Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 29
Текст из файла (страница 29)
дх и д! 2' (Ч.31) (Ч.32) ' Аналогичные уранненнн обычно используются н теорнн переноса чзлученнн [1ВО!. '1 84 приближение»». Вопросы, связанные с монохроматичностью .и когерентностью излучения, а также с возбуждением разлкчных типов колебаний резонатора, здесь опущены, поскольку онн требуют учета фазовых соотношений и могут быть корректно и полно решены только в рамках волновой теории (см. гл. Ч1). Рассмотрны слой толщиной Лх в активном веществе и составим уравнение непрерывности для интенсивности излучения. Число фотонов, проходящих в 1 озк через 1 см' в положительном направлении оси х, обозначим через ,7, (х, 1).
Плотность потока фотонов в обратном направлении обозначим через,7; !х, !). Каждый элемент вещества характеризуется коэффициентом поглощения, который состоит нз двух членов Поскольку плотность энергии излучения на частоте ч» равна р, (х, !) = — '1,7!(х, !)+ 72(х, !)1, то можно записать следующее выражение для вероятности индуцированного перехода: )!' 2 ! '-= о2! ( 7! †..72) (Ч.ЗЗ) где поперечное сечение о„определяется формулой (1.85). Таким образом, уравнения (Ч.З!), (Ч.32) совместно с уравнениями (Ч.!О) — (Ч.!2) для населенностей уровней активных атомов, рассмотренных в предыдущем разделе, образуют полную систему для нахождения интенсивностей излучения и населенностей в случае трехуровневой среды.
Вьшшпем эту систему в двухуровневом приближении: дУ! 1 дУ! -' — + —, -' —: — (ом Л вЂ” (1),71, дх и д! дсхг 1 д.уг 1 дх и 112 --- г+- г---:(ог,Л вЂ” 5)72 (»,34) дА = =- — 2Лаг! (7, +,72) + и, ~)Р'!а — — ) — Л ~ йи!а+ — ) . д» 22!1' ! ' ' 221) Лля генераторов, работающих по четырехуровневой схеме, указанная система может быть записана в следую- щем виде: — -+ — — ' = (оагЛ вЂ” (1),71, дР! ! д.х! дх и д! д.х'2 1 д,У вЂ” — + —, — = = (озгЛ вЂ” 11) 72 дх и д! дз г 1 оаг (71+А) Л+ие)(у»! 1)(у«+ ) Л д! = тзг Р (Ч.35) 185 где Л =л,— аг.
Приведенные уравнения должны быть дополнены начальными и граничными условиями. Если длина актив- ,ного образца 1, а коэффициенты отражения плоских зеркал резонатора при х = О и х = ! равны соответственно г, и г, (рис. Ч.4), то граничные условия для генератора могут быть записаны следующим образом. ,7„(!)-.:гьуге(1) при х=-О, .721(1) .=-" !2711(1) прн !86 !87 7гло(1)=-,'уна(0 1)! 7г,г1(1)= 7ьг(1 1) Если лазер работает в режиме усилення и на входе его (х = О) плотность потока фотонов равна д (1), то должны выполняться соотношения ,7,о(1) =-(! — г,)зг(1)+гн7ао(1) при х =-О, 7а1 (1) =-" га 7 з ! (1) при х =-1.
(Ч.37) В начальный момент времени 1:= 0 должно быть задано распределение населенностей н интенсивностей излучения Рис. Ул. Схема антнвного элемента оптического генератора. вдоль образца. В практически интересных случаях, прн равномерной накачке Л (х, 0) является постоянной величиной, Что касается распределения,7, (х, О) и 7а (х, О), то выбор их несущественно сказывается на конечных результатах, В то же время строгое задание этих величин представляет трудности, поскольку они определяготся случайными фотонами, возникшими в результате спонтанного распада атомов и усилившимися в активной среде.
3. УСРЕДНЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ В предыдущих разделах были рассмотрены нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие процессы излучения в оптических генераторах. Строгое решение этих уравнений, даже с помощью электронных вычислительных машин, сопряжено со значительными математическими трудностями, Аналитическое же их решение может быть получено только для очень немногих частных случаев. Поэтому представляет интерес использование приближенных методов решения. Один из таких методов состоит в усреднении уравнений по длине активного образца, что дает возможность от урав- пений в частных производных перейти к обыкновенным дифференциальным уравнениям ! !49 !. Рассмотрим вначале уравнения для интенсивностей излучения.
