Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов (1977) (1095911), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Нормированный спектр этой осесимметричной функции определяется преобразованием Ганкеля и интегралом Вебера: 2л ~Ь (р) Хц (2лнр) рф Цх) =. — = Е- 1е"'~ 1'~', 2про 2и ~й (р) р йр ! 2.3. Изображение создается объентивом, качество которого ограничивается только дифракцией о 1,220 1,'635 2,233 2,679 3,238 3,699 1,0 О' 0,0175 о 0,0042 0' 0,0016 О 3,832 5,'136 7,015 8,416 10,172 11,620 В этом случае мы имеем дело с дифракционным диском Эри и нормированная функция рассеяния имеет вид Ь (р, гр) = /т (р) =- (2У, (г)/а Р, т.
е. спектр имеет вид исходной функции рассеяния — гауссоиды вращения. На частоте х, = 1/ 2/(2лр,) =- 0,225/ро спектральная плотность уменьшается в е раз по отношению к максимальному значению. Спектральная плотность падает до 0,1 при х,, = 2,146/(2хро) =- =.' 0,683/(2р ), где 2р, — диаметр пятна (на уровне 0,606 от максимального Функция рассещищ качество которого ограничивается дифракцией где г =- я (сЮ) (р1~') =., лх; д, ~' — диаметр и заднее фокусное расстояние объектива; Х вЂ” длина волны падающего излучения; х =- (дй) (И') Значения 6 (р) в максимумах и минимумах этой функции даны в табл.
18, Из таблицы видно, что радиус первого темного пятна р, =- (,22 Р/(1Щ1 = !,22Ц'Ж а~ Ю (х.т1 6 -я -Ф-Ю-я -101 2 Ю 4 к -Ж х б х а, Р Рис. 298. Дифракционная фуикция расссяиия (а) и ее спектр (б) Оптическая передаточная функция для этого случая приводится в уже упомянутой книге О'Нейла. Эта функция обладает осевой симметрией, и ее нормированное значение — ~агссоз —,— —, р 1 — ~ — ) ~ при ~х~ «.=х/р; Б (Х) — и АР «,'Р ~4Р О при ~ к ~ ~ х1'р, где х~р = — 4(Ц'). Дифракционная функция рассеяния и ее спектр — оптическая передаточная функция — представлены на рис.
298. 2.4. Пятно рассеяния имеет квадратную форму, а распределение освещенности в нем аппроксимируется произведением косинусов в и-й степени По предложению Н. С. Шестова функцию рассеяния можно представить в виде квадратной площадки, но так, что она оказывается очень близкой к функции, имеющей осевую симметрию. Соответствующее выражение для функции рассеяния в этом случае имеет вид „я х я я у д- соз соя — при ~ х ~ "к. риз ~ д ~ ~~ рет й(х )— О при 1х1~ря 191 ~ре. Видэтойфункции приу =О, и = 2ип =8 показан на рис. 299. Значения ее приведены в табл.
19. Нормирующий множитель йо можно вычислить из условия +оо Ц д(х. д) додд-1, -1. Ро 116(х, д)додд=да 1 ооо" —" — нх 1 соо" — д ид=- — Ро — робо соз" г дг = 1, таблица 19 Функция рассеяния для аппроксимации распределения освещенности произведением косинусов й(х, к) а$ к Ро ~ -1,0 00 Ы 0 02 06 10 рд Рф Рис. 299. Функция рассеяния вида 61х,у) „лх „и у — = соз" — сов — — для ~ф 2Ро 2 Ро п=2 и и=8 где новая переменная а = 1л/(2ро)1 х = 1л42ро)1 у, но до/2 л Г(п+ 11 (И) д1 СОЗ ЯНЯ ~ ~ Г ~ 2 1 1о ° о а значения гамма-функций Г (и +1) и Г (и~2+1) могут быть найдены в таблицах специальных функций.
