Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов (1977) (1095911), страница 60
Текст из файла (страница 60)
ПЧХ круглого объекта неравномерной яркости Для круглого объекта с неравномерно распределенной яркостью впд спектра существенно зависит от закона распределения яркости, так как в соответствии с преобразованием Ганкеля спектр В (х) = — 2л ~ В (р) У„(2лхр) рдр. Если яркость В (р) распределена по гауссоиде, т.
е. В (р) — В,к — Р'-К2рю~ то можно найти В(х) .=2лВ,~ е р ~("'о)Уо(2яхр) рдр. о Входящий в полученное выражение интеграл сводится к интегралу Вебера е — ~'~'7„(ох) х"+' Дх. о Для вычисления зтого интеграла заменим функцию Бесселя степенным рядом и проинтегрируем почленно. Тогда получим Š— а'к' ! (!)Х) Хл+1ДХ ~ Š— а~к'Ха+1 ДХ о 0 ( — е — "*'*х'"+"-"+' Их .= А!Г(А+п+ !)4, 2 ! )=о о !»А а л+м — ~( е — 1Р'+" й = А! Г (А+и+ !) ~ 2 / 2ц~)+2"+о 3 й=-0 о е-О'~!4 '). »Р °: \ ) —.ь)(4Ф))»»" )»~) + ~ »» )»~)'г' 1=о е — а~к~ )' (! .) хДХ е — ь~/!4а~) 1 1 20" о Следовательно, В (х) = 2лВф~ 1~~"4)'! ~~, т. е.
спектр имеет вид исходной функции, что характерно для гаус- са иды. 10.6. ПЧХ объекта вытянутой формы Для объекта вытянутой формы с плавно меняющимся по площади распределением яркости, описываемым, например, двумерной гауссоидой В(х, Ч) = Вое 1 )1 "1)+~')1 1!1, спектр следует вычислять по общей формуле +»»» В)~, »»)= Ц В(х, р) е — »»»"*+»»»»)х»)р, т. е. +ю +»» а)., )о=а, ~ » — т »/6Л))~ 1 ~-»'""» — »')Ж О» Полученное произведение однотипных интегралов можно вычислить, пользуясь табличным интегралом +»»» е — ' ' — 'а' дг = — — е"*~" — '. Так как и = 1/Р1'1) =1/(2Р2) Ь= 1л~= 1лР; С= — О, то В (ъ, р) — 2Волр,р,е — 1<~~~ 1*+ 1~~~ Р.Р1~~, илн в цилиндрической системе координат В(х, 6):== ВолР2, з1п 21,е где Р2 Р2 + Рь 1 агфа (Р2/Р1) В(6) =-2(содбсоУ~ 1- з1п~бз1п'~); О =- агс$д(М~д).
2 2 о В частном случае, когда Р = — Р =-= Р„; Р1,~ = 2ро., ~ =- 45; В (6) =- 1, найдем в ® =-2В~Р0 — ° Р~', что совпадает с полученным выше выражением для осесимметрич- ной модели. Глава 13 РЕАКЦИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ И ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМ НА ВХОДНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ. ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ФИЛЬТРА И ФУНКЦИЯ РАССЕЯНИЯ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 5 1.
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ В соответствии с определением Гудмена под системой следует понимать все то, что осуществляет преобразование ряда входных функций или воздействий в ряд выходных функций нли реакций (откликов). Реакция системы на входное воздействие может быть описана некоторыми обобщенными характеристиками, определение которых не зависит от того„что представляет собой рассматриваемая система: усилитель электрического сигнала или объектив, воспроизводящий изображение удаленных предметов. Однако в каждом конкретном случае характеристики системы имеют различные, исторически сложившиеся, определения, наименования и обозначения.
Поэтому реакцию электрических и оптических систем на входное воздействие рассмотрим раздельно и выявим наличие аналогии между соответствующими представлениями. 377 Вначале введем понятия о наиболее часто встречающемся классе систем — линейных сиппемах — и подклассе линейных систем— имеариантных АиНСаНИх састел~аХ Система считается линейной, если ее реакция на одновременное воздействие нескольких сигналов в точности равна сумме реакций, вызываемых каждым сигналом в отдельности.
Основное свойство линейной системы заключается в том, что ее ракцию на произвольный входной сигнал можно выразить через реакцию на определенные элементарные функции, на которые можно разложить входной сигнал. Условие инвариантности требует, чтобы реакция линейной системы не зависела от начала отсчета.
При временной инвариант- ности это означает, что реакция системы в момент времени 1 на входное воздействие в виде единичного импульса, действующего в момент времени 1„зависит только от промежутка времени ~ — - 1,. При пространственной инвариантности (или изопланарности) импульсный отклик системы зависит только от расстояний х — хт и У вЂ” Ут. 5 2.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Пусть на вход линейной инвариантной системы (рис. 294), представляющей собой электрический фильтр с коэффициентом передачи К Д), поступает сигнал — — электрическое напряжение и,х (1,), спектральная плотность которого +О;~ и, (О = ~ и, (6) е — ~":"м'п%. Спектральная плотность сигнала па выходе системы может быть вычислена на основании следующих очевидных соотношений: Рис.
