Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Дефазировка тока происходит за время порядка 17Г, т. е. за 10-" — 10-" сек в зависимости от температуры рубина. Исходя из квазиклассической системы уравнений, попытаемся в некотором приближении вывести приближенные уравнения, основанные на соотцоп4ении Эйнштейна. Интегрируя уравнение (Ъ'1.57) при начальном условии р =- 0 при 1 = О, получим р(!» х) =-е ! з ) ~ —" — е( з ) 4(1.
(Ч1.61) 5 Предположим. что векторный потенциал и инверсная населенность медленно меняются за время Уравнение (У1.56) примет вид Из уравнения (Ч!.65) получим закон сохранения энергии — — —, + 6,7 =-,7 Ло. (У1,66) Уравнения (Ч!.63), (Ъ'!.65), (П.66) справедливы для достаточно монохроматнческого света, точнее говоря, спек- ,:Ф: !4" тральная ширина должна быть значительно меньше 1. Совокупность уравнений (У1.66) и (Ч!.63) является основой приближенных уравнений н исследовалась в приближенной теории, изложенной в гл.
Ч. Если в уравнение (У!.65) подставить векторный потенциал А в виде А -: Аое4т, (Ч!.67) то для й~ получим уравнение :Ф д4 — ~- —, д -- — 1,—, — !'. Ло. (Ч!.68) Из (У1.68) видно, что при резонансе»р =. сопя(. При е Ф О, ;-л' используя значение Л (х, !) из приближенных уравнений, можно определить изменение фазы волны. Таким образом, приближенные уравнения справедли,!142 ! вы, если изменением величин Л и Л за время (,,„!,- 1»»»-,'-— 2 можно пренебречь.
Это означает, в частности, что процессы нарастания лазерного излучения идут настолько медленно, "Ф"' что двухуровневые атомы успевают прнйтп в равновесие -ф,' с окружающей средой. В заключение приведем полную систему уравнений для усилителя: --' — -'- — — '+-"- А.: — '" р, (Ч!,56) д! ' ~ 2 са — ! 4ерт — ", (Ч1.57) »!! -! Л '(й»з-'- — ) по 1(»'»з . ) := — —,„(Лр" + рЛ'). (У!.58) 215 2. ИССЛЕДОВАНИЕ КВАЗИКЛАССИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ УСИЛИТЕЛЯ Случай больших интенсивностей.
Рассмотрим уравнения (Ч!.56) — (Ч1.58) в том предельном случае, когда можно считать, что интенсивность проходящего через перенаселенную среду излучения изменяется незначительно 1!51, 278). Представим А, р, Л в виде ряда: А==А,+Аг! ..., Р=--Р+Р -Н ., Л =- Лг + Лг+ ° ° ° Будем искать решение уравнений (Ч!.56) — (Ч!.58) методом последовательных приближений.
Примем, что А в пер- х=д Рис. У!.3. Взаимное расположение усиливаеаюго импульса и ак- тивной среды. вом приближении равно потенциалу внешнего невозмущепного излучения, входящего в перенаселенную среду А =- А,е'""-' '+ А,"е-'"-'+'"' ==- 2А, соз (лх — в!). (Ч!.70) Мы приняли, что А, =- А,". Такое допущение не ограничивает общности, поскольку постоянная начальная фаза может быть выбрана произвольно. Примем, что входящее в среду излучение имеет форму прямоугольного импульса, движущегося в пустоте со скоростью с. В момент Г = 0 фронт импульса совпадает с левой границей перенаселенной среды (рнс.
Ч!.3). Такое задание входного импульса является некоторой идеализацией, поскольку любой ограниченный в пространстве импульс не может быть строго монохроматичным. В действительности будем предполагать, что фронт импульса несколько сглажен, так что разложение такой сглаженной функции в интеграл Фурье по времени не будет содержать слишком высоких частот, сравнимых не только с частотой ог, но и со значительно меньшей частотой Т, характеризующей процесс усиления. Следовательно, необходимо, чтобы (Ч!.71) '. Условие применимости расчетов заключается в требовании Аг ЕА,. (Ч!.76) Введем следующие обозначения: Рг+Рг =.Ре Р~ Р~ ' — '=Р-. (Ч1.
77) 217 где Л! характеризует время нарастания фронта импульса. Поскольку входящее излучение в действительности всегда имеет некоторую спектральную ширину Лсо, то необходимо также выполнение неравенства >йь, Лаг < у. (Ч1.72) Подставляя (Ч!.70) в уравнения (Ч1.57) и (Ч1.58), получим систему двух уравнений для р, и Л,: — „, = — —,„(Р+Р,), дд, 2А, Э (Ч!.73) :.,:Ф +!Р+ Р )М~ (Ч!.74) :;-:::~~~,'---;.'.:..;, В уравнении (Ч1.73) опущены члены, характеризующие ',:,-';:;;,1,:.. накачку н спонтанные потери, поскольку для рассматри' ';с~:,,;:.-:. ваемой задачи они несущественны.
