Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов (1977) (1095911), страница 52
Текст из файла (страница 52)
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ. РАСЧЕТ СПЕНТРОВ Ю 1. БВОДНЫК ЗАМВЧЛНИЯ Выше упоминалось, что любое сложное колебание может быть представлено большим числом простых гармонических составляющих, которые образуют его спектр. 11ыотон назвал спектром цветную полоску, появляющуюся па экране, установленном за призмой, в которой преломлялся пучок белого света. По современным представлениям белый свет, представляющий собой сложное колебание, состоит из отдельных монохроматичсских (одноцветных) лучей, которые в опыте Ньютона различно "Реломлялись призмой.
Подобно этому любой сложный звук (аккорд) состоит из набора гармонических колебаний звуковой частоты. Спектральные представления колебаний широко распространились главным образом в связи с развитием радиотехники. Их основой является гармонический анализ процессов, выполняемый с помощью математического аппарата разложений Фурье, который, кстати сказать, рассматривался их автором лишь как средс*во решения отвлеченных математических задач.
317 Широкое распространение гармонического анализа во всех отраслях современной науки и техники объясняется рядом причин. Во-первых, гармоническое колебание является простейшей функцией, не поддающейся дальнейшему разложению в спектр. Во-вторых, оно является единственной функцией, сохраняющей свою форму при прохождении через любую линейную систему. Далее, разложение сложного сигнала по ортогональной системе основных тригонометрических функций — синусов и косинусов— позволяет использовать символический метод, подробно разработанный для анализа передачи гармонических колебаний через линейные системы.
Возможность использовать гармонический анализ не только в теории и технике формирования и обработки сигналов, но и для решения таких задач, как определение взаимной связи распределения токов в антенне сантиметрового диапазона с формой ее диаграммы направленности, определение структуры пространственных фильтров, позволяющих осуществить опознавание изображения на фотоснимке, улучшить качество последнего, и т. д., привлекло к разложениям Фурье пристальное внимание научных работников и инженеров. $2.
СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Периодических сигналов в строгом смысле не существует, так как основным свойством периодической функции является бесконечное повторение одного и того же явления. Однако понятие периодического сигнала с большой пользой применяется при анализе реальных процессов, всегда занимающих конечные интервалы времени или пространства.
Рассмотрим некоторые вопросы, относящиеся к определению и расчету спектров периодических сигналов. 2.1. Гармонические колебания Простейшим периодическим сигналом является гармоническое колебание, определяемое тригонометрической функцией времени или пространства (/ (1) =- А соз 1(2л1Т) 1 — - ф) = Л соз (в1 — ~) =- А соз ср при — оо < ~ < + оо или (У (х) = А соз $(ай) х — -~4 =- А соз(рх — ~ф) = А соз ср при — оо < х < +со.
Здесь А, Т вЂ” амплитуда и период колебания; а =- 2л/Т =: 2л~ — круговая частота колебания; ~ = = 1/Т вЂ” частота колебании; Х вЂ” длина волны; р = ай = = 2пч — круговая пространственная частота; м --- 1 — прост ранственная частота колебания (волновое число); ф, ~р — на чальная н полная фазы колебания. откуда, учитывая, что еЮ = — сов гр + ~ з]п гр, найдем (/ (г) = л Ке 1соэ гр -1- + 1 Э1п гр) = Л соз гр.
Рис. 253. Графическое представление гармонического колебания: а — о нк ия в)емеца. б— ]у ц В ЭТОМ СЛуЧаЕ ИМЕЕТ- я' функция пространственной координаты ся в виду, что пекоторый вектор Л вращается с угловой скоростью го и значение У (8) определяется его проекцией па действительную ось (рис. 254). Рис.
