Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Входящий в эти уравнения вектор (электрической или магнитной) поляризации среды определяется через матрицу плотности системы двухуровневых атомов, взаимодействующих с электромагнитным полем (см. приложение). При этом авторы приходят к связанной системе квазиклассических уравнений. Учет релаксации, накачки и поглощения производится феноменологически. Квазиклассической теории генерации посвящены работы Файна 0521, Ораевского 1!531, Дэвиса [!541, Джэйнса и Каммингса [!551, Казанцева и Смирнова 1!561, Островского и Якубовича 1!571, Кузнецовой и Раутнана 1!581, а также работа авторов 1!5!1.
Хакен и Зауерман 1!591, Луговой 11601, Островский Иб!1, Басов, Ораевский и Морозов [!62, !731, используя те же уравнения, рассмотрели немонохроматические процессы с двумя модами. Несколько особняком стоят работы Лэмба 1!63! по квазиклассической теории газового лазера (см. также работу Уайта [!64!), в которых учитывается движение атомов. Квазиклассическая теория усилителя, основанная на аналогичных уравнениях, рассмотрена в нескольких работах. Виттке й Уортер [!651 рассмотрели стационарный режим усиления (см. также работу 128! 1).
Большинство результатов получено численным методом. Как показали Басов и Летохов [!661, а также Ильинова и Хохлов 1!671, основные результаты стационарного режима усиления можно папучить аналитическим методом. В работах [!661 н [!5!1 устанавливается связь с приблнженнымн балансными уравнениями. В работах авторов [!51, 273, 2781 рассмотрены различные вопросы теории усиления и генерации, которые изложены в последующих пунктах.
Вопросам теории лазерного излучения, построенной на основе уравнений квантовой электродинамики, посвя!Зэ 185 щена серия статей Дике [!68[, Галицкого, Алексеева, Вдовина [!69, 170, !7! [, Арутюняна [172! и других авторов. В перечисленных работах задача формулируется и ршпастс51, исходя из точно!О микроскопи«!ОскОТО 1амильтониана. Как всегда в таких случаях, не удается полностью точно учесть всю физику в исходном гамильтониане.
В частности, взаимодействием системы активных атомов с окружающей средой (релаксация, поглощение фотонов и т. Д.) пренебрегается. Это означает, что характерное время лазерного излучения должно быль значительйо меньше всех времен релаксаций и столкновений. В эксперименте это требование обычно не выполняется. В последующих теоретических работах недостающие члены введены феноменощ>гически [279, 280!. 1. КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ УСИЛИТЕЛЯ Вывод и исследование уравнений для прохождения света через резонансную среду*. Изложение квазиклассической теории начнем с наиболее простого случая прохождения света частоты а> через среду, содержащую атомы, резонирующие на этой частоте.
Точнее говоря, расстояния между двумя энергетическими уровнями атома близки к внешней частоте. Если частотный интервал между уровнямн с энергиями Ез и Е, обозначить через и>„то должно выполняться неравенство — —; 1. (Л. 2) Через В обозначим расстройку резонанса, равную о>а (У[.8) Будем для простоты предполагать, что центры активных атомов расположены хаотично в среде и считать уровни энергии бесконечно узкими.
Будем пренебрегать тепловым движением атомов, сдвигом энергетических уровней в поле волны лазера (полагая, что напряженности лазерных полей значительно меньше атомных величин), релаксацией ато* Вывод уравнений в квазиилассичесиом праолижснии (дли произвольного мультвпольпого взаимодействии! длн уснлнтсла и генератора ис претендует иа строгость. Сгрогии вывод исхода из уравнений квантовой злснтродииамиии дап в прнложании. мов, поглощением фотонов в среде н друпцш видами взаимодействия с внешней средой.
