Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов (1977) (1095911), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Справедливость этого соотношения очевидна, так как по определению функция 6 (х — х,) равна нулю всюду, кроме точки х = = х,. Следовательно, интервал интегрирования е может быть сделан сколь угодно малым (е > 0), лишь бы он включал в себя точку х,. В этом интервале функция У (х) принимает постоянное значение У (х,), которое можно вынести за знак интеграла.
Таким образом, умножение любой подынтегральной функции 0,(х) на дельта-функцию о (х — х,) позволяет приравнять интеграл произведения значению функции (I (х) в точке х =- х,. Наряду с прямоугольным импульсом существует достаточно большая свобода выбора первоначальной формы импульса, из которого в пределе образуется дельта-функция. Во всех, случаях дельта-функция может рассматриваться как предел, к которому стремится импульс убывающей ширины> увеличивающейся амплитуды и единичной площади, т. е.
о (х) = Иш Еллоу (х)„ 6.+О где У» — амплитуда импульса; Л вЂ” полуширина импульса, отсчи тываемая на заданном уровне; у (х) — функция, описывающая форму импульса. Существует значительное число импульсов различной формы, удовлетворяющих такому определению дельта-функции. В частности, это может быть: а) прямоугольный импульс, уже рассмотренный выше, у которого /1 при ~Х~;сЛ; 10 при ~х~' Л, амплитуда У, = 1~26, ширина 2Л вЂ” О, а площадь равна единице, так как У»2Л = (1/(2Л) 3 2Ь = 1; б) колоколообразный (гауссов) импульс ,у (х) е — хйл2ь*) у которого амплитуда У» = 1/(Ь |» Ы), ширина на уровне е — » 5 = = 0,606 равна 2Л вЂ” О, а площадь равна единице, так как + оэ 1 е 'л~")дх=- Л)~2л= 1; в) импульс вида у которого амплитуда У» = — 2И, ширина главного максимума 2Л - О, а площадь равна единице„так как +ОО +ю 2 ~ яп (2лх~л) ! ( зш 112п~л) х1 1 л 3 2лхф я 3 Х Л б.4.
Нолоколообразный (гауссов) импульс Форма этого импульса определяется выражением Е/(х) = — У»е "~~ ~, т. е. совпадает с графиком нормального (гауссова) закона распределения вероятностей (рис. 276). Постоянная х, обозначает половину протяженности импульса, определяемую на уровне е-'~ = == 0,606 от амплитуды У» импульса, т. е. полная длительность импульса на этом уровне равна 2х,. Для вычисления спектра +со »») — -- 1 ~4е * ~~ "~ е — /'""* Их удобно в подынтегральной функции дополнить показатель степени (х'/(2х0) + 12лчх) до квадрата суммы: +~2я~х ~ ~д о х +и. где й = 12п~х~Л~ 2. Вводя новую переменную у = х/Д~ 2х„) + д, найдем +СО б (м1 = 1/2х,О е — Р""" Р~' ~ е — «'Ну.
Тос как ~в — ю'ду=ф'и,то Г/ (~) = ~/ 2гЖ0х~е — ~~""е>'~~. Если ввести круговую пространственную частоту Р =- от и иметь в виду, что 0 (~) = об (р), П 0 то можно найти У( ) ~~~ ~~~Р [цд Р1 Обозначая (~0 = (~охи 2я~ Ро = )~хо~ получим ~(Р)=~с '® ). ЯРд Таким образом, спектр колоколооб- пас.
276. к~доколооораэвмй имразного импульса представляет со- * пульс и его спектр бой по форме точно такую же колоколообразную функцию частоты. Это отражено на рис. 276, где одна и та же кривая в разном масштабе соответствует импульсу н его спектру. Найдем полную энергию колоколообразного импульса.
Используя равенство Парсеваля, имеем +ю +се +сю си0 — ~ ~У(ч) ~~сЬ =- ~ ~2пб(Р) ~ ~~ = — 2л ~ ~С(Р)~~ИР. Следовательно, в0=2пО~ а~ е '~~~~~р=.2п$ГлРВ, или — иК аЪ-2я1~ я — =$ Ж0хо 2л ко Энергия, содержащаяся в полосе частот от 0 до р = 2лм, равна Р о =от(/о е / одр. Обозначим га/2 = ра/роо, т. е. г = ) 2р/р». Тогда гн =-4 б 1 е — 'чаг1г Р» но е — *'~2дг =- Ф (г), где Ф (х) — интеграл вероятности (табулированная величина).
