Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Система уравнений (Ч1.164) — (Ч1.166) выписана применительно к одному атому. Для нахождения соответствующих уравнений для системы атомов необходимо просуммировать уравнения для Гч н Л,: для всех атоьюв, находящихся в объеме Ч. Суммирование ведется по бесконечно малому по сравнению с йй фпзическому объему 16 Соответствующая система уравнений имеет вид, аналогичный выписанным 242 выше уравнениям, и которых р, и Лс нужно заменить на р ее = пера и Л вЂ”.= Лглй где ла — плотное!ь активных атомов, Отметим, что переход к уравнениям балапсного типа соот ветствует пренебрежению иепом дрчгд1 в уравнении (Ч!.16о).
Однако получавшиеся при этом уравнения будут в отличие от уравнений гл. Ч учитывать эффект интерферен. ции прямой и обратной волн. Уравнения (Ч1.!63), (Ч1.16о) (Ч!.166) в том случае, когда всеми производными по времени можно пренебречь, допускают простые решения, которые рассмотрим ниже, Стационарный режим. !зассмотрим одномодовый стационарный режим. Из уравнения (Ч1.166) имеем !А;е ' '1М~ ( — Ь)+А,*е'"' М; (Ь)1.
Ьс — — се 2 (Ч1. 167) Подставим полученное выражение в формулу (Ч1.166) Ь~-: (1Гм — — ) к ! 2Г ый ййе й -й Х (Ьйр+ — +, .!А~е йл17 ! — Ь)-! 21йе ' 'М*,(Ь? !й) Ьйсй ( з ей) (Ч1.168) Уравнения для векторного потенциала после использования формул (Ч1.167) и (Ч1.168) примут вид д.4й 2л * мЬс( —, ! се) ва дАй дх Г ойас — + ге ( ) М ~ б (г — г;)[А,е"е" Мй ( — /г) йИй (Ь)+ АЬ1сИ1(/г) !й)Л,. (Ч1.170) : 'Перейдем к непрерывному распределению атомов. Заменяя ':суммирование по индексам атомов иа интегрирование ! 6е 243 с: Х «'б(г — г)(лй!Мй( — Ь?!й+ Аее йы"'М1(Ь)М;( — Ь))Л„ ! (Ч1. 169) где 2лг ! ~2! ( — д! !г ! "" йесм( — ', ее) (И.178) !е ~ ( дА, ),|х о (У|.
172) (У|.173) е. (У1.176) 245 Пгг 244 по непрерывной переменной и предполагая, что матричный элемент М, (й) от индекса ! не зависит, вместо уравнения (У |. 170) получим следующее выражение: — —."- = — =,'„- — и, (г) (А!ее '244*( — й) М (!г) -; еевс( —,, ч-ге) + Л,! М(й) ; '|Л(х), (У!.17!) и, (г) — плотность активных атомов, в точке г. Аналогичное уравнение получается для амплитуды А,. Произведем теперь усреднение полученного выражения (У1.171) по пространственному периоду волны. Для этого необходимо вычислить интеграл Введем переменную интегрирования гжг дг г=--е- ., а!(х — — —,. 2!ге Контуром интегрирования будет служить окружность единичного радиуса. Интеграл (У1.172) преобразуется к виду ! Г)( ддг) дг Вычигление интеграла (У1.174) сводится к вычислению интеграла следующего типа: а аг, с —.— —,— '— '- —.— с(г =:- 2л!Х гсз =- Сг-'; Вгг", 0" .
и ( -.— р''осе е ! ~ 7г р — с)+ я =- ч- л! — =-'='- — ' — — ',— — — . (Л,17о) г!(Сг:! ! г! 12)г'г Верхний знак берется при ! С ! ~ 2! 0 !. Полюса находят ся в точках — С-'.- )гС вЂ” ~;В,г гп 2 =- 2|! Один из корней (г, при ! с ! ) 210 ! или аг при ! с ! = -" 21Р !) находится внутри, другой — вне круга единичного радиуса. Используя (Ч1.175) для усреднения выражения (У1.17!), получим окончательно д.тг --- — 2-и (1Г:, — — ) х с( з оэя - -- )-- ( У,г-! —.! 2о17, + 2огтг)е — !бо,ог/,:72 1 ',! ((г!г ' ')" ! Фйг.!- — +2о,Г1 ! 2ог./2 1— (!им-! — +2оеа! !-2огР2) — |бо~огР!72 ~ 2 ('У!.
177) Величина о, отлпча<:гся от о., заменой М ( — й) па М ()г). Уравнение для — — отличается от уравнения (У!.1?7) дд'1 дг только знаком. В указанные уравнения по аналоп!н с формулой (У|.56) легко также ввести члены, описывающие псрезонансные потери 8,/2,2 В следующей главе эти уравнения будут исследованы в дппольном приближении (а, == с 2) применительно к трехуровневым и четырехуровневым системам. Нестационарный режим [324!. Чтобы получить уравнения генератора в пестациопарном режиме, перейдем сначала к непрерывному распределенй!о атомов й в уравнениях (У1.164) — (У1.166). Тогда с учетом иерезойансного поглощения получим ='' + — — '', А =: — 'М( — й) с !""!>, дг ' с д! ' 2 ' о) — — — 2.1.
— — " '+ Аг:-:. — М ('!г) е-ег"р, (И,!79) длг , ! е!Аг , й 2л! дг с д! 2 2 — — + !ер 4 —, р=-- — — ( Л емгМ' ( — й) -',— А»е ех"'~И'(й) 1, (У|.! 80) дг ' Л ((Р'гз+ — ) по ((р'гз — — ) =-- дЛ ! ! .= — ! — ~ АгегзхгЦо ( !г) „! 4 е.-гззМо (й) ) ас — Аое 1"хм( — /г) ! Аое-ихМ(й) ~ ('Ъг!. 181) Черта означает усреднение по пространственному периоду волны.
