Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов (1977) (1095911), страница 53
Текст из файла (страница 53)
йа,т '1 Аа,ъ 2 ) 2 Рис.. 258. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов Следовательно, О СО = с' -~- ~~~~~ Ассов(йосо — ос1 =- й — 1 1+2 ~ са( — 'с) сос (ЬсС вЂ” — "'с)] Так как то в комплексной форме имеем й=+ со=+ос У (г) = — ' ~Р АлеГл с = (/ — ~~ за ~ 1 ~ АР 1~ — «~21. со= — со со= со Если начало отсчета выбрать в центре импульса (рис. 259) то можно найти: Ь, =-- О; т!2 ал — — — ~ (/осоа Ьо,1с(г =- г 4Г~о 81п (лаФ2) ъ т ~ ЬОР 1 .,'-' ь с — — — = 2У вЂ” аа ~ — ') — Т Ь.,тд а = ° Т ~ 2')' Ад=%с ~Ь.— -О Таким образом, спектр последовательности прямоугольных импульсов состоит из бесконечного числа гармонических составляющих, т.
е. составляющих с частотами, кратными частоте со,. Огибающую спектра амплитуд можно получить, если рассматривать не только дискретные значения Йго, на оси частот, по и все текущие значения частоты то. Тогда огибающая спектра амплитуд равна А (о) =Ах=2/а т за~ 2 / /иа т Ъ =2Уо — за~ — ) =.21/— У гат '1 т а)п (гас/2) Она имеет нулевые значения в тех же точках, что и а(п (со,т/2), т. е. при со„т/2 = пл, или соа ==- 2ип/т. Исключение составляет точка для а = О, т. е. о)от/2 ==- О, где имеет место ИО неопределенность типа О/О. т т Раскрывая ее по правилу Лопиталя, найдем, что при м=-:02 И„(т/Т) за(ьп/2) = -Г-у -Ц Р~ а '7 Г 7 г У -Ф = —.
М3,т/Т, что в два раза больше постоянной состав- Рис. 259. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов, расположенных ( а ~ р, ур симметрично относительно начала отсчета ная составляющая как бы выпадает из тех значений амплитуд спектра, которые могут быть получены по точкам огибающей. Огибающая А (со) .имеет максимумы в точках со = со „., когда а1п ИОгпахт/2) ~ Б1п (гат/2) гоп хт/2 ~ ал/2 3 пах Обозначая со „.т/2 ==-- х, найдем д / япх 1 хсоах — япх — о, хсозк ==- ып х, или х = 1дх. 1~ории этого трансцендентного уравнения (кроме очевидного корня х =- О) близки к значениям х =-. — (2п + 1)л/2, где а == 1, 2, 3, ° ° ., Рис.
260. Графическое решение трансцендент- ного уравнения х= 1цк УО4 Фью Рис. 261. Спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов, изображенной на 2я 1 рис. 2И для случая — ~~ гвх = —, или — <<2п т Т' Т Рис. 262. Несимметричный меандр ак как они соответствуют точкам пересечения прямой и тангениды (рис.
260), т. е. а,„= (2п + 1) лУт. Спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов имеет вид, представленный на рис. 261. Если длительность импульсов т = Т~2 и постоянная составляющая отсутствует (рис. 262), то пе- 0 ь, 2и1 Ло, 4ь, 5ь, 5а~, Уь, Рис. 264. Спектр амплитуд меандра 3 1 Рис. 263. Симметричный меандр риодическая последовательность прямоугольных импульсов представляет собой прямоугольное колебание (меандр), для которого ряд Фурье, как это следует из общего выражения, имеет вид О(~)= — „(8!пвФ-~- г а!пЗи1+ 5 ыаби~+" ) ° ФО ЙФ -Уь, -йи,-5щ -4~ф-5а4 -~й-а4 а а4 7а4 ЙЦ 4~, 5иФ Й~4 Уа4 Рис.
266. Спектр амплитуд меандра при использовании отрицательных частот При отсчете времени от середины импульса (рис. 263) соответственно найдем ив l ! 1 у ~а =. †' (со~а,~ — , сов за,1 + — сои бе ~ — " ) . Спектр амплитуд меандра при 17в = 1 изображен на рис, 264. г1а рис. 266 тот же спектр представлен для случая, когда используются отрицательные частоты. Следует заметить, что с увеличением числа суммируемых "армоник сумма ряда все более и более приближается к функции с' И), кроме точек разрыва втой функции, где образуется выброс, величина которого при А оо равна 1,18 (I . Этот дефект сходнмости, получивший в математике название «явление Гиббса не имеет существенного значения, так как при Й вЂ” оо выбро~ *, становятся бесконечно узкими.
$ 3. СПЕКТРЫ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ (ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ) Предположим, что сигнал задан в виде функции времени, удо. влетворяющей условиям Лирихле и абсолютно интегрируемои Последнее требование означает, что существует интеграл ИЮ ~ ~ (l (1) ~ й =- й < оо, т. е.
функция (l (~) обращается в нуль при ~- оо. Лля удобства рассуждений при~я мем пока, что сигнал (/ (~) дей ствует в конечном интервале ~ ~ Рнс. 266. Непериодический сн- функцн„нрсменн зндннн„„< 1 < 1, (рис. 2бб). В целях прон конечном интервале ведения гармонического анализа превратим заданную функцию в периодическую (/1 (1) путем повторения ее с произвольным периодом Т .~ 1, — 11 (рис. 2б7). Тогда для этой новой функции разложение в ряд Фурье имеет вид А=+со (/1 (г) = — +,~~ (йд соз ЙО1г + Ьд ып Ь01г) = й=+ Л=+оо =- — '+ ~ А соз (йо,г — ~ъ) =- 2 ~~ А еФ 2 1=1 й= — со причем амплитуды отдельных гармонических составляющих будут тем меньше, чем больше интервал Т: с.
