Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Будем считать, что лазерное излучение генерируется в цилиндрическом образце длиной 1, расположенном вдоль направления оси х. Коэфф»»ц»»ент отражения от правого торца обозначим через «(левый торец для простоты считаем полностью отражакхцнм). Тогда граничные условия запишутся в следующем виде У» (О, ») .—,Уз (О, 1), Уз (1, ») =-: «7» (1, 1), (~1 ! 55) причем интенсивность выражается через векторный потен- циал по известной формуле Необходимо задать также условия для полного изменения фазы волны при ее прохождении через резонатор, отражении от торцов резонатора и возвращении в исходную точку. Необходимо учесть, что при отражении от менее плотной среды происходит потеря полуволны, при отражении от более плотной среды изменение фазы не происходит.

Полное изменение фазы должно быть равно 2пт, где т — целое число. Под действием потенциала (»«1. 149) атомы вещества будут совершать переходы между двумя состояниями. Рассмотрим атомы с двумя уровнями энергии. Предлоложнм, что разность энергий близка к частоте ы рассматриваемых волн, т. е, выполняется неравенство Рассматривая конкретный двухуровневый атом, допустим, что его волновая функция является суперпозицией двух состояний, причем волновые функции нижнего и верхнего состояний соответственно определяются выражениями 0~1 Ч", =-Ч"„(г)е ям т,.:,- Ч',(г) е Функции Ч', и Ч', ортонормпрованы. Волновая функция атома под действием внешнего электромагнитного поля принимает вид ! ==- а~ (Г) ! в (Г), аз(Г) Ч г (Г) где а, (г) и ая (Г) определяются из уравнения ((!редннгера для атома в поле волны с потенциалом А И вЂ”:--: (Н . р Н') Ч", Взаимодействие электрона с волной запишется в виде Тогда уравнение Шредингера для амплитуд а~ (!) и а, (г) примет вид —.--=-а, —,—,', е-гм[Л7е ":*М( — й) [-Лаосы"М(й)), (У!.154) е;м [Л еыхМэ ( й) Л -мхМе (й)[ Здесь х — проекция на ось х координаты 1-го атома (по координате электрона г, в атоме мы проинтегрировали).

В правых частях уравнения оставлены только резонансные члены. Через М (~ й) обозначена проекция матричного элемента на направление поляризации. Как и в предыдущих параграфах, будем в дальнейшем предполагать, что направление М одинаково для всех атомов, й) ' — 1 '[ . (Ч!ОузЧ 20) "т .,[" [ аа + — го[а (Ч'[зЧгз)~ е-"'"' Л', (У[.155) Матричный элемент М (й) отличается от матричного элемента М ( — й) знаком в экспоненте е "'" . Матричный элемент М ( — й) в предыдуших параграфах обозначался через М [см. (У[. 15) [. Из (У[.

!54) легко получаются следующие ' гЗ6 соотношения: д[1., [ -.-[.,[з[; д1 — (аза,),.—.-. [[а.[' — [а,,"[; ~,', х х е-''" [Л;е '""М ( — Й) -'- Л$ем"'М (Й)], (У!.156) д [[аа[з — [а~Я; э 1,;м ди-. (а,а,),, е [Л,е 'г[ ( я) г Т [- Л„е ь 'М; [й)) — (аза!)> -„- е-"' [Л[е Мр ( — й), --;- ЛЯем'"'й[; (й) [. (У!.157) Величины [а, ~'„[а, [[, (а,'а,)„(а,а",); подлежат определению. Индекс ! показывает, что значения этих функций различны для различных атомов. Очевидно также, что и матричный элемент может зависеть от индекса атома. Добавим к уравнениям (Ъ'!.

156) и (У[, 157) уравнения Максвелла для векторного потенциала А [хгэ — —,—,, ) А (г, Г) —. --- — "-1 — — ') 1;,, (У[.158) где !ы =- !['„'и -,'- ![; " — ток перехода, образованный электроном [-го атома при его переходах между уровнями ."":Ф:-:"::. 1 ~ 2. ",,,;1::. Ток перехода, образованный электроном, находящимся в [-м атоме прн переходе 2- 1 согласно известной формуле квантовой механики равен чь — ' — го[ ('1',"рЧ'з„) (аяа,"); е "'У .

(У!.159) '~-":Ф-': Мы отбросилн ччен — — АЧ",'Ч'~ в выражении для тока, ... яй жс ::,'!4'': так как он пе имеет резонансного характера. Вдальненшем векторные знаки будем опускать. Умножим полученное уравнение сначала на е'"', затем на е-'а' и проинтегрируем по промежуткам времени, значи тельно превосходящим период волны.

Тогда уравнения для Л, и Лз отделяются от уравнений для соответств)чощих 239 комплексио-сопряженных величин. В результате получаем (У1. 160) с Рассмотрим микроскопическое уравнение (71.160). Будем предполагать атомы точечными. Для этого иеобходимо уравнение (У1. 160) проинтегрировать по электронной переменной и устремить объем атома к нулю. Чтобы учесть взаимодействие всех мультипольиостей, необходимо проинтегрировать ток !)",о по 1-му атому, предварительно умножив его иа еэм", причем координата электроиа отсчитывается от центра ядра (х =- х; + х;е): + ~сД/ =М;(ч- й)еег""г(ага,*);е '"о' (У1.161) Таким образом, плотность тока перехода Ого атома будет равна 1!г*пб (г — гг) (без множителя ехр (~ !йхг)!). 1!росуммируем !!"и по всем атомам и представим ток в виде ! иь " = ~" ! г~' "б (г — гг) =.