Хотя мы рассматриваем нестацнонарный режим, тем не менее в реальных генераторах на твердом теле для тока перехода можно воспользоваться приближением (Ъ'1.167). Такое приближение оправдано, когда времена релаксации много меныие характерных времен генерации. В этом случае в уравнении (Ъ'1. 180) производной др,'д! можно пренебречь по сравнению с Грг2. Подставим это значенне тока перехода в (Ъг!.179) и (Ъг!.181) — — — -1- — А, .-.--- ' --- М( — Ф) >. д41, ! дА, р 2п ггх ' с дг 2 '''„(,, Г-) ,. е-ЙхЛ !!А егохмнк( й) ! А„г,— 11 хГМо(гг)! (Ъг!.182) дЛз, ! дЛз Р 2н дх с дг 2 " ( Г) Н е'охЛ(А, е'" й1'( — й) -1- А.е-гохм" ()г)1, дг 'Л(!х11', — ) ло()'гз-- —.):— — — —;„— ! Агегохм" ( — гг) -, :Азе гзхм (й7!з.
Взсз (ез, — ! 4 ) (Ъг), ! 88) Чтобы произвести указанное в (Ъг!.182) усреднение, удобно представить Л в следующем виде: Л =:= ~, Л,ез"1" (И.184) где Л„ — медленно меняющиеся по сравнению с экспонентами функцнн х. Конкретный внд козффнцнентов разложенпя будет дан ниже.
Е!одставляя (Ъ'!.!84) в (Ъг1.182) после усреднения по пространственному периоду волны, получим дА, !д.4,, й дх с дг Ч 2' 2™( — '! 1'м ( й)л,л,., м (й)л,А ~, Г ! Вгос !11е+ .-) (Ъ11.185) .= р — — 1-1- — А, =- длз ! дЛз б дх ' с дг ' 2 , Г ~м" (й) Л,Аз+ м" ( — й) Л- А11 а ( ' — ) Введем нормированные потенциалы,гг1, ,/ 2яас и обозначим Л!( — й)М*(й):=:! М( — й) $!М'(!г)! еге, (Ъг1.187) ,с где ф — разность фаз матричных элементов. :.,з Учитывая также определенне поперечников (Ъ11, )", Ъгг !78в преобразуем уравнения (Ъг1.183), (Ъ'1.185) к виду д.хг1 1 ! д.~61 р х — - —; — — ' — + — ся 1:-= дх ' с дг 2" — — 1' —, агйо,огз+ 1 азазе Л1"'1'з ) !2 !'/1 (Ъг!.188) ' '-+ — — '+ — Аз == д,42 ! доФз Р дх с дг 2 !2 Г/1 1~ а,Ло.ого+1/ а,оз е Л-1 да Л ())ггз-!.
— ) — по()о'гз — — ) .= Л (2а1'71" дг + +2~/а1аз( 1 зе г °;*ос 1ге-зохг„~. 1 ы'ое-гго-зохг)). (Ъ 1. ! 89) 1 1 247 Уравнение (У1. !89) формально может быть разрешено относительно Л; Л =- Л (О, х) у (Л х) ех р ( — 4 ~' а»а2 ! г («, х) ! сох(ф+ а гд г(Л х)— — 2йх!) -! пэ ( йг!2 — —,) у (Г, х) >! ! ! »и' М 1, ехр( — 4 "К" а»аг!г(«, х)— .) — г(«', х)/соз!фй агй(г(Л х)-- г(«', х)) — 2«гх!).
(Ъ'!.!90) Здесь использованы следующие обозначения: у(Л х) ехр — (йг!2 ! — ) « — 2 !а„у»(«',.к) 1- -, а,,у,(«х)1««г), с г(«, х) = ~ «,*(«', х),-. 2(«', х)»1«'. Для определения коэффициентов Л„в разложении (Ъ'1, !84) воспользуемся известной формулой ехр ( -- г соз »р):.- ~' ( — 1) "«„(г) с-!»'г. »»=* —. Учитывая это разложение, из (!»1, !90) легко получить выражения для Л, и Л », Используя эти выражения и вво- дя обозначения Л~! =- еь»тЛэ», получим систему основ- ных уравнений генератора нестацпонарного режима: М», ! д'Г! Р дх с ду 2" =: ( —,— 2-,—,) (а»Ло.««»+)» а»а2Л»М2)., (У!.19!) д,:22 ! д62 " + "»«2 дх г г д«- = (гд»- — !' — „) (агЛэ,к»2+ !» а,агЛ',.4,), Лэ-— - Л(0, х) у(«, л) 72 (4')» а!аг!г(«, х) )! с ! л, Г ~!!' +и, ()2»»2 — — ) у(Л х) ! —,— — «с т « ' ' ! у (!'.
к) й Х «2)4 !» а»аг ! г (2, х) -- г (г' х) !) . (Ж 192) 248 Л', . — Л (О, л) у(Г, х) $! )4 )' »г,аэ ( г («, х) )~ и ! ! и ехр(г натиг(«, х)) — и, ((г'»2 — — ) у(г, х) к — «! ( 4 )»' а,»г, ! г («, х) — г («', х) (1 х 'О )к ехр(Я- агй!г(«, х) — г(г', х)1). (Ч!.198) '';. Эти уравнения в отличие от уравнений баланса явно учи',: тывают эффекты когсрентпости волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
