Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов (1977) (1095911), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Спектральная плотность функции А), е)"'" -', представляющей собой гармоническое колебание, равна +ею + ео А,е)~'" "е — )'"."' ~!х -=- А„~ е — Рн' "" )'Йх=- А,.Ь(ч — Ът ). Значит, спектральная плотность сложного периодического про- цесса определится следующим образом: йлю-) ео 1)'())) =-- — ',~' А),Ь (т — йч,). ттп — ---тю 11ри = А имеем пару членов этой суммы 0„5А„Ь (ч — ~ А ~ ч,) + 0,5Аф (ч + ~ Й ~ ч,), а при Й =- Π— один член 0,5А „Ь (ч) =- 0,5а„Ь (ч). 5 6. СВЯЗЬ МЕЖДУ СПЕКТРОМ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ ОДИНОЧНОГО ИМПУЛЬСА ТОЙ ЖЕ ФОРМЫ Амплитудный спектр периодической последовательности им.
пульсов У (х) можно представить в виде А,= — "0(х)е — Ф~"" Их. А-— — —,, Х1 В то же время спектральная плотность амплитуд одиночного импульсатой жеформы У (х) равна б(ч) = ~ 0(х)е — Р"™Йх. Следовательно, при Йч1 = т комплексная амплитуда Й-й гармоники дискретного спектра А», = — (2УХ) б (ъ), или А~ = — 1 Ау, ~ = — (2/Х) 1 б (ъ) 1. В качестве примера найдем спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов с длительностью Лх и амплитудой У~, повторяющихся с периодом Х =- 1М,. Спектральная плотность амплитуд одиночного прямоугольного импульса (см.
$5 этой главы) 0 (ъ) = (/ Лхза (пч Лх). Комплексная амплитуда Й-й гармоники дискретного спектра А~ = — ОЯ = 2ӄ— за (лЬ~,Лх). х Если процесс развивается во времени, то при длительности им- пульса т, периоде Т и частоте ~, Ад —— 2Ц~ т за(тат), что совпадает с результатом, полученным прямым расчетом в $2 этой главы. Найдем также спектр периодической последовательности иь~- пульсов косинусной формы (рис. 283), определяемой уравнением У([~) = ~созе~. Поскольку спектральная плотность коси нусного импульса с длительностью Лх и амплитудой У~ известна: я сов (2жчах~2) ( ) Ю~0 Л ( Л В (2 )Я го при сврв = 1, Ьх = ввв "вР = 1Ъ можно найти 2 сов рггг 2 (- — 1) (~ (гР) -'-' 1 4(рв ,,„, ь=-О,1,2, ... ~ Следовательно, комплексная амплитуда Й-й гармоники дискретного спектра, равная Аа — — -- (2/Х) (.р" (гр), Рис.
283. 11ериодинеская последовательность импульсов косинусиой формьр ( — — — ) и ее первая гармоника ( — ) при Х == л определяется выражением 4 (-- 1)" Ла =- — =Л, л 1 — 4ррв т. е. является действительной величиной. Спектральное разложение исходной функции У (~р) можно представить в виде рр рср = — + ~~Р А„сов ( — ойр), гс =л т. е.
1)а рр сор:-- — ', + ~~~ — ',',"„сов Рв 8 =-. рс=! 2 l 2 2 2 =- — (! -'с — сов2Π— сорос+ — совбΠ— ° ). 3 15 35 Первая гармоника (А =-1) (р', (гр) ==- (4/Зп) сов 2гр показана на рис. 283, 5 7. СПЕКТРЫ МОДУЛИРОВАННЫХ КОЛЕБАНИЙ 7Л. Вводные замечания В простейшем случае процесс модуляции заключается в изменении одного из параметров гармонического колебания — амплитуды, частоты или фазы. Пусть (У (К) = А, соз (аоХ вЂ” 'фо)- В немодулированном колебании все три параметра А „соо и 11 о посгоя нны. При модуляции они изменяются, что можно выразить путем умножения соответствующего параметра на величину 1+ тР (1), где Р (1) — модулируюи1ая функция; т — глубина модуляции, причем обычно (Р (~) ~ ~ 1; О:.= т ~ 1.
В зависимости от того, какой параметр изменяется в процессе модуляции, различают амплитудную модуляцию (А М), частотную модуляцию (ЧМ) и фазоеую модуляцию (ФМ). Если исходное периодическое колебание не является гармоническим, то процесс изменения основных параметров составляющих его импульсов (амплитуды, дЛительности, частоты повторения, фазы и т. д.) называют импульсной модуляцией. Некоторые вопросы гармонической модуляции уже были рассмотрены в ~ 2 гл. 8. Однако при разработке оптико-электронного прибора спектральный анализ приходится осуществлять не только применительно к потоку излучения, модулированному растром„ но и к электрическим сигналам, подвергающимся модуляции в процессе их преобразования в электронном тракте, поэтому далее спектры модулированных колебаний будут рассмотрены в более общем виде.
