Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов (1977) (1095911), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Формалыю все полученные результаты, касающиеся свойств спектров (преобразований Фурье) одномерных функций, обобщаются на случай двумерных и многомерных функций, т. е. для е КОГДа ДЛИ ДВОЙНОГО ИЛИ тРОйНОГО ИНтЕГРада УКНЭЫВНЕТЕИ ТОЛЬКО ОДИН ПРЕДЕЛ ИНТЕГРИРОВанинг ТО ЭТОТ ))РЕДЕЛ О)'НОС)Пей К ИНТЕГРИРОВННИЮ НО ООЕИМ переменным.
этих функций справедливы теоремы о спектре суммы, теорема смещения, теорема Парсеваля, теорема свертки и т. д. Однако на некоторых специфических свойствах многомерных спектров следует остановиться более подробно. 9.2. Двумерная дельта-функция Дирана Определение дельта-функции в двумерном пространстве представляет собой обобщение определения одномерной дельта-функции, хотя в двумерном пространстве существует ббльшая свобода выбора первоначальной формы импульса, из которого в пределе образуется дельта-функция. Как бы ни определялась двумерная дельта-функция Дирака, она имеет следук)щие основные свойства: ~ со при х=у==О; ( О при х+О и у+О; +д ЦЬ(х, д)ехер= ) прп е> О; о(ах, Ьд)= „~ Ь(х, д); 1 Ц (/(е, е~)Ь(х — е, р — П)рейд =у(х, д). Последнее свойство, связанное с тем, что двумерная дельта-функция Ь (х — $, д — т)) равна нулю всюду, кроме точек х == $ и у =- Ч, называют фильтрующим (стробирующим) свойством дельта- функции.
Дельта-функцию можно определить также и в пространстве с более высоким числом измерений, при этом ее свойства совершенно схожи со свойствами ее аналогов в пространстве меньшего числа измерений. 9.3. Редукция преобразования фурье н меньшему числу переменных Пользуясь свойствами дельта-функции, можно осуществлять редукцию преобразования Фурье к меньшему числу переменных. Предположим, например, что функция у (х, у, 1) не зависит от 1, но записана в трехмерной форме. Тогда + ее ()(е, р, )) = Ц ~(/(х, д)е Р ( *Еее+~цекддд( +ее + ее = /) ()(х, р)е — юе~*хех~дхдд ) е — /едп(. Последний интеграл представляет собой дельта-функцию ч о» 6))) =- ) е Р"~'Ж Следовательно, исходная функция + ОЭ О)х, р, )) =" Ц ) О(», )» )) »Р" ("*»»»но~ и д1 и) —.— +с .--Ц) 0)», р)»)))ет ~ »»»НОЙ»д)»Н).=»))х, у).
9.4. Спектр сечения двумерной функции Пусть имеется вещественная функция двух переменных 0 (х, у). Совершим над нею преобразование Фурье по координате х: +ш б(~, у) = ~ 0(х, д) е — Р"""'дх. Знак /~ над одним из аргументов указывает, что преобразование Фурье по этому аргументу еще не проведено. Таким образом, мы получили спектр значений функции (l (х, д) при заданном у, или как бы спектр сечения функции 0 (х, у) для данного у. Если далее найти преобразование Фурье функции У (ч, у), рассматривая ее как функцию аргумента у, то найдем +»О О(ч, р) =- ~ б()), р)е — Р'ч'~й(, или (.) (ъ), р,) =.—. У(х, у) е — Р)ч +)"~) ИхЛу, а это уже двумерный спектр функции в целом и разбить его на отдельные сечения в общем случае нельзя. 9.б. Двумерные спентры функций с разделяющимися переменными.