254. Представление гармонического колебания в виде проекции вращающегося вектора на действительную ось Рис. 255. Векторное предсгавленне гармонического колебания Можно также воспользоваться представлением гармонического колебания в виде суммы двух векгоров В и С, имеющих Одинаковый модуль 0,5Л и вращающихся с частотой со в противоположных направлениях (рис. 255). Тогда (~ (~) .— — В+ С -=- 0,5Ле+/ч'+ 0,5Ле — 1~ == 0,5Л (е+Ю-1-е — ~'г) — Л соа Ч' Графическое изображение гармонического колебания представлено ца рис. 253. В дальнейшем в качестве аргумента гармоццческой функции будут использоваться равным образом временная ~ и пространственная х (у) координаты.
4 уа Гармоническое колебание можно предста- О вцть в виде действи- ф 1 т тельнои части комплекс- нога переменного 0 (1) = Л Ке (е/ Р] ~р В полученном выражении одно из слагаемых может трак товаться как колебание с !!отрицательной» частотой 111. === — .о!+ и фазой Ч! =-- — ф.! . Лействптелы1о, можно найти (индекс плюс для положптель ных значений частоты и фазы в дальнейшем опускается) У (~) = В + С .= 0,5Ае+!'р + 0,5Ае — 11р -=- ==- О 5Ае ! т !"' 'и ~- О 5Ле-'! !"' — 'И = О 5А 1е! !'"-'» + е1 !"-'-.
Ф'->1 =-ж .= — 0,5А [е! м и -~-е11! ! ~ 'м!. Используя тригонометрическое представление комплексного числа, легко показать, как это уже было сделана в $ 1 гл. 8, что гармонической составляющей с какой-либо физической частотой б! всегда соответствует пара слагаемых, одно из которых содержит отрицательную частоту. 2.2. Сложный периодический процесс Любой сложный периодический процесс может быть представлен с помощью ряда Фурье в виде суммы элементарных гармонических колебаний. Пусть функция У (~), заданная в интервале от 1, до повторяется с частотой е!,'.=== 2п~Т(рис. 256).
Тогда с несущественными математическими ограничениями, сводящимися к то- му, что функция должна ! 1 1 быть непрерывной или 1 ! 1 1 иметь конечное число раз- рывов, а также иметь в 1 1 ! 1 1 1 пределах одного периода 1 конечное число максиму- 1 ! ! мов и минимумов (условие -,'-с;т -д-т~4 -ц г ю, т;т $'т'! ~ дирихл ) функция тт(т) т ' может быть представлена рядом Фурье в виде суммы тригонометрических функций: И Я = —,~~ (а!, соз Аа,1+ Ь| з1п йа,ф), Ф=! где а„.= — ~ Ю Я Й; а„= — ~ Ю Я соз Ь 1, ~ ~И; 2 Г 2 Г рт с, ~„= — 1(~(~).1 тп,~й.
а !' Разложение (/(1) может быть записано и в другой форме. Пусть а„= А~ сов ф,; Ь„:==-- А~ з1п ф„ Ад — — $'а$ + Ь~~, ф~ = — агсф (Ьд~а„). Тогда найдем а„сов Ьо,~+ Ь~ зги Ьо,ф = АА(сов~„сов йо,~+ з1п~,„з|п Ьо,~) = =-- А~ сов (Ав,ф — ф,) У (~) = — — + ~~ А~ соя фв,~ — ~ ), й.=1 где Ао =- ао. Следовательно, любая сложная периодическая функция практически всегда может быть представлена в виде суммы гармонических составляющих и вполне определяегся совокупностями значений А~ и ф~. Совокупность величин Ад носит название спектра амплитуд, а совокупность величин а1„— спектра фаз. Обычно под з Я словом спектр понимают спектр амплитуд.
При графическом изображении спектра принято предсгавлять ам лигуды отдельных Рис ~57 гармоник вертикальными отрезками соответствующей длины (линиями). Спектр периодической функции состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам. О, а1, со. =:-. 2со„со,, =-- = — За, и т. д. (Рис. 257), Отсюда и название липейчатый, или дискретный, спектр.
Строго говоря, дискретность спектра не является признаком периодической функции. Спектр периодической функции не только дискретный, но и гармонический, т. е. он состоит из равноотстоящих спектральных линий — гармоник, причем частоты гармоник находятся в простых кратных соотношениях. Функция, обладающая дискретным спектром из произвольно Расположенных по шкале частот спектральных линий, называется кеатапераодической (почти-периодической). Такой функцией описываются, в частности, модулированные колебания, которые будут рассмотрены далее.
