Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов (1977) (1095911), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Фаза несу'в~й частоты равновероятна в интервале от — л до +и. Плотность вероятности "'абающсй определяется распределением Релея, а спектр огибающей примы- ~",'™ нулевой частоте. Эта огибающая мокнет быть выделена иа нагрузке ли'нн""го нлн квадрагичного детектора. Полученное соотношение устанавливает связь функции распреде. ления с плотностью распределения вероятностей сс чения случай ной функции. Очевидны также следующие соотношения: е ) — )г(с) ) = — Р(() > и ~ =--.- 1 Ми)г((); ~.~е +не г г~ и,,1 г ( — и,1 == г ~ — и, «и «г иа = ) ~ д аи.
се Последнее соотношение, определяющее вероятность того, что сечение случайной функции ~l (у) для аргумента т, равное (/, а) 26 о~ $о 10 Ю(ге) 0 -,)-г-~ о ~ г г г, а) о,б О5 ф~ у)(г) О5 ог ою о ~ г 5 г Рис. 311. Плотности распределения вероятностей (а) и функции распределения пер» я (о) д.чя ор ного (У) и релееиского (П) никонов распределения нерояп~остей случайных функций 5Нга) будет находиться в пределах от — (l, до +~/„т. е. по абсолютному значению не превзойдет уровня У„представляет наибольший интерес.
Действительно, для нормальиого закона, когда ф (г) — четная функция, найдем 2д 2е Р ( — г, < г < г,~ == 2 ) ~ (г) пг =- = ~ е ' ~~ дг, о ~~ о где г = (У вЂ” (7)/а. Полученное выражение, называемое интегралом вероятности Гаусса, табулировано. Значение интеграла вероятности 2е Ф(г) -- =) е дг 2 Г 22Уг -о приведено в виде кривой па рис. 277. иногда интегралом вероятности называют функцию г~ ег1 (~„) .= = ~ е ' дг = — Ф (): 2г„). 1' ~ о 'Гак как в общем случае можно записать Р 6У -- Г (и ) =- Р т < и иД -= !Ф (и) гю, то при (/1 = — 0 Р (У1) ==-Р (О).
Если ф((l) -=ф ( — (/), когда Р (О):. 1/2, найдем Р (О. ) — 0,5: - — — ~ а$' (Б) ЛУ. Следовательно, учитывая, что для нормального закона 1 'ф(г) 01~ .=-= 0,5Ф(г„), нолучим 0,5Ф (г„) .=' Р (г,) — Р (0) : Р ( ,) 0,5. Функция распределения вероятностей, определяющая вероятность того, что сечение случайной функции не превзойдет значепия г„, равна Р (го) =- 0,5 (1 + Ф (~о) )- Вид этой функции для нормального и релеевского законов распределения представлен на рис. 311 Часто наиболее доступными и достаточными для описания вероятностных характеристик случайных функций являются их числовые аарсиистры или так называемые ло.ивыты распределвыия— лмтеяатическое ожидание, дисперсия и корреляиионнвя 4уыкцпя.
5 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИД4НИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ Математическое ожидание случайной функции 1/ (у) представляет собой некоторую среднюю (неслучайную) функцию, вокруг которой различным образом располагаются конкретные реализации случайной функции. При каждом значении аргумента средняя функция равна среднему значению (математическому ожиданию) соответствующего сечения случайной функции.
Средыее значение сечения случайной функции (среднее зпа"еиие случайной величины) О равно сумме нризведений всех возможных значений случайной величины (сечения случайной функции) на вероятность этих значений, т. е. для непрерывной случайной величины Математическое ожидание случайной функции можно найти, вычисляя О для различных значений аргумента т. Для стационарных случайных функций, определение которых будет дано ниже, математическое ожидание, вычисленное по мно- жеству реализаций (апсамблю), есть просто число, которое назы- вают средним по ансамблю, в этом случае О .=-: сопзг. При экспериментальных исследованиях вероятностных ха- рактеристик шума обычно используется другой способ усредне- ния — усреднение по аргументу т. Среднее по аргументу равно +х ~/„„, ==1|ш 2, ~ (/(у)дт, "Р' х 2Х х где У (т) — одна из реализаций случайной функции, заданная в интервале Х; 2Х вЂ” достаточно большой интервал, который теоретически стремится к бесконечности, а практически величина его столь велика, что результаты измерений существенно не отличаются от результатов, полученных внутри еще большего интервала.
В общем случае среднее значение для каждой реализации будет свое и может значительно отличаться от математического ожидания случайной функп,ии, вычисленного как среднее из множества реализаций. Однако для особого класса случайных функций, получивших название зргодических, среднее по аргументу на достаточно большом участке наблюдения с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, равно среднему но множеству наблюдений ~7 =- У,„„, 5 4. ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ФУННЦИИ ,Цисаерсия случайной функции ~l (т) представляет собой некоторую неслучайную функцию, значение которой для каждого Х равно дисперсии сечения случайной функции. Дисперсией сечения случайной функции (дисперсией случайной величины) ЙР называется среднее значение квадрата отклонении случайной величины от ее среднего значения +со Йl' -= (е/ — (7)' =- ~ (Π— З)-'~ (У) лl Дисперсию случайной функции можно найти, вычисляя И' ~~э для различных у.
430 Так как то при О.=О Величина 1' И/~ называется среднеквадратическим отклонением (значением) случайной величины — сечения случайной функции. Для стационарной случайной функции дисперсия, вычисленная по множеству реализаций, постоянна, т. е. является просто числом, которое принято называть дисперсией по ансамблю, в этом случае Й/' ==:= сопз$. Дисперсия случайной функции может также вычисляться как среднее по аргументу у, -) х — 1 Г ~~4 -„п1" 2); 3 К)(Х) — Й' )Х. В случае эргодической случайной функции дисперсии, вычисленные как среднее по аргументу и по ансамблю, совпадают; Иl~ ==- ЛИ„„.