Преобразование Фурье †Бессе, или преобразование Ганкеля нулевого порядка Функции двух независимых переменных называется функцией с разделяющимися переменными в определенной системе координат, если ее можно записать в виде произведения двух фу.нкций, каждая из которых зависит только от одной независимой переменной. Иными словами, 0 (х, у) есть функция с разделяк)щимися переменными в декартовых прямоугольных координатах, если и (х, ) -- и ( ) и (у). В цилиндрических координатах (/ (р, ер) также является функцией с разделяющимися переменными, если (~ (р.
чр) == (У (р) (~ (ч)- Функции с разделяющимися переменными часто удобнее для использования, чем более общие функции, так как их свойства поз- Рис. 291. Спектр функции с разделан))цимисн переменными и прямоугольной системе координат: а — функции; б — ее спектр воляют свести сложные двумерные действия к более простым одномерным. Например, двумерный спектр функции с разделяющимися переменными в прямоугольной системе координат можно представить в виде произведения одномерных спектров. Действительно, если Е1 (х, у) =--- 0 (х) 0 (у), то Он, р) =- ) ) ))(х, д)е '2"< +Ри нхдд=:.= +са +СО ~ (/ (х) е — Р'™ дх ) 0(у) е — Р"и" ду — — С (~)) У (р). Вычислим для примера спектр функции 0 (х, у), которая равна (У„=== сонары на интервалах по оси х от — 0)2 до 02 и по оси у от — т/2 до +т/2, а за пределами этих интервалов равна нулю (рис. 291) ° зуо Очевидно, что +ю б (ч, р) = — Ц О (х, у) е — ~'" ('*+~ Юх д р .—.—.
+1/2 +т/2 =-Г, 1 е — т *йк 1 е-Р"аду== у,из~2лю 2~ка~2лр — 1, ~ ь — Ц2 — тУг где С<, .=- 0„гя1. При разделении переменных в цилиндрической системе координат вычисление спектра осуществить сложнее, однако и в этом случае обычно двумерные операции можно свести к ряду одномерных. Наиболее просто это делается для функций, обладающих осевой симметрией. Значения такой функции определяются только радиус-вектором, т. е. Следовательно, можно найти б [х, О) — 1 йр 1 О (р, ~р) е — '"' г '* в~)р др = о о 1 .-= 2п1 У~)рйр —, 1 е — ~~ Р в-йд~ 2л Ю Внутренний интеграл представляет собой фуикци1о Бесселя пулевого порядка 2п У„(2лхр) --.- — ~ е — Р~~Р ' -' 1в "н сй1:. ! 2л о Таким образом, искомый спектр становится функцией только про- странственной частоты х, не зависящей от фазового угла 0: б (х) ==- 2л ~ ЕУ (р) У, (2лхр) р И1ь О Этот особый вид двумерного преобразования Фурье для функций, обладающих осевой симметрией, встречается достаточно часто и носит специалыюе название преобразования Фурье — Бесселя или лреобртования Ганкеля нулеаого ~горядка.
Аналогичным образом можно найти обратное преобразование, если функция б (х) обладает осевой симметрией: У(р) =-=2л ~ 0(х) У (2лхр) хдх 371 Вычислим для примера спектр функции (/ (Р, тр), которая равна ~1а = сопз$ внутри круга радиусом ра, а за пределами этого круга равна нулю (рис. 292). Очевидно, что в этом случае ро (~ (х) = 2тт(~а '~а (2~~Ч') Р с)РИспользуем формулу приведения бесселевых функций ~Ут (Я) А ~)е -=А~ (г) — — ~т,(г), г Рис. 292. Спектр фупкпии с осевой симметрией: и — фупкпия; 6 — — сс спектр которую можно представить в виде Ыд (я) ~ АУд (г) а или ~)Р~ Ф еЧ пе =г т 1 г.