294. Электрическая система — преобразователь входного воздействия в реакци~о (отклик) на выходе элементарные комплексные амплитуды входного и выходного сигналов див„-.-.= 2и.„ф ф; Иа„,„.= 2й,„„. ф СЧ; комплексный коэффициент передачи, представляющий собой отношение комплексной амплитуды сигнала на выходе к комплексной амплитуде сигнала на входе, у( р живых иных (Й Ж„, н„хф 378 Следовательно, Будем трактовать комплексный коэффициент передачи К (~) как спектральную плотность К ()) некоторой функции времени К (~), вводимую следующим образом: -~- со 1 К(1) сИ, К Д) =К(~) = ~ К(Ф) е — Р~~'й или, если обозначить то Исходя из такой трактовки комплексного коэффициента передачи, найдем й„ , (~) = й,„. (~) К (~).
причем на основании обратного преобразования Фурье +СО и„„,„®:= ) ц„,„Я е1~"~'сЧ. Входящее в интеграл свертки значение текущего времени ~, соответствует началу отсчета в системе координат, сдвинутой вдоль оси так, что 1 — 1, =:=: т (рис. 295). Физический смысл функций К (8) и К (1 — 1,) можно легко понять, предположив, что на вход чегырехполюсника в момент Тогда форму сигнала на выходе системы и„,. (~), соответствующую спектру и„„„ ()), можно найти, пользуясь теоремой о спектре свертки, из которой следует, что если спектр и„„,„ (~) равен произведению спектров а„„(~) и К Д), то функция и„„, (1) равна свертке функций и„„(1) и К Щ. Следовательно, времени 1х =-= О воздействует единичный импульс, определяемый выражением +ее и„((1) =АЬ (6).=А ) е~'"~~"'А), где о (1,) — дельта-функция, с ', А — площадь входного сигнала, которая для единичного импульса равна 1 В с.
Форма сигнала на выходе четырехполюспика при действии на входе единичного импульса в момент времени 1, =-= О определяется выражением -( ее +:е и'.,(Ц= ) и', ((~) К(( — (() А(,=А ) Ь((~)К (( — (Де((~ =-- +ее =АК(() ( Ь((,)А(,=АК((). Следовательно, +ее +ее К(~) === — ~ КЯе ~~~~сИ= — ~ и~ „(1) е ' ~~ьИ. Следовательно, колалексный коэффициент передачи системы К (~) =- .К (Д с точностью до постоянного множителя представляет иВ собой спектр ее реакции на единичный им- пульс, а введенная выше функция К(ь) —— И =(1/А) пх „(1), называемая импульсной харпктеристикой системы, также с точб постью до постоянного множителя есть $ реакция системы на единичный импульс, ( действующий па входе в момент времени ИР 1, = О. Аналогично этому К (т) есть реакция системы на единичный импульс, действую- ИЩ щий в момент т = О, а так как т ==- ь — 11, то К (х — 1х) есть реакция системы на () х.$-Ц ' единичный импульс, действующий на входе в момент времени 1 = 1,.
В общем случае Рис. 295. Преобразование импульсная характеристика неинвариантной системы зависит от абсолютных значений ~ и 1„т. е. представляет собой функцию К (1, 1,), как это показано па рис. 294. Определим смысл введенных коэффициентов а, А и единицы измерения всех величин. Так как А — площадь входного импульса (В.с), то +ее 1 ит щФ а = ) К(()А(= 380 определяет, какую долю составляет площадь импульса на выходе от площади импульса на входе.
Очевидно, что а — безразмерная величина. Импульсная характеристика системы К (1) измеряется в с ', а К (~) и К (Π— величины безразмерные. Следует также обратить внимание на то, что все приведенные вьппе соотношения справедливы только для линейной инвариантной системы, у которой импульсная характеристика зависит не от моментов времени 1 и 1„а только от пх разности т ==- 1 — 1,. В противном случае теоремой о спектре свертки пользоваться нельзя, так как спектральная плотность выходного сигнала не равна произведению спектральной плотности сигнала на входе и комплексного коэффициента передачи. Само понятие комплексного коэффициента передачи в этом случае теряет всякий смысл, поскольку за счет нелинейных эффектов спектр выходного сигнала может быть существенно изменен.
Нелинейные эффекты в электрических фильтрах во многпх практических случаях могут быть учтены отдельно, что позволяет при анализе электронных схем широко пользоваться спектральными представлениями. 5 3. ОПТИ4ЕСКИЕ СИСТЕМЫ Значительно большие трудности возникают при анализе реакции оптической системы на входное воздействие*.
Линейность оптических систем обычно не вызывает сомнения, а для некоторых нелинейных оптических элементов, таких, как фотопленка, соотношение между входным сигналом (освещенность изображения) и реакцией (потемнение эмульсии) совершенно аналогично соответствующим характеристикам нелинейных элементов электронных схем, так что в обоих случаях могут использоваться близкие приближенные математические методы. Однако инвариантность линейных оптических систем совершенно неочевидна, так как системы, создающие изображение, редко бывают изопланарны по всему полю, т.
е. изображение точечного источника меняет не только свое положение, но и форму по мере того, как этот источник перемещается в пространстве предметов. Имея это в виду, рассмотрим прежде всего случай, когда в поле зрения прибора имеется одна светящаяся точка (дельта-функция) с координатами (Хт, $',). Освещенность изображения этой точки, имеющего координаты (х„д1), в идеальной оптической системе, т. е. системе без аберраций и дифракционного рассеяния, равна бесконечности, тогда как в других точках плоскости изображения она равна нулю.
В реальной оптической системе дифракционное рассеяние и аберрации вызывают размытие изображения светящейся точки по пятну рассеяния, в результате чего освещенность в некоторой ~ Рассматривается случай иекогерентного освещения. 381 произвольной точке (х, у) плоскости изображения оказывается отличной от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