Следовательно, ре $'2 М гвр == 4Ы/о = — Ф (г) = 4л х $~2 2 б,а или ер = ~( Ы/»2х»Ф (х), причем а4 ЮЯ У И а Ч = и~р/и~» = Ф (х)- Интеграл вероятности табулирован. График функции Ф (г) приведен на рис. 277. Лля получения 90% энергии импульса необходимо иметь г= 1,65. Так как г = )/2р/р» = )/2 2гг»х», то Рис. 277. График функции интеграла веронтности а г* 2 Ф(а)==~ е ~ дг 2х»н = г/(л )/ 2) = 1,65/4,43 = 0,37, или и = 0,37/(2х»), где 2х, — протяженность импульса.
6.6. Косинусный и косинус-нвадратный импульсы 'Форма косинусного импульса определяется выражением (рис. 278) У сов — при 1х~==Лх/2, 0 при 1х~) Ьх/2. Е/(х) = Спектр этого импульса +Ох +ехх/2 х'1«)= — 1 о(х)е — 'е'™Й«=Г 1 сее — «„е х" дх. х« — Ьх72 Так как косинус-функция четная, получим косинус-преобразование Фурье Ьх/2 О(~)) =20 " соз — — соз22тзхдх. — 2 (ахи) Имея в виду, что $п1 (а — Ь) х 81П (а+ Ь) х сов оз')хнах ' 2 ( Ь) ~ и И найдем ц (,) 2 ~ и со2 (2лъ'АР) ,е)Х (П/ДХ)2 (2П)у12 Спектральная плотность имеет главный максимум при 2) = О.
В этом случае бо= — (2!п) У„Лх=О,БЗИК Лх, Относительная спектральная плотность сс' (ъ) со2 (222 Лх1 С)ю Рис. $278. 1 Косипусный импульс 8 х (цг::=— 222 ! — (227Л)2 351 или, если обозначить я = л Лх~,)('то со2г ~()=-, (22,.; Спектральная плотность равна нулю при г = (2п+ 1) а~2 или при ю = (2и + 1) (1/(2 Лх)1, для любых целых значений и, за исключением п = О, так как в этом случае з = я/2 и выражение для 1) (г) дает неопределенность типа О/О. Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, найдем у (я~2) = — [л2 з(п 2/(8г)), ~у2 ==:= л/4 = 0,785; следовательно, для м =- 1/(2 Лх) У (ъ) =.; ЕУо () (21/2) —,= О,ИУоЛх. Найдем боковые максимумы спектральной плотности. Вычисдт (Х) лив и приравняв нулю производную д, получим трансцендентное уравнение Графическое решение этого уравнения дает следующие координаты боковых максимумов спектральной плотности: 1,89п; 2,93п а далее значения все более и более приближаются к пя, где п целое число.
Соответствукицие величины относительной спектральной плотности в боковых максимумах равны: у (1,89л) = — 0,071; у (2,93л) = +0,029; у(4л) = — 0,016; у (бл) = +0,01 и т. д. Рис. 279. Комплексный спектр косииуспого импульса График функции р (м) представлен на рис. 279. Форма косинус-квадратного импульса определяется выражением (рис. 280) ц( .) о 2 (Ахи (4соз' — — при ~х~ -~ Ах~2; 0 при ~х~>Лх/2. Спектр этого импульса + Ю +ах/2 йИ = ~ О (х~е-~в''*Их= У, ) сав* — — *е-~" дх.
2 Лх/2 Так как рассматриваемая функция — четная, найдем +М/2 и (~) = ~/, ) сои* — — сов ьюх дх. 2 Лх~2 — Ьх/2 Имея В Виду, что созкахсозЬх =. О,бсозах1соз(а — Ь)х+соз(а+ Ь)х]; ~сова с в ах — ' + к1п (а — с) х яп (а+с) х соз ах соз сх ах— 2 (а — с) 2 (а+с) (~о~к аа (птах) 2 1 — (чих)а Главный максимум спектральной плотности имеет место при и = О.
