Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов (1977) (1095911), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Функция У (х) имеет вид, представленный на рис. 269. Для этой функции,' называемой единичным скачком, )) Х +ее ) ) )) (х) )»)х = ~, Для дальнейшего рассмотрим произвольную комплексную величину а — 1Ь = ре-И. Соответствующие спектры амплитуд и фаз представлены на рис. 270. б.2. Прямоугольный импульс Рассмотрим вначале спектр прямоугольного импульса, имеющего амплитуду У„длительность Лх и расположенного симме- Рис. 2?1. Примоусольпь«я им- пульс Рис, 270. Спектры амплитуд и фаз едипич- иого скачка трично относительно начала координат. Функцию (l (х), описывающую такой прямоугольный импульс, можно задать следующим образом: (/ при ~х~ ~Ах/2; И)- О при 1х1>Лх/2, В зтом случае она имеет вид, представленный на рис.
Я1. Вычислим ее спектр 0(ч). Очевидно, что', +во +ах/2 0«,1= 1 о«х)е-~*ах= 1 е.-~*ах== ЮΠ— ах~2 ц «+ах~2 е~~~'тах~2 — е а Š— «2птх — 1222«~ — ахи «2йч Так как справедливо соотношение ~х — рх з~пг = 21 341 Если а = О, Ь = 1, то а — 1Ь =- — 1. Но в зтом случае аргумент 1««р =- Ыа = со, т. е. «р = 2«/2, а модуль р = 3/а2+ Ь' = 1. СлЕдовательно, можно найти, что — 1=- е «и'2. Тогда У (ч) =- — ф(2лм) =- е — и~2~(2лъ); А (и) = — 1Й22« ~~~); «~ (ч) = л/2.
то можно найти У (ч) ып 2лч — Е~о Лх ~Ге . / Ьх ~ к|п(2лч Ах~2) = (/о Лхза (2лч Лх/2) = доза(лчЛх), где Уо = Уо Лх. Относительная спектральная плотность у Я = 0 (т)/Уо = = за (лч Лх). Если обозначить г1 = м Ьх, то относительную спектральную плотность можно представить в виде у (г1) = за лг = з)п лг1/(ляг). В данном случае б(ч) (у (г,)1 — всегда действительная величина, принимающая положительный или отрицательный знак Рис. 272. Комплексный спектр прямоугольного импульса (рис. 272).
При ч = О б (ч)/бо = 1, так как за (О) = 1. Функция обращается в нуль при 2лм,> Лх/2 = пл, т. е. мо = пИх, где а = 1, 2, ="3,... В области частот, где С(м) имеет положительные значения, начальные фазы всех гармонии равны нулю; в области частот, где С (м) отрицательна, имеет место скачок фаз всех гармоник на величину л. Действительно, фазовая характеристика спектральной плотности ф (ч) = агс1), (6 (ъ)/а (~)1 = агар О = О, л, 2л, Зл,... Эта характеристика представлена на рис. 273 совместно с амплитудной характеристикой, которая определяется модулем спектра: А ~у) = ~ б (ч) 1 = ~ Уо Лх~ за (2тв Лх/2) ~ = ~ Щза (лч Лх) ~ . Максимальные значения спектральной плотности соответствуют частотам м „, определяемым из уравнения д аа (2яд,аа„ах/2) Д "п13х откуда 2лчии, Лх/2 = 1д (2лч „ Лх/2); чи,„= 1д (2лд „Ьх)/(л Лх).
Для главного максимума ми,ш = 0; для'первого бокового максимума о „= 1,43Их; для прочих максимумов значения ип„„все более и более точно приближаются к величинам 2,5Их, 3,5Их, 4,5Их,... Относительны ная спектральная плотность 1/ (ч)/бо в максимУ- мах приближенно равна: +1,0; — 0,22; +0,13; С,Я7— — 0,091; +0,071;... Вычислим спектр прямоугольного импульса, -.нр ~ ~ - ля,7 сдвинутого вдоль оси так, .б~~~ -и~ ' ', - ап Осг как это показано на рис. 274. В этом случае и.,-уу-ы,-ы п~ р о,из;ги дну мь можно записать Ц1(х) = У (х — Лх/2). Действительно, при х=- О (/1(х) = (/( — лх/2) = Цо, при х = Лх~ 01(х) = Су (+Лх/2) = Е/о.
