Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов (1977) (1095911), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Учитывая, что е Р и = соа2л~~ — 1з1а2лР, прямое преобразование Фурье можно записать в виде суммы косинус- и синус-преобразований: + ао + ОР 0 Я = ~ О ф) е — Р"/'й = ~ О Я тв 2п11 й!— +со — ~ ~ У (~) з1п2юфй. +он Вводя обовнаеення: а е)) = ) Обе) сснрп)еб)е — яосннус-прндр разование, определяющее действительную часть спектральной +со плотности, б))) = ) БЕЕ) ыпрп))б) — аннус-преобравоваине, оп. ределяющее мнимую часть спектральной плотности, найдем б (1) = а ф — )Ь ф = — А О) е — у~ И), где А Д) = )~а' (~) + Ь' (Д вЂ” амплитудная характеристика спек.
тральной плотности: ф Я = агс1д 1Ь (О/а ф) — фазовая характеристика спектральной плотности. Рис. 268. Дейстиительиая (а) и миимая (б) части спектра Фурье Если 0 (г) — четная функция, т. е. У (Г) = (l ( — г), то й а =- а а = 2 и Я сов 2иИ М. Если же У (Х) — нечетная функция, т. е. 1/ (Е) =-= — У ( — Ю), то У Д) = — уЬ (~) = — 2у (У Я зт 2т4$ сй. Так как +оо У ( — Д =- ~ У (Г) е+Р ~у~ бУ = а ф + )Ь ()), то где б~ Я вЂ” комплексно-сопряженное значение спектра. Действительная и мнимая части спектра а Я и Ь Д) могут также обозначаться в виде: а (Д = — Ке 1(.) (Я; Ь Д) = 1п) Н/ Щ действительная часть спектра — всегда четная функция (рис. 268, а), мнимая часть спектра — всегда нечетная функция (рис. 268, б). Комплексность спектра означает сдвиг отдельных его составляющих по фазе.
5 4. СВОЙСТВА СПЕКТРОВ Основные свойства спектров определяются рядом теорем, которые будут далее рассмотрены применительно к пространственным координатам. 4Л. Теорема о спектре суммы Пусть функции (/, (х) и (/~ (х) имеют спектры (/, (ч) и (/ (ч), т. е. +»о (/, (ч) = — ~ Б, (х) е — Р"" Их; Г~ (ч) =- ~ У (х) е — /2"ч." дх. Тогда можно найти сумму спектров: 0(ч) =- 0,(ъ)+С,(ч) == ~ (0,(х) (-У2(х)3 е — / '"дх.
Так как правая часть равенства представляет собой спектр суммы двух функций, очевидно, что в силу линейности преобразования Фурье спектр суммы равен сумме спектров, 4.2. Теорема запаздывания Эга теорема определявт спектр функции, смещенной относительно исходной на заданную величину. Пусть функция (/(х) имеет спектр +о» 0(ч) — — — ~ 0(х) е — )"- "с(х. Найдем спектр (/1 (ч), соответствующий функции У1 (х) =-- У (х — х,). Так как по определению имеем +О» +м 0»)»)= ) )),(»)» — ~»"'*д».=- ) )l~» — х,)е — ~»' дх, то, произведя замену переменной интегрирования на х, = х — х, получим +Ох й [х(= ( и (х,) е — х'~х +~1 (х1 +Об =х — х"'* ( и(х,)е — Ф~* дх,; но +хо й(х(.—.
~ и(х~х-~ (х, О, (и) =- — У (и) Е ~~'"'хх т. е. спектр функции, смещенной относительно исходной на заданную величину х((, равен спектру исходной функции, умноженному на е — Р'" . Поскольку амплитудная характеристика спектральной плотности (модуль спектра) А, (() = $ Е/1 ((() $ = ф (т) е — Р"'" ~ = = ~Е/(ч)~ ~е — Р х~=~(7(ч)~=-А(((), то при смещении функции по оси х модуль спектра остается не- изменным. 4.3. Теорема смещения, или теорема о транспозиции (переносе) спектра Эта теорема определяет функцию, которой соответствует спектр, смещенный по шкале частот на величину ~, относительно исходного значения м. Пусть спектр~~функции 0 (х) есть б (м), т.
е. +ЮР й(х) = ( и(х)е — Рх™йх. Очевидно, что смещенный спектр + хх йх (х) = й (х+хд ~ и (х) е — Х ~"х" 1*Их +Ох = ( и(х) е — Р" е — ~х х" дх. ОФ Обозначив (У,(х) =0 (х) е У2""'", найдем +СО 0,(м) С/(т-~ ч,1= ~ У,(х)е — !~"Нх. Следовательно, смещенным спектром обладает функция (У, (х) = 0 (х) е — Р'~, т. е. функции 0 (х) соответствует комплексный спектр 0 (ч), а функции (У, (х) = 0 (х)е — У'" "— смещенный спектр б (ч) =- = — й'+ "о).
4.4. Связь между произведениями функций и их спектров. Равенство Парсеваля Пусть две функции ЕУ, (х) и ЕУ~ (х) имеют комплексные спектры (У, (ч) и б~ (ч), т. е. +~:О 01 (у) =- ~ (У, (х) е — Р"™ Их; +СО Г/, (~) = ~ Г, (х) е-ю'"'* йх. Так как в соответствии с обратным преобразованием Фурье +~о Ц (х) ~ (/ (~) еУ2лмхДч Ф то можно найти +со Ц, ~х) Г, (х) У, (х) / О, Я еР""*дю. Интегрируя левую и правую части последнего равенства по х в пределах — со, получим + 4|0 +Ой +еа ~ О,<х)ц<х)гх= 1 У,(х)их / С1,()ю а. Изменяя порядок интегрирования в правой части, найдем + ОО +ею +ею ~ У,(х)О,(х)дк= ~ 0,(м)йм ~ О,(х)еФ"' Их, но внутренний интеграл представляет собой сопряженный спектр функции У., (х).