После пахождепня Р, и Л, мы используем уравнение '-а~~!':,". (Ч1.21) для нахождения Аг — + — — + — Аг=' — Р. длг, ! ддг Р 2п дх с дс 2 ы (Ч!. 75) Для простоты написания формул опустим индекс у велпчины Л,. Тогда вместо уравнений (Ъ'1.73) и (Ъ»1.74) будем иметь: (Ъ»1. 78) дд 2А» рь »71 с/ь д7»ь . Г 2А»Л!Мьо — +»е1» -ь- — !»о =-' д» ' 2 с/ г — -771»ьр.ь -ь- — р =-О. д1 ' " ' ' 2 ° (Ъ»1. 79) (Ъ71,80) Из приведенных уравнений легко исключить переменные р и Л и получить уравнение для р,: »741»+ д»1». ь 14А»»1МР, Г, о» дя, + 4А»!Мьо Г + „' — ро=--О. со/ о 2 Решения для р и Л также легко выписать в явном виде ( ь:) Л вЂ” Ло=- — '-(С,е " с С е ' ' с С,+С„) (т'185) с12 Р— Рлч =-. —; (С,е "' — Сзе ' — С, +Со). (Ъ»!.86) »т( — -'-", ) — ' ( — —;) У Индекс О, как и прежде, характеризует значение функции прн 1 == х/с, т.
е, до прохождения импульса через рассматриваемую точку. Определим постоянные С, и С,. Обратим внимание, что при 1=- х/с потенциал Л имеет разрыв непрерывности. 218 Рассмотрим вначале случай, когда активные атомы имеют бесконечно узкие уровни, т, е. Г =-- О. При этом уравнение для рс имеет вид »714 + (З + .414 ) Ро ' О (»»1'82) н решение его может быть записано следую»цнм образом; — -лт('- —,) (Ъ'1.83) рс:=.С,е ' +С,е где велачина у является очень важной характеристикой лазерных процессов и равна то=-е' ! '„,, — =е'+ —,1,.— ''у =во+ус (Ъ1.84) 4 А»1М14 о ' зя1М!2 с В,о Поэтому мы должны решать уравнения справа от 1--=: х/с, где .4 .=- сопз1, и слева от 1 =.
х/с, где А =- О. Согласно уравнениям (Ъ" 1.?8) — (Ъ'! .80) величины Л, р„ р непрерывны при 1 =- х/с н равны нулю. Поэтому из (Ъ»1.83) получим С,-; С =-О. (Ъ»! 87) Второе условие для коэффициентов получим, используя уравнение (Ъ'1.?9) (Ъ/1.88) Следовательно, (Ъ/1.89) С„=-0 прн 1 < —, А»/»о 7 М Р к С,=-, при / > —. 1сау с ' Подставим найденные значения коэффициентов в выражения (Ъ»1.83), (Ъ'!.85) н (Ъ»1.86) х» 81»447»А( . у ( с / ) Л =- Л, 1 — — '--' — 'з!по со?/4то 2 ) (Ъ»1.90) Х прн !> —, (Ъ1,91 ) х »о 4А, 141 Р ао 17 = — - ' з»по у— с!ьт (Ъ»1. 92) Л=-Л, е) 17н рс--р —::О ! 'с ' , +--,")1 — — з(п т 2 (Ъ»1.93) Подставляя найденные выражения для р в уравнение (»/1.75), получим дА2, 1 дА 2 А~ 1МР~ ,) Решение для Ао имеет вид ху 2л!М!таох, С х! 2со .
т ( с/ А .==А, ' о ~з!и у ~1 — — ) — — ып' прн Г '~ — ',, (Ч1.94) тлвлицл з интенсивность нвиуиеиия ошягонссмв сел Проиоишитенъггость вспышки сии Энергия ивэери, Олгсмв вон 1 всп и вен о 0,286 2,86 28,6 286 10 о !О о 10-о 10-в !Ове 10тв 10оо 1Овт 10-о щ-о 10 "о 10-о !Овт 10ти 10ев 10ие 10-о 10 о 1О-о 10 е 10о" 1Оот 10но 10в» Ао=О прн с < —. Для интенсивности излучения имеем ,7 =- лш„( А + А !е = =-,7, ( 1+ — "„—,„, '" ып у (! — —;) 1. (Ч1.95) Из (Ч1.94) следует, что при резонансе (з = О) фаза волны остается постоянной. Как в~дно из формулы (Ч1.95), интенсивность на выходе усилителя осциллирует.
Необхо- димо отметить, что спектр усиленного сигнала будет отли- чаться от спектра входного сигнала наличием сателлитов с частотами ш 4- 7. Дадим оценку величины 7. Например„ для рубинового лазера — '-! — ж 5 10-' см" сок ', ал ! М(в сне поэтому у ж "!г' 5.10 ',7,+ аи.