В этом случае (~о =- (~оЛх/2 = ОЖоЛх. Относительная спектральная плотность у( ) ==- Ит)жо — — за( ЛХИ1 — ( ЛХИ', или, если обозначить г = лн Лх, то д (г) = за гД1 — (г~л))', где за г = — з1пг/г. Спектральная плотность обращается в нуль при я = пл, или при н = а (1Их), для любых целых значений и, кроме и = О и и = 1, где имеет место неопределенность типа О/О. -Ф -СОЯ -6.„5с Рис. 280. Косинус-квадратный Рис. 281.
Комплексный спектр косинус-квщ- импульс ратного импульса Раскрывая неопределенность, найдем у (0) ==- 1; а,(л) — — — 0,5. Боковые максимумы спектральной плотности соответствуют значениям г (или частотам о), определяемым из соотношения ду (г) что дает трансцендентное уравнение (дг =— 1+ 2Д! — и/г)а' 12 М. М. Мирошнпков 05 1.й 15 ъ~д.г Рис. 282.
Зависимости коаффнМЛд циеита 11 == — от проиаведе~да нин тЬх, характериаукпцие энергию косинусного (1) и косинус-квадратного (2) импульсов в полосе частот от 0 до т 5.6. Гармонические колебания Как известно, простое гармоническое колебание, т. е. функцию У(х) = У, соз 2лж1х, можно прЕдставить в виде суммы двух комплексных чисел (векторов): У(х) = — — е~"-" ' 1- — е "~'-""".
~/о - - ~4 2 2 Спектр амплитуд такого колебания является дискретным и представляется графически вертикальным отрезком (линией) длиной с/„расположенным в точке ъ 1, а при использовании «отрицательных» частот — двумя линиями с1,12 в точках т,. Спектральная плотность амплитуд гармонического колебания в этих точках равна бесконечности, а при всех остальных значениях частоты она равна нулю. Этот результат нельзя получить непосредственно с помощью прямого преобразования Фурье, так как гармоническая функция, существующая беспредельно, не обладает свойством абсолютной интегрируемости.
Однако спектральную плотность гармонического колебания можно вычислить, воспользовавшись свойствами дельта-функции Дирака. Действительно, спектральная плотность +*а +са Г/(~) — 1 п(х)е-Р нх= — 1 е ~'"~ "~*дх~- 2 +со + — ' ~ е — Р"~т+т*>" дх ~4 2 Графическое решение этого уравнения дает следующее значе ние координаты первого бокового максимума: ~,„к:-= ='2,36л, или ~,„= — — 2,36Их. Относительная спектральная плотность в первом боковом максимуме равна у (2,36л) = — 0,054.
О График функции у (~) 'для косинус-квадратного импульса приведен на рис. 281. Зависимости коэффиа циента т1 = ы,.Ъа длЯ косинУсного (1) и косинус-квадратного (2) импульб4 сов представлены на рис. 282. Зна- чения коэффициента т1 = ы„йн, для аг косинусного (т1,) и косинус-квадрат- ного (т1н) импульсов даны в табл.
16. но в соответствии с определением дельта-функции найдем дт~ — т,) ) е — т "<" — '>'дх; +оп дтт )-т) =-о)т — ) — т)) = ) е-Рют~1х пх Следовательно СУ (ъ) -==- 0,5(У~Ь (~) — — у~) + 0,50 Ь (ч 1-,д ) — -- 0,50„Ь (~ -- У1) + Ов50оЬ (ч — ( — р )). Если использовать только положительные частоты, то 0 ~ч) == 0ф (ч — м1).
Таким образом, спектральная плотность простого гармонического колебания частоты ч, выражается через дельта-функцию. 5.7. Сложный периодический процесс Практически любой сложный периодический процесс можно представить в виде суммы гармонических колебаний: )о=+ею 1l (х) = — ~') А еФ' 2 где Л» -- — ~)))х)е — «ы"х'пп х„х, — пределы, в которых веют дана функция У (х); Х = 2пlр;=-1М, — длина волны колебания, имеющего пространственную частоту ))1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