При А =-- ! найдем ) () .~[еА1(й) Обозначив г ==- 2ттхр, получим Ре 2р 2л(/а ~ Уа(2лхр) Рдр=- „', ~Уа(г)гдг=- ео = — '„', 1 д(у,() 1=- "",.".('') . Следовательно, Ре (~(") =2п(~о ~ ~о(2~яр) рФ=(~оуро где г„, =-:= 2лхро. 5 4 О. ПРОСТРАНСТВЕННО-ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (ПЧХ) ОБЬЕКТОВ НАБЛЮДЕНИЯ Ю.1. Основные соотношения Пусть имеется излучающий объект, характеризующийся распределением яркости В (х, у). Переменные х и у могут представлять собой координаты некоторой точки в системе координат, связанной с объектом (Л, У'), однако более удобно задавать распределение яркости по коордииатамх и у в плоскости изображения, создаваемого оптической системой (сопряженной плоскости).
При большом расстоянии до объекта плоскость изображения совпадает с задней фокальной плоскостью оптической системы (рис. 293), так что имеют место следующие со- отношенияя х .=-- ~' 1д а' = ~'а', у =-=- ~' (~ р' =- Д$', где ~' — заднее фокусное расстояние оптической системы. В воздухеа' =-=а; р' =:-:- р. В среде с показателем преломления и (иммерспопный объектив) а' =-:= а/п„р' .== ~Уп. Следовательно, в общем случае Рис.
293. Схема пзблюдсч~ии Заметим гакжс, что яркосп выражена в эффективных величинах, т. с. В(х, у) = — - ЕВ,.(х, у), где В= 1 р(х)А(х)%(х)ъ(х)ю ~ ср (Х) д7,; о В, (х, д) = ) В,р„(х, у) Ю; 373 и) (Х), А (Х) — — относительные спектральные характеристики излучения источника и чувствительности приемника; т„(Х), т„(7,)— спектральные коэффициенты пропускания атмосферы и оптической системы; В,,~ (х, у) — спектральная плотность энергетической яркости объекта в точке с координатами х, д. Двумерный спектр функции В (х, у) равен В )», )») =- Ц В)х, х) е — ге' <"*+»»»)еду.
Спектр В (ч, р) является комплексной функцией пространсгвенных частот. Совокупность модулей этой функции называется пространственно-частотной характеристикой (ПЧХ) излучения объекта наблюдения. Двумерный спектр измеряется в Вт см В ср ~ Х х см' =- Вт.ср '. Рассмотренные в ~ 9 этой главы свойства двумерных спектров позволяют легко получить выражения для спектров некоторых моделеи малоразмерных источников излучения (имеются в виду объекты, детали которых не разрешаются оптической системой прибора). 10.2. ПЧХ точечного источника Математической моделью точечного источника излучения является двумерная дельта-функция Дирака, т.
е. В (х, у) == И (х — хВ, у -- у„), где 1 — — сила света источника в данном направлении, измеряемая в эффективных величинах Вт.ср ', о (х — х„у — у„) — функция Дирака в точке (х — х„, у — у„), измеряемая в см '. Действительно, пусть, например, двумерная дельта-функция являе)ся пределом произведения двух колоколообразных импульсов, имеющих протяженность Л вЂ” О, т. е. Так как ~/о =-- 1/(2л Л2), то двумерная дельта-функции измеряется в см ', если Ь выражена в см.
Спектр точечного источника (Вт.ср ') В(, р) = Ге '2'( е+""е) а ПЧХ вЂ” модуль спектра — является постоянной величнноне равной 1. 374 10.3. ПЧХ объекта прямоугольной формы Для объекта прямоугольной формы (рнс 291) при (/, ==- В„ в пределах от — 6~2 до +62 по оси х и от — т/2 до -+т12 по оси у найдем двумерный спектр (Вт ср ") й Ь, р) = В„.лй гз (2д~ — ) ва (2пр — ) 10.4. ПЧХ круглого объекта равномерной яркости Лля круглого объекта равномерной яркости (рис. 292) при Е~„=-- В„внутри круга радиусом р„найдем спектральную плотность (Вт.ср ') В(х) = ВрК ПЧХ = ~ В (х) ~ — - — В лр~~ где г„= 2чхр„. 10.б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