Рис. 273. Амплитудная и фааовая каракте ристики спектральной плотности прямоуголь ного импульса Используя теорему запаздьгвания,"найдем (/ (О) = б (Ч) Е Р та ~1, где 1/ (~) = с/а Лх за (2лм Лх/2). Если в общем случае импульс сдвинут на величину х„т. е. ~/1 (х) = 1/ (х хо) Ц (у) — Ц (ио) Š— /2Л~Фао или 1/1 И = Роза (2л'и Лх/2) е — Р ' о, где 1/О = с/О /~Х. Найдем энергию, заключенную в по. лосе частот от О до ч. В соответствии с равенством Парсеваля для случая только положительных частот имеем Рис.
274. Сдии))утый прямо- угольный импульс: 1 — осиовяоо ва))навт; 2 — а6- )ци)) случм) и,. =- 2 ) ) 0 (ю) )~ ь = 2уо лх ~ ) ы (2ии лх)2) ) ь, о или щ 2КЛх2 (' 81П'(2 Л)г~~) Д Д Р ЛАЯ Р о Вводя обозначение у = — 2лм Ьх/2, найдем У 2 г ишяу 2 г ип2у ,=и.л — ~ — ар=~,— ~ ~д. л ) у' л ~ у' о о Входящий в полученное выражение интеграл и где интегральный синус и)п г 8~ (г) = 1 — д1 =г о Р " я' з.з~ + ь.ы уу~ ' ' 2У Так как модуль спектра 01 (м) равен модулю спектра 0(~), то амплитудная характеристика спектральной плотности прямоугольного импульса не зависит от выбора начала отсчета: А, (ч) = ~ б, () ) ~ =-. ~ Г/ (ч) ~ = А (у).
В свою очередь, фазовая характеристика $1(~)) = 2л~)хо+ пп, или прихо = Ах~2; и =О, 1, 2,... ф1()) = 2тю Ахи+ пп. Для сдвинутого прямоугольного импульса фазовая характеристика спектральной плотности показана на рис. 273 штриховой линией. Здесь по-нрежнему каждая пе- Ц ремена знака спектра С (м) учитывается приращением фазы на л. Полная энергия прямоугольного импульса, очевидно, равна ц)о.
ц~ Ьх. '!' а 6 л н и а 17 Значениа коэффициента т! =-- тот~тоо, хаРактеРизУющего относнтельнУю энеРгию в полосе частот от 0 до т, для косинусного т16 косинус-квадратного т1п и прямоугольного т1гп импульсов, имеющих ширину Ьх ч 5! н «5 пн м пп! пп Ч$п 0,984 0,947 0,988 0,958 0,00 0,000 0,05 0,081 0,10 0,161 О,!5 0 240 0,000 0,067 0,133 О 198 0,991 0,967 0„%3 0,974 0,994 0.98! 0,316 0,262 0,390 0,325 0,460 0,385 0,527 0,443 0,589 0,499 0,985 0,989 0,%2 0,995 0,999 0,995 0,%5 0„9% 0,995 0,%8 0,856 0,900 0,879 0,902 0,900 0,903 0,930 0,947 0,960 0,970 0,978 0,918 0,903 0,933 0,903 0,646 0,551 0,698 0,601 Таким образом, отношение энергии прямоугольного импульса, заключенной в полосе частот от О до о, к полной энергии равно о — — = — [й (роа— плд 2 тоо 2 з!па (р ах~2) ') р Лх где р = 2гг~. Значения коэффициента т! = Щ/во длЯ пРЯмоУгольного импульса т1ц, приведены в табл.