Значение,7, приведено для различных установок в табл. 3. Условие применимости расчетов (Ч1.76) приводит к тре- бованию, налагаемому на длину образца: шсау Х ..Х1= — — — —,—. 4л ! Ло ! ! М !в При значениях,7г 10оо фотон(смв сел получаем х, -0,1 см. Заметим, что решение (Ъ'1,95) при е =- 0 согла- суется с первым членом ряда (Ъ'1.47), (Ч1.99) (Ч1.102) Перейдем теперь к рассмотрению уравнений прн Г ~ О, Для получения наглядных физических результатов исследуем вначале случай точного резонанса е =- О.
Прн этом вместо уравнения (Ч!.81) имеем д'-'Р, 1' дне . 4Ав дхся "2 дс 4;:л' !М!ор ='0 (Ч"96) Решение уравнения (Ъ'!.96) имеет вид х ( ху р, =е 4 "' [С,е ' "' ~+Сое ' "' ~), (Ъс!.97) где т/ 1и 4А1!М(т 1!' сваи - (Ч1.98) Определяя постоянные таким же образом, как и в случае Г = О, получим Агдо!М!и сати Следовательно, уравнение для А, примет вид г 8 ли, 1 дАо 1! 2л е Х дх т с дс 2 2 го сау, х Аг Ло ! А4!,и эь у! (1 — — ) .
(Ч!.! 00) Прн р = 0 решение этого уравнения имеет вид 1 г 7 7г'(1+ л е 4 ' „, о! ! 8)17 ! — И1 при с мь —" . (Ч!.101) ; .~:::'. Рассмотрим предельный случай, когда :~~~~~,',.":;. В этом случае (Ч1.103) жи',;,"-,,';- и выражение для интенсивности излучения принимает внд -оио,т (г х) 7 == 7г ~! + ооЛох (е г х) "46 — е -' ' ~) прн 1-> —, (Ч!.104) ,7 =- О при 220 22! (Ч1. 105) При условии (Ч1. ! 06) приходим к формуле для интенсивности Я =-,7, ! 1 + ооЛ,х ехр ~ — 2о,,Х, (! -- †) ~ ) .(И.107) <!оормула (Ъ'1.107) совпадает с аналогичной формулой, вытекающей из уравнений баланса, котору1о легко получить, исходя нз уравнений (Ъ'1.1) и (Ъг.15) (илн (Ъ'!.63) при Т, -о сю), применяя теорию возмущений ,7-- Л+7о-!- (Ъ'1.108) приходим к формуле (Ъ'1.!07).
Использованный метод возмущений справедлив при условии .7о:;,,7о т. е. о Лохе ""' '<<1 (Ъг!.112) Таким образом„когда выполняются условия (Ъ'1.102), расчеты приближенной и квазиклассической теории совпадают. Только вблизи самого фронта импульса в области Л! 1ГГ квазиклассические расчеты !см. формулу (Ъг1.104)! отличаются от решения приближенных уравнений. Квазикласснческое решение непрерывно для 7з, и задавая прямоугольный импульс на входе усилителя (Ъ'!.109) 0 при х >~с!. При этом из (Ъ'.15) получим (при тм -о оо и йгы == О) з:~',оо( — „-~) Л(х, Г)---Лое ' ' " при х<с1, Л (х, !) ==- Ло при х> сЛ Определяя поправку к,'7 нз уравнения (Ъ'1.!) при (! — — 0 =о+ с — '-" = — с7,ооЛое ' ' ", (Ъ!.111) д1 дх и изменение 7о происходит в слое Л! ! /Г.
Приближенные уравнения (à — ао) приводит к скачку интенсивности, 1-!анболыпее изменение испытывает фронт импульса, последующие участки импульса проходят обедненную среду и испытывают небольшое усиление илп ослабление, Если выполняется условие о 16о.,„7,-. Г, (Ъ'1. 113) величина у, становится мнимой н будет иметь место колебательпый режим. Зто репоенне совершенно отлично от решения приближенных уравнений. В предельном случае !бои~ 3 !'. ( о'!.114) Решение (Ъ'1.10!) имеет вид .ь ,7.=,7, 1 з- о Лохыпуо ! — — ') е о ° ) ' (Ъ11!5) ,\' р*' Г!ри заданном значении х имеем колебательный процесс с медленно затухающей амплитудой и частотой 2Л,!М! .
/ 8л!о1(о, 7.—,— (, ) оа =-' ьа *= При исследовании уравнения (Ъ'!.!ОО) для Ао было принито, что р == О. Зто приводит к ограничению па длину усилителя х. Пренебрежение истинным поглощением правомочно, когда выполнено неравенство ()х:й 1. Таким образом, при не очень больших интенсивностях, когда выполняется условие (Ъ'!.!02), усиление !см, о)юрмулу (Ъ'!.104)1, рассчитанное па основе квазиклассическпх уравнений, соответствует балансным формулам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