Существует еще одна весьма важная форма представлеиия периодической функции рядом Фурье. В этом случае ряд Фурье записывается в комплексном виде. М. м. Мирошииков Тогда А соз(Ь)1~ 1ь,) = ~Р А" е~(~"1' — 'Ы+ ~Р Же — ~(""1' М. 2 1=1 =1 й=1 Можно убедиться, что А~ — функция, четная относительно )1, а $д — функция нечетная. Действительно, Ад = ~ а$ + Ь$; ~~~ = агс(~ (ЬЦад), но 1в Ь,= т 5иаз Май, з г 11 а„= — ~ 0 (~) соз Ьо1~ й; 2 т3 1 т.
е. Ь = — Ь а 1,=а,~, Ад — — А 1, фа= ф+~. Следовательно, й=+ в ~~А — 1 (Йи Ф вЂ” Я>1) ~ Ай ~ (й~ Ф вЂ” Е1) 1=1 Х= — 1 ~ А, соз (1шф — ф~) = 1=1 й — 1 . А=+в — А~е'(~"11 'Ф~)+ ",)' А~е'("1' '~~) й= — в 1=+1 Кроме того, так как при 11 = — О Ь =- Ь, = О; ф~'= ф, = О; 1 (Аа,1 — ф~~ Ай Е) (МЪ1 М вЂ” Ао ~~а 2 2 2 А=О Таким образом, можно найти в А=+в (l®= + ~~ А~соз(А)1~ 1~'~ 2 ~' А~е ( 1 2 1=1 А=в й=+ о — А~е ~е~е1~"11. 2 й= Для получения соответствугощего результата используем воз можность выразить отдельное гармоническое колебание как сумму двух векторов: А„соз(й 1Ю вЂ” ~,,) = — О,БА,е'('" '-еи) + О,БА,~- ('""-'Ъ).
Обозначая А~.— — АГ,е Г'1'~, найдем окончательно выражение для разложения Фурье функции ц (1) в комплексном виде: й=+оо У (1) = — ~ А~еГГ'" Г. Го — оо Так как А„= '~, п~~+ Ь~~; М$Г,= — Ь~/пГ,о Го Аи —— АГе ии=аи — 1Ь, = — 1 и Ясозы4ГИ— 2 à à — Т ) Го Гэ Г, — 1 — 1 ~/ ф ооа Ьоо1 й = — 1 О Щ (сов Ьоф — 1оопЬоф Й, Го или А = — „У(1) е — Г~'Й. Я.З. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов Периодическая функция 0 (1), определяющая прямоугольные импульсы, имеет вид, представленный на рис.
258. В промежутке от 11 = О до 1, = т функция 0 (1) = Уо, а в остальной части периода Т функция 0 (1) = О. Таким образом, можно найти ,4е аь 1 ~Ц(1),Ц 1 ~ЦЩ Га и — ~ Ц (Г) соз Ьд Г ГЦ = — Ю~ соз Ь0~1 Й = 2 Г 2 Г д=Т~ Т о 2Оо — оо (йа Й 2Ц, а$П АаР Г Т ао1'с а Т 1 з где, как н ранее, обозначено в1п АвГГ оо (/ооф Аер Ь = — ~~ У(Г) 1пМ $с11:=.— — ' 2 Г 2и, 1 —. Ьа, Т Йа х сс с х 1 со$ Гиок Т йй1т Далее, Ал =- '~ пь + Ьл =- 2~/о — — 2 ~/ -~/ в, а т 1 ч~ 1 — совйа1т от ~,а,т т к1п (М,т/2) (1 т ( /ю,~ Т й)~т/2 "Т 1, 2 1 — созйа т ПО ~„.= агс$д в1п М1т = агс ц 2 а1па (Ьо1т/2) 2 в1п Яа1ч 2) сов (Аар/2) — — агс$ц ф — ~ = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
