Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов (1977) (1095911), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Таким образом, результирующее колебание имеет дискретный спектр, причем в отличие от амплитудной модуляции этот спектр занимает бесконечно больй1, гца Р=О5 11 О1а 111!! Фа-2Я 1111 ~ ЙГ 1~ '"а ®а ~'~ Рис. 286. Амплитудный спектр частотно-модулированного колебания при малом индексе моду- ляции В табл. 3 были приведены значения 1, ф) для [3 ~ 10 и п: 11. Так как в рассматриваемом случае и=А, то из таблицы следует что при р ~с 0,5 ширина спектра практически равна 2Р.
При 0.5 ~ [~ ~ 1 приобретает некоторое значение вторая пара боковых частот, так как их относительная амплитуда равна 0,11. шую полосу частот. Частота каждой гармоники отличается от несущей на ЙИ. Амплитуда А-й гармоники А„= асаф) х ~с А а, где [3 — индексчастотной модуляции. Амплитуда колебания несущей частоты равна 1 а ф) А,.
Следовательно, практическое ограничение спектра определяется законом изменения бесселевой функции ~а ф)- Рнс. 287. Вид спектров частотно-модулированного колебания при различных индексах модуляции 7.4. Спектр колебания при фазовой модуляции Пусть имеем исходное гармоническое колебание 0 (Ц =.= Л Осоз (в)ог — ч" ).
Заменим в нем ф,> величиной Ч =-:Ч 11+ Г(~)1 — ' Ф +ЬФ~(О. где и =-= Лф~'ф„. Тогда получим У Щ =::= А „соз 1со„1 — — ф, — Л$Р (1) 1. В аналогичном случае при частотной модуляции, когда ю =-- со„+ ЛаР (1), (/ (1) =-- А„соз (со1 — фД =-:- Л, соз (ф — $„), ь-.= —, т. е. ~~> — — ~ ьй =ы,1+ Ли~Е®й. Дф (М о О Следовательно, и~ — ~,+ли1Р(1) м].
о Г(1) = — А сов Следовательно, в этом случае ширина спектра должна быть принята равной 40. При 1 - =р ~ 2 ширина спектра достигает (6 —:8) О. Далее она приближается к значению 2~0. Это означает, что наибольшее значение А, с которым приходится считаться, приближается к индексу модуляции, когда А = р. Так как р =- ЛаМ, то при р > 2 ширина спектра 2~0 =-- 2 (ЛюМ) й = 2Ла. Вид некоторых спектров приведен на рис. 287. Важно обратить внимание на то, что при частотной модуляции, когда частота исходного колебания непрерывно изменяется в пределах заданного интервала а, =. Ла, спектр получается не сплошным, а дискретным, причем только при очень больших значениях Лсо (р ъ 2) ширина его равна 2Лв. При узком интервале полосы качения частоты (2Лсо) ширина спектра модулированного колебания не зависит от величины интервала, а определится, как и при АМ, шириной спектра модулирующей функции 20.
Это не позволяет сократить полосу рабочих частот за счет использования частотной модуляции. Конкретное приложение теории частотной модуляции было изложено в ~ 2 гл. 8. Различие между выражениями для фазовой и частотной модуляции заключается лип5ь в том1 что при фазовои модуляции Б аргумент входит модулирующая функция г' (1), а ири частотной моду- ляпин -- ее интеграл. Если 1'(1) ' сон Щ то для фа- зовой модуляции имеем 0 (1) =-- А в соз (сов1 — н — С55ф СОЗ Ы), а для частотной модуляции най- дем У(1) = — Ав сов (со4 — 5~в+ + Лсв/Р з5п Ж), 3 1 т.
е. полученные выражения практически совпадают. Следовательно, при гармонических частотной и фазовой моду- Рис. 288. Форма АМ, ЧМ и ФМ сигналов при импульсной модуляции ляциях различия в форме модулированных колебаний нет. Эти различия обнаруживаются 55ри более сложных законах модуляции, что ясно видно на рис. 288, где показана форма АМ, ЧМ и ФМ сигналов при импульсной модуляции. $8. ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ. ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА О ДИСКРЕТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ ~ В ТЕОРЕМЕ ИМЕ5ОтСЯ В ВИДУ ФУНКЦИЯ ВРЕМЕНИ О'(1) И Чаетета ~ьн ПО МЫ используем се для пространственнык функций, спектр которых ограничен частотой т„,. Прн передаче реальных сигналов их спектр всегда ограничен конечным значением полосы иропускания тракта. Непрерывные сигналы, имеющие ограниченный спектр, вполне определяются конечным числом значений па протяжении конечного интервала.
Это находит отражение в теореме, носящей имя акад. В А. Котельникова е". если функция 0 (х) не содержит частот, больших чем в, то она полностью определяетпся путем задания ее ординат и последовательных точках, отстоящих друг от друга на расстоянии 1~(2'в ). Приведем доказательство этой теоремы. В общем случае где +Х )))~) = ) Г~х)е — Р *их. Так как для функции 0 (х) с ограниченным спектром при ч' >т) 0 (и) = О, то +' Е/(х):=-- ~ 0 Я еР" ' Ит). Поскольку пределы интегрирования ограничивают последующее рассмотрение интервалом частот от -- т)„, до +-т),н, пам безразлнчно, как ведет себя функция 0 (и) за пределами этого интервала. Поэтому предположим, р„й~ что она периодически повторяется с периодом 2н (рис.