Складывая правые и левые части уравнений (Ч.3!) и (Ч.32) и вводя обозначения .7, == 7! + 7а 7 = 7~ —.7а, получим д.т 1 д,х+ =+ — — ' — =-- (а„Л вЂ” (!),7 г. г дх о дг (~.38) Ьгсредним уравнение (Ъ'.38) по длине образца. Усредненные величины будем отмечать чертой сверху, напримеР, 7е = -1-~,7е(х, 1) с(х: 1 ! д.Уг ())+и дГ ' '+ Сделаем далее предположение, что изменения функций,уе н Л на длине образца малы по сравнению с самими функциями. Для этого необходнмо, чтобы коэффициенты отражения зеркал резонатора были достаточно большими, В этом случае среднее значение произведения указанных функций можно заменить на произведение их средних значений Л~„=-. (Л вЂ” 6Л(х))(7„--67,(х)! =Л7, +6Л(х)67г(х) — Л7, Члены второго порядка малости в дальнейшем не учи.
тываются, линейные члены выпадают, поскольку 6Л (х) = О, 6,'7 (х) =- О. Граничные условия (7.36) преобразуются для вели- чин 7т и,7 следующим образом: ,7 (0) == — ',7„(0) при х=О, гг+! ' ,7 (1) =-, ~,а,7, (1) прн х =-. 1. Подставляя эти соотношения в уравнение (Ъ'.39) н считая ,7„(1) 7 (О) ж,7, (У.4!) получим ! г!у»,—, ', ! — г~ ! — га о Ш ги '+, ' !!1!"- ~! ' г(!-гга! —, — '=" о Л,'/. — 1 ()+ - — — — —; — — " "1,7 .
(Ч.42) Уравнение (Ч.42) получено в предположении, что коэффициенты отражения зеркал близки к единице. Расчет показывает, однако, что опо применимо и в более широкой области, поскольку соотношение (Ч.41) может выполняться при г, достаточно сильно отличающихся от единицы. Кроме того, оказывается, что прн малых и точность уравнения (Ч.42) повышается, ести последние два члена в квадратных скобках, характеризующие потери иа излучение, заменить на величину (Ч.43) При и -'! оба выражения эквивалентны, в чем легко убедиться, воспользовавшись разложением (их==2 ~ —,, ~+-~-(-' — — !) +... ~.
Для того чтобы проиллюстрировать целесообразность указанной замены, рассмотрим пороговые условия самовозбуждення генератора. Очевидно, что порог генерации имеет место, когда убыль фотонов в резонаторе вследствие потерь компенсируется индуцнровапным усилением, т, е. д.7.~. — =- О. Если потери на излучение записать в форме д! (Ч.43), то сразу получим отс!ода хорошо известные и справедливые при любых и соотношения 2)3! — !и г,га (Ч.44) гзгхез <о«та-Р! '.=- 1.
(Ч,45) Аналогичным образом усредняется и уравнение для инверсной населенности активных атомов, которое пол- ностью сохраняет свой вид, за исключением того, что Я, и Л заменяются на свои средние значения. Таким образом, имеем окончательно ! и,у, ,„- — г+ = оггЛ7+ — Ф г()х) 7» о о! — „, = — 2о»,Л7++(%га — — ) и„— (Фр -, :— ) Л. (Ч.47) 188 Г1риведеиные усредненные уравнения подобны известным уравнениям Слатца — Де Марса !!501, однако они более удобны, поскольку в них потери на излучение отделены от внут(зен1)их потерь в резонаторе, в то время как в уравнениях Статца — Де Марса все потери выражены через добротность резонатора.
Следует отметить, что усредненные уран~ения правильно описывают процессы в оптических генераторах, когда в течение промежутков времени гм!„характеризующих гг г, Ь я Рис. Ч.З. Схема оптического генератора с аисшиими зеркалами. лазерную вспышку, фотоны успевают много раз пробежать дчииу активного образца. В этом случае происходит естественное усреднение и получаемые результаты оказываются точными.
Очевидно, что изме~ения функций,7„и Л на расстояниях порядка длины образца будут при этом малы, поскольку все величины изменяются су!цествениым образом за время порядка гар. Выше предполагалось, что отражающие покрытия оптического резонатора нанесены непосредственно на торцевые поверхности активного образца. В реальных конструкциях оптических генераторов это условие выполняется не всегда, Так, например, часто используется резонатор, в котором зеркала располагаются на некотором расстоянии от активного образца, причем это расстояние сравнимо или даже значительно превосходит длину кристалла.
В связи с этим представляет интерес рассмотреть более общие усредненные уравнения, справедливые для случая резонатора с «внешними» зеркалами (рис, Ч.5). Торцевые поверхности активного образца будем считать просветленными и отражение от них учитывать нс будем. Усредняя уравнение (Ч.38) по длине резонатора подобно тому, как это было сделано выше, и полагая, что вне кристалла (0(х~!о 1, =х !.) о-:с и (1== О, легко получить Ат, —; — — ': — т ЛД. — Ф к()х),7, (Ч.48) а ги 189 где 1. — 1+ Л1 20 1Г1 -:.: — о«, (э) р, (ч) 1(с, аэ (Ъ'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