Следовательно, из условия нормировки имеем (4/л) рф У (и) =- 1, откуда роД, = лД4Х (и)1 = 0,785/Х (и); (Рогато)а = — ля~оБ.Р (и)1 = 0,617~,Р (и). 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,0 0,976 0,904 0,804 0,654 0,500 0,346 0,206 0,095 0,024 0 1,0 0,907 0,669 0,419 0,183 0,062 0,014 1,8.10 з 8,9.10 о 3,510 д 0 Значения Х (а), рф, и (р,й,)' приведены в табл. 20. Степень осевой симметрии функции рассеяния можно оценить, рассматривая контуры ее сечений плоскостью, параллельной плоскости хОу.
Уравнение функции рассеяния в полярных координатах найдем, положив: х = Р соз ~р; д = Р з1п гя; тогда 'Р)арпа соз" ((пЛ) Кро) соз ~д соз ((пр) ( причем область существования функции соответствует значениям Р «)~2 Ро. Контур сечения функции рассеяния плоскостью, параллельной плоскости хОд и находящейся на расстоянии Н от нее, можно найти из уравнения соз" (Ф2) (Р4>о) соз г1 М ссб" Нл/2) (Р/Ре) з1п ~р1 =- Н, где Расстояние Н = Й (р, гр)/Ао выражено в относительных еди- 2 яицах.. Следовательно, радиус-вектор р для точек, лежащих на контуре сечения функции рассеяния плоскостью Н, зависит от расстояния Н, полярного угла ~р и показателя степени п, т. е. р Р (Н гр и) Осевую асям Значениа ннтегРала .7 [а) метрию контура сечения можно опенить разностью двух значений радиус-вектора Р „и Р„а„, " ~ ~"> не"е ®оа.1' т.
е. найти ЛР =Р,„— р,„йли относительную величину Ь =- = КРГР = 1 — Р,„/Р,„,. Оче- 2 О,*786 1,'О 1,'6 видно, что величийа Ь для дан- 3 0,667 1,18 1,39 ного сечения Н зависит только 4 6*689 1,33 1,78 6 0,634 1,47 2,16 от п, т. е. Ь =Ьн(п). 6 0,491 1,6 2,66 На рис. 300 сплошной ли- 7 0,468 1 71 2,94 нией показан контур одного из 8 О 429 1 83 3.36 сечений функции с осевой асим- 9 о 467 метрией.
Так как р,„соответ- 10 6,386 ' 2,03 4,14 ствует значениям йолярного Угла О, 90, 180, 270, 360' и т. д. (на осях х и у), а Р,„— углам 45> 135, 225, 315' и т. д. (на биссектрисах координатных углов), то можно записать следующие выражения: й (Рн„,-„, 0)йо~ =- Н = соз" Ил~2) (Р;„/Ро)1; 11 (р,„„„, 45 )Йо =-.
Н =-- соз "((л/2) (Р„,,„/Ро) ()/2/2) 1. Обозначив ваап = (ФД) (рпапй~о)~ апих = (пФ) (РпихФо) Ь В2). найдем соз" а~,„= — соУ" г .„==- Н, откуда г„„„=агссозН "; г „=агссозН ~""~. Так как р,„,„= (2~а) ранг„,„; р „. = (2)/ 2/и) р(а то Вгссок (Н ~~" Ьи(п) = — 1 — — '" =1 — 0,707 ~" =1 — 0707 со Для а = 1 —:10, Н =0,1 и Н = 0,9 соответствующие значения б~ (и) представлены 4'"~г~ Р .У=~ в табл. 21. х Из таблицы, следует что осевая асимметрия умень- ' Р .~ шается с ростом показателя ~и~ У ъ! ° Ф Рм4У степени п и высоты сечения Н.