=- 1 М, (ч- й) е~'""~б(г — гг) (ага,*)ге '"о' (71.162) Умножим (71. 160) вначале иа е-", затем на е'"', проинтегрируем по координатам электронов и устремим объем атомов к нулю, Для разделения уравнения на два усредним правую и левую части по пространственному периоду волны.

Воспользовавшись выражениями (71.162), получим д,'+-; д,' = —,'",' Х ~г ( — ) е " ' (г — г:) (~г~;)г е-'"', длг ! дЛ~ 2лт — — + — —:=: — . М; (й) е гб (г — гг) (ага') е-'" . дАг ! дАг 2гы хп о дк с дг со г $ (71. 163) 240 ь!ерта означает усреднение по пространственному периоду. При усреднеиии принималось, что амплитуды Л, и Л, настолько медленно меияются на длине волны, что их можно считать постоянными и выносить за знак интегралов. Уравнения (71.!56), (У!.!57), (У1.!63) составляют необходимую систему уравнении одномерного генератора без учета взаимодействия фотонов и атомов с окружающей средой. Для получения полных уравнений необходимо добавить также члены, характеризуюгцие релаксацию системы, накачку, споитаниые потери и поглощение квантов. Для этого к левой части уравнений (У1.156) добавим слагаемые типа Г (а," а,), которые будут учитывать релаксацию тока перехода.

Здесь необходимо перейти к описаиию системы с помощью матрицы плотности. Действительно, введение релаксации есть учет взаимодействии атомов с внешней средой (например, с решеткой). 1!ри этом, поскольку систему атомов уже нельзя описывать волновой функцией (так как только полная система атом -,' среда обладает вогпювой функцией), необходимо перейти от амплитуд а, и аг к опие!', саиию атома с помощью матрицы плотности. При таком переходе величины типа а,а,' уже нельзя представить как произведение двух амплитуд, а необходимо записывать в виде элемента матрицы, например, а,а,.' — е- рои Учтем релаксацию инверсной васелеииости. Известно, что инверсная населенность изменяется за счет спонтанных процессов (в рубиновом генераторе время релаксации порядка !О сгк), которые могут происходить и при участии решетки, так как часть энерпш при этом может быть передана решетке. Член, характеризующий измеиеиие Л за счет спонтанного ихчучсиия и всех возможпых других процессов, приводяьцих к обеднению всряшго рабочего уровня, можно записать в виде ! аг !г,'т, где ! пг !' пропорциоиальио числу активных атомов па верхнем уровне, а т — константа, определяющая скорость распада системы.

Кроме процессов релаксации пеобходимо учесть также воздействие накачки. Действительно, непрерывный режим генерации ~ф!:":„;: невозможен, если нс будут компенсироваться потери кван- Ф.':..'-: тов, например, за счет спонтанных процессов или за счет выхода излучения из геператора илп его поглощения. Член, описывающий влияние накачки, выразим в виде рг! а, !'- 1Г,гпе Изменение ииверсиой населенности за счет иакачки, естественно (в трехуровневой системе), про 24! го -ог| порционально числу невозбужденных атомов л, и интенсивности накачки Ж'йе. 7(ы принимаем, что внешняя накачка переводит атомы с уровня ! на уровень 8, откуда они мгновенно переходят на уровень 2, В случае других механизмов накачки и других систем член, описывающий изменение Л за счет накачки, принимает иной вид, однако физическая сторона рассмотренных ниже вопросов остается той же, Необходимо отметить, что обычно в твердых активных элементах накачка осуществляется с помощью газоразрядиой лампы, имеющей непрерывный спектр, Ясно, что возможны всякого рода другие процессы, изменяющие инверсную населенность (например, изменение числа атомов на верхнем рабочем уровне за счет их переброса на другие уровни и т.

д.), К сожалению, все эти эффекты зависят от конкретного строения атомов активного элемента и не могут быть учтены универсальным методом. Учитывая изложенное, получим следующую систему уравнений: — '+ — — '-= — "' ~ Мй(-Ь) е '"'"йб(г — гй) Ро — а.х-+ —,с 'дс-'= ',— '"„' ~ (Ь)"" б(.—.,), (Ч!.!64) дгй, Ес à — — 1ер + — р; =::- дг '' 2 =-с'-„— ',(Л;е '"'М;( — Ь) ! Л,*,е'й"М,(Ь)1, (Ч1.166) дг + 1( сй+ )+( 'е) Ь ,'— (А,ей"й М,". ( — Ь) + Л,е '"' сИс (Ь)!в — — ',1," 1Л,"е """ййИ; ( — Ь) + А,;е"""йМ; (Ь)1, (Ч1.166) где р;: — (а,'ай), е-'е'.

Характеристики

Список файлов книги