Хотя учет перечисленных эффектов взаимодействия суиуественн!>м образом меняет картину усиления, тем не менее отложим их рассмотрение до следующего пункта. Проходя через систему двухуровневых атомов, свет будет вызывать процессы вынужденного испускания н поглощения, и в результате этих взаимодействий на выходе из активного вещества получим либо усилешп,!!71, либо ослабленный свет. Будем считать, что в начальный момент времени (до входа внешнего импульса в активное вещество) задано начальное состояние среды, в частности, задана ииверсиа5! населенность срсды (А =- и, -- и!).
Поми мо Выну>!«дени>!х и!«Оцссспв излучеии5! и поглОщ!.'Яия Возбгждениые атомы мо>ут спонтанно переходить в основное состояние. Мы, однако, будем предпола!ать, что промежуток времени, в течение которого происходит интересующий иас прОцесс усилш1ия, настолько мал, «1то спонтанные процессы ие успевают изменить инверснуи> населенность. (Только для установившегося режима будут учтены эффекты, связанные со спонтанным ихчучениеы.) Кроме того, нужно отметить, что спонтанное излучение не является направленным, в то время как лазерное излу«!ение резко направлено.
Поэтому Влиянием спонтанных процессов на лазерное излучение практически можно всегда пренебречь. Правда, для возникновения вынужденного излучения и его усиления всегда необходим первый инипиирующий квант, который может, в части!ютп, появиться в результате спонтанного распада атома. Однако в случае усилитепя необходимости в таком ква>гге нет ввиду наличия внешнего иннциирующего излучения. Все это наводит иа мысль использовать пол уклассическу!о теорию излучсиия, которая исходит из классического электромагнитного поли и совокупности атомов, подчиняющихся уравнеишо П!редингера, Спонтанное излучение, как извсстш>, при таком рассмотрении не появляется. Из эксперимента пам известно, что лазерное излучение имеет резко выделенное направление распространения и обладает высокой степенью монохроматичности.
Поэтому будем искать решение этой задачи в виде следующего выражения для электромагнитного поте!шпала: А (г, !) =-. А, (г, !') е>аг->м! Ф А7 (г, !) е-""+""" . ( Т>'!. 4) Выберем й„= Ф, =- О, й„= й. Тогда выписанное выражение соответствует электромагнитной волне, распространяющейся вдоль положительного направления оси х. Индекс «1» у амплитуды векторного потенциала (в 9 1 и 2 гл. Ч1) будем опускать. Частота и волновой вектор связаны обычным соотношением ники [2! р .
а (Чс„ч Чс . Чс ч'Чс"); -'-,— с го[(Ч"г«аЧ"~).— — — г ! — г ' ' т (АЧ""Ч"!)~ (У[.9) ( 171. 5) «- жс (»'1. 10) (»'1. ! ! ) (Ъ'1.6) ""г~' 1« —" аг(Г, гР) е Ч г«(гы) г'«г Ч"',--аг(! г!)е " Ч'~г(гы), (»'1.! 2) ,7 == ~, [ А !', (Ч1.7) '4х Амплитуда волны Л (г, с) есть медленно меняющаяся по сравнению с экспонентой функцяя координат х, у, з и времени г'. Именно эта величина и подлежит определению.
Если пренебречь отклонением света, то задача становится одномерной н амплитуда волны будет зависеть только от х и 1. Поляризация волны определяется направлением вектора А. Поток энергии также определяется значением А. Действительно, усредняя вектор потока энергии по промежуткам времени, равным периоду волны, получим 5 = — — [Е, Н! —.—., — — (Ае'"'-!"' — А'е-м .!-' !)г 4л ' 4лс Мы будем часто пользоваться величиной которая дает поток числа квантов через 1 см' в единицу времени. Потенциал электромагнитного поля А (г, г) удо- влетворяет микроскопическому уравнению Максвелла ! ст»А 4л 4л Хг«А — —. —; —:=: — — ) .---- — —, ([«г+ !г,), (Ъ'1.8) сг дгг ' с " с Ток 1, который определим в дальнейшем, является функцией электромагнитного поля.