Значит, отступление от осевой симметрии существенр р.,р~ ' '. ' .', 1„я~' но только в такой области, на которую приходится лишь небольшая часть энергии иза -.д лучения. При п=2 относи- тельная осевая асимметрия Ри,. Зое Ос „„„„м„„рия,,1, „„„„„даже на УРовне 0,1 не пРевы~т х „и у Оптическую передаточную Х вЂ” — сов 2 г>р 2 р<, функцию для рассматриваемой аппроксимации можно найти, пользуясь тем, что переменные х и у в функции Ь (х, у) разделены и, следовательно, ее спектр равен произведению соответствующих одномерных спектров +ЮФ Й(т, р) = — Й (ч) Й(р) ==Цй(х, р) е — ~ ("*~~ИЛхдд= +Рю +Рв Ро 2 ~)р учитывая возможность перехода к косинус-преобразованию Фурье, найдем: + Ро 11 (Р) =- пе „~ сози — ~ соз 2тгчх дх; 2 ра Ро + Ро о4о=~ 1 ооо — о соо2ооуйу, 2 ра где коэффициент Ь, определяется из рассмотренного выше условия нормировки: : л, -- и~Я,Я(п)1 Полученные интегралы могут быть вычислены, так как входящий в них соз" г можно представить в виде суммы сов" г = — созе+ Таблица 21 Коэффициенты относительной асимметрии контура сечения функции рассеяния + Ь СО3 о г З(П г+ и--4 .
4 Еаои 14 + Си сов" ' г 81п г +- где ф— биномиальные коэффициенты. Для и =-2 соответствующие расчеты уже были выполнены при определении спектра косинус-квадратного импульса. В этом случае найдем: н=О1Н=ОЭ 3,2 25 2„3 2,2 2,1 0,16 0,14 0,12 о',и О,'1О 18,8 0„87 9,4 0,48 0',3 О З1 4,8 0,24 3,8 0,19 аа (2лрра) (Р) ПРРР 1 (2 )о эа (2лърэ) ' э Так как при а = 2 й р, = 1, окончательно получим аа (2нчрн) эа (2нррэ) 1 — (урн)н 1 — (2рр )э" Сечение спектра можно видеть на рис. 281, учитывая, что на этом рисунке й (Р, р) =- д (Р), Лх = 2р . Наименьшая частота, при которой оптическая передаточная функция Б (м, р) обращается в нуль, равна 1~р .
2.б. ЧНХ оптической системы Выполним расчет частотно-контрастной характеристики опти"еской системы в виде зависимости коэффициента передачи кон~р~ста от числа штрихов на единицу длины (пространственной частоты) тестовых мир. Контраст на входе (по яркости в плоскости предметов) ~,-=(В х — В.,а)~(В „+В.,„). Контраст на выходе (по освещенности в плоскости изображений) Ав =- (Е„,„— Е,„„ЯЕ „+ Е „,).
Следовательно, коэффициент передачи контраста, являющийся функцией пространственной частоты (число штрихов на единицу длины) ч, равен й ('~) = Ае/йв. Так как штрихи миры вытянуты по одной нз осей, то ЧКХ получается фактически одномерной. Ее можно получить раздельно для двух взаимно перпендикулярных осей, однако последующее вычисление двумерной ЧКХ из двух одномерных возможно только при условии разделения переменных в функ- Рис. ЗН. Произвольное расположение синусоидальпой миры относительно осей координат х0у Рис. 302. Распределение иркости синусоидальиой миры и освещенности в ее изо- бражении ции рассеяния исследуемого объектива.
Имея это в виду, рассмотрим действие на оптическую систему с функцией рассеяния Й (х, д) синусоидальной миры, расположенной в предметной плоскости так, что ее штрихи перпендикулярны оси х. Случай произвольного расположения миры, когда ее штрихи перпендикулярны оси х', повернутой относительно оси х на угол О (рис. 301), будет рассмотрен отдельно. Если яркость фона в плоскости предметов равна В , а модуляция ее синусоидальной мирой равна ЛВ (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