Действительно, +СО (4 ('ч) = — (/~ ( — ~) .— - ) У~ (х) е~м™ Нх. Следовательно, +со +~ю Х ~,(х) и-.(.Мх =- 3 б () й(.) ~.. Последнее соотно|пение определяет связь между произведе- ниями функций и их спектров, Из него, в частности, следует, что при Е/, (х) ==- Е/, (х) == (У(х), когда б,(~) =б.,(т) =б(ч), т.
е. ~ ()Л( )=1(~ О!' имеем +ю +о~ со=- ~ [У(х)1'дх =-- ~ ~(/(ю) ~'Й>. Следовательно, интеграл в пределах — ос от квадрата заданной функции (общая энергия рассматриваемого процесса и) равен интегралу в пределах = сс от квадрата модуля комплексного спектра (общая энергия спектра а~). Это соотношение, выражающее закон сохранения энергии, носит название уравнения замкнутости или равенства Парсеваля, по имени ученого, который еще в начале Х1Х в.
рассматривал подобную формулу. 4.6. Спектр произведения. Теорема о свертке спектров Пусть две функции У, (х) и (l, (х) имеют комплексные спектры б, (р) и б, (р); тогда можно записать следующее исходное равенство: Рассмотрим также функцию у, (х) со спектром О, (р), удовлетворяющую соотношению У~ (х) === У, (х) е~'"", т. е. спектр произведения равен свертке спектров. Очевидно, что левая и правая части последнего равенства представляют собой комплексную функцию частоты т: +со +со () (о) = ) (гг (х) (), (х) е — 'е * ох =- ) ()г (у) ((г, (» — д) ду. 4.6. Теорема о спектре свертки Рассмотрим свертку (/(у) двух функций (/ (х) и У, (х): +со (((д) — ()г (х)я(),(х) =- ) (гг(х)(),(д — х) ох. Спектр свертки У ()(/) равен +го +го + ео ()(о) = ) (((у) е — ~е'"худ =-= ) ()г(х) ох ) ((,(у — х)е — Ф еду.
Осуществим замену переменной, вводя новую переменную а = =у — х; тогда +ос + 0(о)= ) ()г(х)ух ) (г,(г)е гг < гоуг=--. +со +ее = ) ()г(х)е — го' дх ) (),(г)е-ге™уг. Так как +ос +со Г)г(о)= ) ((г(х)е — Р~*ух; (),(о)= ) (),(г)е-о" Иг, то или Ь~(х)(ЗУ, (х) ==: б, (~) У,(~). Следовательно, спектр свертки двух функций равен произведению спектров этих функций.
4.7. Теорема о спектре производной Пусть спектр функции (/ (х) равен б (м). Найдем спектр 01 (~)) производной от заданной функции У (х) = — ° Ф/(х) И~ * В соответствии с преобразованием Фурье имеем +со +со (),(е) = ) ()'(х) е-~е "с(х= ) е — ~ *ю((/(х). Ь ь )ь Интегрируя по частям ~ и до = иг) Д вЂ” ~ в ди, найдем а а +со (), [е) = () (х) е — Ю~~ — ) () (х) Ие — Р" 1'ак как функция У(х), представляемая интегралом Фурье, обращается в нуль при х с(), то 0 (х) е-Р""" ~ — О. В то же время +ос +со 1 Ц (х) Де-уЯЯ2)х фд,р ~ Ц (х) е у222ъФ Дх Следовательно, +со ((с (о) = )2ос ) () (х) е-Ж"* с(х —.— )2ес() (о), 4.8. Теорема о спектре интеграла Пусть спектр функции У (х) равен 0 (ч).
Найдем спектр 01 ())) интеграла от заданной функции в пределах от — сакэ до +х, т. е. +Х ) (l (х) Их. Очевидно, что (), (~) = ) ( ) () (х) Их) е — 'о' (х =- ='~ (~ ~(.) )"„' „*. Интегрируя полученное выражение по частям, найдем +" +" , 2 — () (х) Йх.
У (х) дх с)'1 (~) = т. е. спектр производной равен спектру исходной функции, умно- женному на ~2пч. При условии, что +о» ) )))х)»)х О, найдем +е,» и ~~ Ц (х) е-1ха)чх ~1х 1 Г . У (м1 )ау 12 т. е. спектр интеграла заданной функции равен ее спектру, делен» ному на 12км. 5 б. РАСЧЕТ СПЕКТРОВ ФУРЬЕ НЕКОТОРЫХ ИМПУЛЬСОВ И ПРОЦЕССОВ 6.1.
Единичный скачок Рис. 269. Единичный скачок в начале координат т. е. условие абсолютной интегрируемости не удовлетворяется и преобразования Фурье не могут быть применены непосредственно. Рассмотрим функцию О,(х) =(/(х) е — ', где с = сопз1. Очевидно, что эта функция удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости. Ее спектр +ее ее )), )е) = ) ))» )х) е *е »е" »)х = — ) е — * е+»» > йх =- 1 . 1- 1 е —" <'+1~)"> ~ — (с + 12нт») 1о с+ 12лъ Так как У (х) = О, (х) при с О, то спектр функции 0 (х) равен (~ И =111п (~ ())) = 1Ю~~) = — И2п ) а-) О 340 Пусть изменение интересующей нас величины вдоль пространственной координаты х выражается функцией У (х), причем 1 при х~О; 0 при х<..0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