289). Тогда эту периодическую функцию можно представить У рядом Фурье 0(ч) = /г=-+ы — А~е (~~ д 2 Рис. 289. Периодическое повторение заданной функции (к докааатеаьстну теоремы Котельникова) где А. ~р,~ ) 0)т)е '<'"~ д~. Так как при х =: — М(2)) ) 1 та) У ( — — ):= ) ))Яе то Следовательно, +~юн А=. )-о» т уаай— т) (х) = ~ — '~ ' А„е ~ е)а"т' д)); — а=в т изменяя порядок интегрирования и суммирования, найдем /г=+м +~ у(х) =- — А~ 1 е' ~ + ~~ ~ми. '2 Входящий в полученное выражение интеграл +~и ~~"т1"+~4~"т)1 — Р 'т1"+~1(~"ш)1 рдър+~~р~,„)1 „е — е )2л 1х+ йЦ2ч~)1 Умножая и деля значение интеграла на 2~,„, получим +~т Тогда О[х)= ~ Ар,„ва[2п~ [к~- — ))=— А=+со У вЂ” — за 2пм,„х+ — „ Обозначим Лх == 1~(2ъ„,) и, обратив внимание на тот факт, что Й принимает все значения от -- со до 1-со, т.
е. знаки при Й можно поменять местами, найдем А=+во 0 (х) — — —,~~' У(АЛх) за [Ьгч„„(х — ЙЛх)). йи Полученное выражение позволяет представить заданную непрерывную функцию (/ (х) дискретными значениями, отстоящими друг от друга на расстоянии Лх -:= 1/(2~„,) (рис. 290). Х Эти значения функции иногда назы- Ж вают выборками сигнала. Х Если протяженность сигнала ко- Рис. 290.
дискретизация синечна (Х), а полоса частот по-прежнему ограничена у~, то эти условия оказываются несовместимыми, поскольку функция конечной протяженности обладает бесконечно широким спектром. Однако всегда можно определить наивысшую частоту спектра ~, за пределами которой содержится пренебрежимо малая энергия сигнала. Число выборок )ч' в этом случае Ф = Х/Лх + 1, поскольку одна «лишняя» выборка нужна на границах сигнала.
Так как обычно Х/Ьх ", 1, то Ф вЂ” -- Х/Лх = 2ч,„Х. 5 9. СПЕКТРЫ ДВУМЕРНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ 9.1. Основные соотношения Пусть двумерная вещественная функция (I (х, ц) удовлетворяет следующим условиям. 1. Функция (l (х, у) абсолютно интегрируема по бесконечной плоскости Х)', т.
е. существует интеграл и СI (х, Я г(х г1у =- Й со. 2. Функция (/ (х, у) непрерывна или имеет конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов в пределах любого прямоугольника конечных размеров. 3. Функция Е/ (х, у) не имеет разрьпюв второго рода *. В этом случае может быть осуществлено преобразование Фурье функции (l (х, у) -~ оз б (ъ, р) =-- и (l (х, у) е — Р"(™ ' "И г(х ду, т.
е. найдена функция б (ъ, р) двух независимых переменных ч и р, которые называются пространственными частотами. Соответствующие им круговые пространственные частоты равны: р =- 2лз; д =-- 2л1г. Точно так же справедливо и обратное преобразование +со Г (Х, д) = — и Г (м, р) а-'"( " ~ з~ Ы~ с1р. Функция Е/(ч, р) является комплексной функцией пространственных частот и представляет собой спектральную плотность * Условия 2 и 3 называются условиямн дирихле. Разрыв перво~о рода (обыкновенный разрыв, конечный разрыв или скачок) означает, что при пере ходе х чеРез значение а функция б (х) «перескакиваетв от одного конечного значения к другому. Само значение (/ (х) при х =- а может быть не задано, оно может совпадать со значением функции слева 0 (а — О) или справа (/(а + О) от точки разрыва.
Иначе говоря, при разрыве первого рода существует конечнын предел У (п+ О), хотя он и не равен значению функции (! (а) в точке а. Если предел бесконечен или его вовсе нет, говорят о разрыве второго рода. функции ~l (х, у). Совокупность модулей б (т „р) называется пространственно-частотным спектром функции У (х, у). Если двумерная функция в плоскости ХУ задана в полярных координатах р, гр, причем а=). х'+Х; гг-агс)~)гг)х); х =- р сов гр; у = р з)п гр, то для вычисления соответствующего спектра необходимо перейти к полярным координатам также и в плоскости пространственных частот ч, р, т.
е. ввести вектор пространственной частоты х и его фазовый угол О так, что ~ х ~ =- х --- )/ т)в+ р,, 8 = — агс(д'(фт)); т = — х сов О; и = — х з) и О. Тогда, имея в виду соотношение, связывающее элементарные площадки в прямоугольных и полярных координатах, дх ау = — р г~р агре легко осуществить переход от спектра функции У (х, у) в прямоугольных координатах +со У(т), р) == Ц У(х, у)е — Рья" +)А) дхду к спектру функции ь1 (р, гр) в полярных координатах с)' (х, О) --=- ) агр ~ с/(р, гр) е — Р""4" '~~: — о)гь Й~ь. Если речь идет о функции трех переменных ~l (х, у, 1), то можно получить пару трехмерных преобразований Фурье*: -р со (,)(х, у, 1) == И ~ гь'(т, р, ~)еР"~т'+ил+~') сЬИрф; Осер, )):=-) ) ~ Гсх, )г, Г)ег"'г хг~егггг)хг)уг)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