17. Зависимость коэффициента т1 от частоты ~ приведена на рис. 275. Из графика следует, что около 90% энергии прямоугольного импульса сосредоточено в полосе частот от О до т = — 1Их, т. е. т Лх = 1. Рис. 275. Зависимость коэффигот1 циента т! --- — от произвсдсгоо няя мах, характеризующая энергию прямоугольного импульса длительности Лх в полосе частот от 0 до ч .6.3. Единичный импульс Единичным импульсом называют функцию 6 (х), равную нулю всюду, кроме точки х = О, или функцию 6, (х) = 6 (х — х,), равную нулю всюду, кроме точки х = х„где она равна бесконечности, причем площадь импульса конечна и равна единице: + О ~ 6 (х)дх= 1, 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,000 0,100 0,198 0,293 0,383 0,467 0,545 0,6!5 0,676 0,729 0,774 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 0,746 0,647 0,788 0„690 0,826 0,730 0,859 0„766 0,887 0,799 0,911 0,829 0,810 0,839 0,861 0,878 0,889 0,896 1,10 1,15 1,20 ~ 1*,25 ! 1,30 ! 1,'35 ! 1,40 1,45 1,50 2,00 0,903 0,905 0,907 0„909 0,913 0,917 0,922 0,926 0,931 0,%0 или ) 6(х — х,) дх=1.
Таким образом, можно записать, что (О при х+х~; 6~ (х) = 6 (х — х,) = ~ ~ оо при х=х~, в том числе и при х = О. Эта функция называется также дельта-4ункцией или 4унки~ией Ди рака. Одним из свойств дельта-функции является четность, т. е. 6, (х) = 6~ ( — х), нли 6 (х — х~) = 6 (х, — х). Найдем спектр дельта-функции. Для этого введем в рассмотрение прямоугольный импульс У~ (х) с амплитудой У, и протяженностью Ьх, середина которого находится в точке х = х~. Спектр импульса У~ (х) равен 0~ (м) = 00 Лх за (2лч Лх/2) е — Р" " . Спектр дельта-функции можно найти, имея в виду, что 6, (т) = = Игп О, (~) при У~ оо, Лх О и У0 Ьх = 1. Тогда имеем о (у) е-уВгьхе Модуль спектра А (м)= ~6,(ч)[ =1, что означает наличие сплошного равномерного спектра в пределах -+- СО. Фазовая характеристика ф (м) = 2лчх~. Таким образом, спектральная плотность дельта-функции 6 (х) вещественна, ее модуль (амплитудно-частотная характеристика) равен единице для всех частот, а аргумент (фазовая характеристика) равен нулю для всех частот.
Это означает, что все гармонические составляющие дельта-функции, суммируясь с нулевыми начальными фазами, образуют пик бесконечно большой величины в начале координат при х = О. Аналогично дельта-функция 6 (х — х,), определяющая импульс в момент х = х„обладает спектральной плотностью е — ~"'"' Модуль этой функций по-прежнему равен единице, а фазовая характеристика ф (ч) = 2лчх,.
Следовательно, в этом случае происходит совпадение фаз всех гармоник и образование пика в точке о. Энергия единичного импульса бесконечно велика. Это следует из равенства Парсеваля, в соответствии с которым энергия +со ~ 6, (~) ~ д~ = ~. ОФ Рассмотрим некоторые свойства дельта-функции. Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье, найдем + Со +:О 6, (х) =6 (х — хц) = ~ О, (м) е1~ *~В = ~ ем1" — ~~дт. Полученное выражение представляет собой условное интегральное определение дельта-функции. Учитывая симметрию интеграла Фурье, переменные х и ч можно поменять местами, т.
е. записать выражение для спектральной плотности, имеющей вид дельта-функции, следующим образом: +ю 6(т — ~Д= ~ е~~<" — ~>дх. СО В силу четности дельта-функции можно записать б (~ ~о) = б (~о ~). Одиим из основных свойств дельта-функции является так называемое фильтрующее или стробирующее свойство, которое вытекает из основного определения дельта-функции и выражается в следующем соотношении: +ео +е ~ 6 ~х — х~ Г (к) дх= (/ (х,) ~ 6 (х — х„) Ох= О (к,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