—;=- — = — „~(/(~)й; Ае о> 2 Г 2 2 Т ! Ф~ а, == — ) У Я соз ЫД М; г Ьд Т ~ У (1) з1пйо ф ~Ы 2 Г с, 2 г А~ =- —,. ) б (~) е — Р' 1' Ж. Очевидно, что (/, (1) У (1) при Т. сх~. Следовательно, если период Т устремить к бесконечности, то в пределе получим бе „, ()иецио малые амплитуды гармонических составляющих, сумма „,оторых изображает исходную непериодическую функцию. Кочпцсство гармонических составляющих при этом будет бесконечно вольв!им, так как основная частота )', =- вал) = 1~Т при Т -- оо трем)пся к нулю, т.
е. расстояние между спектральными линиями, ,явное ~„становится бесконечно малым (гЩ, а спектр — сплош„,(г!. Действительно, /!=+ос (/, (!) =- —,' ~' Аее/е-'с- а=- еаза) (~, ~ У, Щ е — !('О) ' Ж. При Т оо (.Т, (1) —. У(1); ~, аТ; йа, го=оТ, а операция суммирования превращается в операцию интегрирования, т. е. +СО У (1) = ~ е)™Т' с1Т ~ У (1) е Р™ М. СО г! Обозначим внутренний интеграл некоторой функцией частоты с волнистой чертой наверху, показывающей, что при вычислении этой функции осуществлено разложение Фурье: КВ 1 ! ! ! ! 1 о ! У (Т) =- ~ 0(Т) е — !~ Т(й ! ! 1 1 1 Тогда найдем -г -Н~ -Т-Т! -Й, -ге В=', Т( 6 Т Т ' Т Т +со 1/ (1) = ) (/(()ео">'с(!.
Рис. 267. Периодический сигнал, форма кото рого анутри наторкала T соотастстаует фор ме непериодического сигнала на рис. 266 Если функция ~У (8) задана в неограниченных пределах, то +со (/()) =- ) (/(!)е ~' ой. Выражение, определяющее функцию б (Т), называют прлмим преобразованием Фурье, а У (1) — обратным преобразованием Фурье.
Так как 0 Щф= Е/(оэ)йо, 329 т. е. Ю Я = Г(со) — = ЕУ (о) — „=- 2лб (со), то преобразования Фурье могут иметь вид: +ГО ь (и) =- — 1 Оа) е — ~'й; +со Ц ® ~ Ц (о,) е~сосДь> Эгот вид преобразований иногда удобнее для использования, так как он обеспечивает более лаконичную запись показателя степени в подынтегральном выражении. Часто допускается ошибка и коэффициент 11(2л) вводится в обратное преобразование Фурье.
Тогда преобразования имеют вид: +СО О = ~ У(1) е — «"'Й; +СО У (О= 1 1 ~~е~ 'а Ф Функция б в этом случае определяется произведением амплитуды сигнала У (1) на время или отношением амплитуды к полосе частот, выраженной в герцах: амплитуда Х время = амплитуда = — — — — — — — —. Следовательно, У является функцией частоты 1', полоса частот (Гц) т. е. б = У Я, и введение ее в обратном преобразовании Фурье под знак интеграла, имеющего в качестве переменной интегрирования круговую частоту со, следует считать неверным.
Функцию б Ц'), или б (со), называют спектральной плотностью, спектральной характеристикой или комплексным спектром Фурье функции У (1). По аналогии с комплексным представлением ряда Фурье. в соответствии с которым периодическая функция у, (1) равна а=+ею У (г)= — ~ А еИ" 2 А=в где Алей" ' — отдельное колебание с комплексной амплитудой Аь обратное преобразование Фурье для непериодическои функции У Щ можно записать в виде +СО +со у (1) = 1 О (и) е~' йо = — 1 2О (в) но е/ ', т е. подынтегральное выражение 2У (о) чае~"' можно считать отдельным колебанием с бесконечно малой комплексной амплитудой дА = 20 (а) да. Следовательно, спектральная плотность 1 НЯ и )=- — —. Уф= — —.
1 ЮА 2 ф ' Если амплитуда сигнала измеряется в В, то спектральная плотность б(со) измеряется в В.рад' с, а б(Д вЂ” в В-Гц1. Преобразование Фурье, естественно, может быть применено не только к функции времени У (1), но и к функции 0 (х) пространственной координаты х. В этом случае спектр Фурье +аю 0 (ю) = ~ О (х) е-Р" дх, +СО 1 О (р) = — ~ О (х) е~~ дк, 2д где р = ай — круговая пространственная частота; м = 1%в пространственная частота.
Спектральная плотность 0(~) в этом случае измеряется в В см, а б (р) в В.рад 'см, если амплитуда сигнала выражена в В, а х в см. Таким образом, преобразования Фурье связывают между со- бой две функции: вещественную 0 (1) или (l (х) и комплексную б Д) или б Я, представляющую собой ее спектр по Фурье, причем обратное преобразование позволяет выразить непериоди- ческую функцию суммой бесконечно большого числа бесконечно малых гармонических колебаний, близких по частоте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