7.2. Спектр амплитудно-модулированного колебания При амплитудной модуляции и ~о = О модулированное колебание имеет вид (У(~) =- Ао $1+ тР (8)1 соз гооЕ. Если модуляция осуществляется гармоническим сигналом (гармоническая модуляция), то г (~) = соз Ы. Следовательно, 0 (Ц =- А, (1 + т соз Ы) соз соотг = = А, (соз ао1 + т соз соотг соз Ы) =- = А, (соз ь,ф + О,бт соз (ьо — 0) 1 + О,бт соз (во + Й) 11. Первое слагаемое в правой части представляет собой исходное немодулированное колебание. Его частота соо носит название несуи1ей частоты. Второе и третье слагаемые соответствуют новым гармоническим колебаниям, появляющимся вследствие модуляции- Частоты этих колебаний соо + Й и ьо — Й называются бкоеыми частотами (верхней и нижней) или спутниками.
Таким образом, амплитудно-модулированное колебание имеет даскрепгнии спектр, состоя1ций из трех спектральных линий (рнс. 284). Ширина спектра амплитудно-модулированного колебания равна удвоенной частоте модуляции 20. В случае модуляции сложным периодическим сигналом ГЯ -"=-. ',~а А„созйй1; а(1) = — А, ~! + т ~, А„сов ЙИ) сов со„в =, = Аа СОВО1ав+ 2 2~ АСОВ(с'1а А~~)~ + 2 '«~ Аа СОВ(соя-~ 111)1 1в=1 а=1 т. е. амплитудно-модулированное колебание состоит из колебания несущей частоты и двух групп колебаний, называемых боковыми 1ЮЛОСЙМИ. ~ аско, аВ С., ~С, <а 61~ Я ар авр 9 Рис. 285. Спектр амплитудно-модулн- роааннОГО колебания при мОдуляции сложным периодическим сип1алом Рис.
284. Спектр амплитудномодулироааииого колебания ири синусоидальноа модуляции Спектр модулированного колебания изображен на рис. 285. Правая боковая полоса этого спектра воспроизводит спектр модулирующей функции, а левая представляет собой зеркальное отражение правой.
В процессе модуляции происходит перенос спектра модулирующей функции — смещение его на величину со, по шкале частот. 7.3. Спектр частотно-модулированного колебания При частотной модуляции частота исходного гармонического колебания изменяется по закону са = ьа [1+ тР (~)). Если модулирующая функция представляет собой гармонический сигнал, например г" (Ц) =-- соз Ы, а глубина модуляции п1 =- Ль/соя, то со = а + Ла соз М где Ьа — амплитуда частотного отклонения, называемая девиацией частоты или просто девиацией. Пусть исходное колебание имеет вид ~У(~) = Аосоз(а~ — »])о) = Ао соыр„ при этом очевидно, что — -=- а, т. е. Й~ с ~ — » и~и =- ](в,+ Лисовым)ж ==а„!-)- д май). 0 о Последнее равенство определяет изменение полной фазы исходного колебания за время от 0 до 1, в течение которого происходит изменение частоты.
Имея это в виду, найдем с О ) о = л, сов ] и ж) = А, сов (и) + — „" ып и) =- =- А,(соз ассов (р з1п И) — з1п ао~ з1п ф за Щ], где р = Ло»И — индекс модуляции. В частном случае, когда индекс модуляции имеет малую величину, т. е. р ~~ 1; соз(р яп 01) =1; яп(р яп 01) = р яп01, можно найти ЕУ (Х) = А (соз а К вЂ” ~ яп йЕ яп а Х) =— = А, [соз ао8 — О,БР соз (а, — й) Х + 0,5Р соз (а, + Й)Е]- Если сравним полученное выражение с выражением для амплитудно-модулированного сигнала У (~) =Ао (соз ао~ +О,бган соз (ао — й) ~ ]-О,Ьй соз (ао )-й) Л, то увидим, что спектр колебания, модулированного по частоте, при малом индексе модуляции состоит, как и спектр амплитудно- модулированного колебания, из несущей частоты а, н двух боковых частот — верхней а, + й и нижней а, — й.
Единственное отличие заключается в сдвиге фазы колебания нижней боковой частоты на 180' (знак минус) относительно фазы при амплитудной модуляции. При этом индекс частотной модуляции р совпадает с глубиной амплитудной модуляции т. Ширина спектра частотно- модулированного колебания в этом случае равна 2й (рис. 286). В общем случае, т. е. при произвольном индексе модуляции, можно вычислить спектр модулированного сигнала, используя формулы из теории бесселевых функций: соз(]1з1пЖ) =4(~) +2 ~» У,„(Ясоз2аЫ; о=со з1п(~з1пЖ) =2 2.') 1 „(]3)з1п(2п+1)Ж Имея это в виду, найдем (l (Е)~А, — — 4($3) созга — У, ф) [соз (оэа — О) Š— сов (оэ, + Й) я1 + +.)'а ф) [соз (гон — 20) ~ + соя (Оа+ 20) 1)— — Уаф) [соз(со„— Зй) ~ — сок(со, + ЗИ) 4+ + Ха ф) [соз (сов — 4й) 1+ соз (~ос + 4Р) 41 — ° ° ° .=- == У, ф) соз гоф + ~ ( — 1)" У1, ф) [соз (о1 — Ж2) 1 + + ( — 1)" соз (гоо+ Аа) Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
