)й (ра, ~), то +СЮ гни= ' „х ) 3 ( ~, д)а*( —, и)ав. 5 8.
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА СПЕКТРА СИГНАЛА Многочисленные примеры расчета спектра сигнала приводятся в монографии Н. С. Шестова аВыделение оптических сигналов на фоне случайных помех». Рассмотрим здесь следующие характерные случаи расчета: 1) идеальная оптическая система и разделяющиеся переменные в функции распределения чувствительности приемника излучения; 2) идеальная оптическая система и неразделяющиеся переменные; 3) оптическая система с аберрациями; 4) сканирующая оптическая система, для которой известен закон набегания изображения цели на чувствительную площадку приемника излучения.
3.1. Расчет спектра сигнала, вырабатываемого безынерционным приемником излучения, установленным в плоскости иэображения идеального объектива, когда переменные в функции распределения чувствительности приемника разделяются Предположим, что объект наблюдения имеет прямоугольную форму и одинаковую яркость по всей поверхности. Фотослой приемника излучения размещен в начале координат и также имеет прямоугольную форму с одинаковой чувствительностью во всех ~очках его поверхности (рис. 304). Соответствующие функции можно представить следующим образом: м ы:;;лЛ'.~ чл ч для распределения чувствительности приемника излучения Я (х, у) =- Я~Я (х) 5 (у); ~1 и ри ] х ! ~ а~2; Я (х) = 10 при ~ х ~ > а/2; ~(д) =~ ~1 при ]у~ ~ Ы2, ~0 и ри ~ у ! > Ь|2; Рис.
304.Формы объекта наблюдения и приемника излучения, а также соответствующие им спектры: а — форма чувствительной площадки приемника излучения; б— форма объекта наблюдения; а — спектр сигнала и его со- ставляющие: 1 — ва ~п — а); 2 — иа ~я — Ф)", а — Ба ~п — а) ва ап — !) для распределения яркости объекта наблюдения В (х, у) = Ввв (х) В (у); ~1 при ~х)~1/2; (О при ~х~>1/2; ~1 при ~д~ «Ь/2; 10 при ~д~'>Й~2; причем й ~ Ь. Сечения спектров этих функций: +Об +а/2 я(ю, у) = 1 я(х, р)е Р Йх=-зл(у) 1 е — /~" дх=- СΠ— а/я = Я аЯ (у) за (лба); +СО +Цу'2 В*~», у) — ~ В(х,у)е!~ "*ух= вов(у) ~ еу нх —.— — СΠ— 1/2 = В,И (у) за (л~у~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