Для нормального закона распределения среднеквадратическим значением является стандартное отклонение о, а дисперсией -- а~. Действителыю, в этом случае имеем +ею +со Л(I-'-:= ~ ((/ — (.))'-~ (С) Л/ =-= ~ ((/ — Г/)'е — ("' — "')'д' ") Л3. г' ~то' Если г:-- (~l — — Г/)/а, то +~ — Г =р,~ 2Г ('Ч2) 'г' 2л 2 (О,Б) а' )/ а/2 )/(2 $~ 2) ГИп+ ))/21 ге Ф~ — =— 2 а1)п)2 1 гамма-функция р!(а +1)/2) при и =:= 2 равна $' л/2.
431 Для распределения Релея можно найти: (/ = — 1 л./2о~, - — — 1,253ал,. Иl' =-- [2 — (д/2)1 ау, ===. 0,429о~,. й 5. НОРРЕЛЯЦИОННАЯ ВУНКЦИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Математическое ожидание и дисперсия не дают достаточно полного представления о случайной функции. Две случайные функции могут иметь одинаковые среднее значение и дисперсию, но быть совершенно различными по характеру их изменения во времени. Рассмотрим два соседних сечения случайной функции, т. е. две случайные величины У, == 0 (т,) и У, ---- У (т,).
При близких значениях т, и т, величины (l, и (/, связаны тесной зависимостью: если величина У, приняла какое-то значение, то величина Сl, с большой вероятностью примет значение, близкое к нему. При увеличении же интервала между сечениями 1~, и т~ зависимость между У, н У, должна ослабевать. Степень зависимости случайных величин О, и У, может быть охарактеризована некоторой функцией двух аргументов у, и т~ — корреляционной функцией, которая определяется как математическое ожидание произведения двух цептрированных случайных величин О,— (7, и У~-"(7~ Вместо корреляционной функции пользуются также коэффициентом корреляции ги (у ° Ь) =-- Ф вЂ” ~~ ) ((~2 — (~') 1 Ф ((~ — (7~)'((~я — ~~.)". Если ~ го~ =-- 1, то говорят о полной корреляции (полной взаимозависимости) случайных величин. Это имеет место, в частности, когда т,, =- т,, === 1~, т.
е. О, ---= (/, =- К так как в этом случае корреляционная функция равна дисперсии Гели коэффициент корреляции равен нулю, то случайные величины иекоррелированы, т. е. полностью независимы друг от друга. Если О < ~го~ < 1, имеет место частичная корреляция. Для стационарного случайного цроцесса корреляционная функция не зависит оттого, где имешю на оси 1~ (временн или )~ас- стояния) располагаются два рассматриваемых сечения ~/ (Х,) и (/ (у ), а зависят только от величины разности ЛХ) =-- ~Х., -- Х) ~. В этом случае ~о(Х, Хя) -= ~и(ЛХ). Для эргодического случайного процесса функция корреляции может быть вычислена как среднее по аргументу +х к.)лх) =-к...(лд=-)) — „' ) ))))х)-т)1))))х )-лх) — г)! )ь х„„~~ В ряде случаев рассматривается фу)чкция взаимной корреляции двух случайных эргодических процессов Е/ (Х) и )' (Х).
Эта функция характеризует статистическую связь этих процессов и определяется выражением К ))))) = )~о(Х+ЛХ)=))и1 —,„) а)))~)у-)-Л))"Х. 1 х., т х Здесь и (Х) .= — Б (Х) — (/ (Х); о (Х + ЛХ) = $'(Х вЂ”,'- ЛХ) — $' (Х + ЛХ), где ~l (Х), 1' (Х + ЛХ) -- сечения соответствующих случайных функций при значениях аргумента Х и Х + ЛХ.
При (I (Х) = $) (Х) функция взаимной корреляции переходит в функцию корреляции, илн, как ее часто называют, в функцию автокорреляции, показывающую, насколько быстро уменьшается зависимость значений случайной функции от ее предыдущего хода. Максимальное абсолютное значение функции корреляции не может превы)пать дисперсии, т. е. ее значения при ЛХ = О. Функпия взаимной корреляции в отличие от функции корреляции может ие обладать свойством четности ~и)~ (Х) Киг ( Х).
Лля независимых случайных процессов функция взаимной корреляции обращается в нуль. В связи с завершением рассмотрения трех основных числовых характеристик случайных функций (среднего значения, дисперсии и корреляционной функции) остановимся на определении стационарного и эргодического процессов.
Случайная функции.называется стационарной в узком смысле илн строго стационарной, если все ее и-мерные законы распред~ления не зависят от начала отсчета (времени, пространственной координаты и т. д.). Случайная функция называется стационарной в широкол~ ели~еле, еслп ее среднее значение и дисперсия не зависят от аргумента (временп, пространственной координаты и т.
д.), а функция к'Ч)реляции зависит только от разности аргументов (12 — 1,; )"~ --х, и т. д.). Эти условия полностью выполняются и для функции стационарной в узком смысле, так как из стационар- ности в узком смысле следует стационарность в широком смысле, но не наоборот. Случайная функция называется аргодической, если ее среднее значение, дисперсия и корреляционная функция, вычисленные по нескольким реализациям (средние статистические или средние по ансамблю), совпадают со средними значениями, вычисленными для одной реализации при достаточно большом значении временного или пространственного интервала усреднения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