Поэтому здесь имеем дело с самосогласовашюй задачей. Рассмотрим пока один атом. Ток !',г возникает при переходе электрона с нижнего уровня на верхний с одновременным поглощением кванта, ток !г! связан с переходами электрона с верхнего уровня на нижний с испусканием фотона. Такой ток называется «токо«! переходам Для атома с индексом ! значение ),г определяется следующей формулой квантовой меха. Аналогичное выражение для тока имеет место и при переходе 2 — '1 при одновременном излучении кванта Легко заметить, что !1» -:- )г!. Третьим членом в токе перехода (»'1.9) будем в дальнейшем пренебрегать.
Оценки показывают, что вблизи резонанса он действительно мал. Указанный ток имеет временную зависимость, в основном, вида е-""' ', поскольку волновые функции электрона в атоме Ч",' н Ч", определяются следующими выражениями; где г, —,координата центра атома; гы — координата электрона 1-го атома. Относительно амплитуд аг (1, г;) и а, (г, г,) предполагается, что они медленна меняются со временем по сравнению с экспонентой. Амплитуды а,, а, характеризуют переходы между двумя уровнями атома при воздействии внешнего -поля и зависят от координаты центра атома г;. В дальнейшем мы будем предполагать, что векторы )' одинаково направлены для всех атомов.
Использование такой модели упрощает анализ явлений. Поскольку рассматривается одномерная задача усиления, вектор поляризации света должен лежать в плоскости, перпендикулярной оси х, Рассмотрим линейно-поляризованные волны двух типов. Для одних волн вектор поляризации перпендикулярен вектору !. Такие волны проходят активное вещество [см, !99 $ — '"'о'( *, г),, (У1. |4) 201 200 уравнения (У!.!5) и (У1.24)1 без резонансных взаимодействий.
Поэтом!ь достаточно рассмотреть распространение и усиление волны с одной определенной линейной поляризацией (направленной по вектору М). В связи с этим во всех дальнейших формулах будем опускать векторные иядексы как у векторного потенциала, так и у тока перехода. Покажем, что уравнение для потенциалов (У1.8) можно записать в виде двух уравнений для А и А"'. Уравнение для А имеет вид ( — '.
— — —.) '" = — '- ЗА ! дд с сь за| —. — '+ — —.' ! есь .=- " 1, е' с (У1. |3) д. ) Уравнение для А" есть уравнение комплексно-сопряхсенное (У|.|3). Действсстельно, уравнение (У|.8) можно умножить сначала на е'"', затем на е '"', усредпить по интервалу времесш, значительно большему чем |lог и в то же время настолько малому, чтобы медленно меняющиеся функции времени А, (г, !), (а,*аг), е'м можно было бы считать постоянными и вынести за знак усреднения.
Среднее значение от быстроосциллирующих функцссй типа е- гнм обращается в нуль, и мы приходим к уравнению (У1.13). Ток перехода (У1.!О) зависит от электронных координат г„. В каждом атоме электронную координату будем отсчитывать от центра атома. Рассмотрссьс вначале один атом. Координата г есть текущая координата заряда. Запишем се в виде г ==- г; + г;,. Умножим левую„д правую части уравнения (Ю.!3) на е "'", а затем проинтегрируем по электронной переменной (по объему атома). Левая часть уравнения своего вида не меняет, поскольку мы предполагаеч, что А (г, 1) слабо зависит от г;е.
Следовательно„при интегрировании по электронной переменной в левой части уравнения (У(.|3) появляется объем, занимаемый электроном, т. е. объем атома. В правой части мы имеем е-с«е/с я;. е-"'с ~ |с е '"ем с()/.„.е Через Мс обозначено выражение, которое будем в дальнейшем называть матричным элементом перехода 2-с-1 с одновременным испусканием кванта, Мс = — — ~ ( за (РсоплЧз о |гоулЧ со) 1 + — го1л(Ч'созЧ"го)) е ""с()'. (У|".!5;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
