Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 32
Текст из файла (страница 32)
ьз Индексы А означают, что берется проекция М на направ- ление поляризации векторного потенциала. В формуле (У!.|4) мы ввели величину оооо характери- зующую частоту перехода Ого атома. Укажем, что сдвиг уровней для различных атомов, вообще ~оворя, может быть разлпчныч. При иной этого может служить неодно- родность кристаллического поля илн разлйчие в движе- ниях атома. Предположим теперь, что атомы точечные. Тогда, раз- делив обе части уравнения (У1.13) на объем атома Г и устре- мив У- О, в правой части уравнения получим 6-функцию б (г — г;). Просуммируем (И.!3) по всем атомам, нахо- дящимся в бесконечно малом по сравнению с )г физиче- ском объеме, «Плотность такал в точке г будет равна )', 8(г — г~) ~ е-с"е!счй'м==- = У 8 (г — гс) (аосаг) е а с с оРМс (У1 16) После этих преобразований уравнение (У1.!3) принимает следующий вид: — 4 — — '- — = — — 'енм ~'6(г--г;) (асае);е '"" '"'о'Мь (У|.|7) дх о дс «1 с Значение А (г;, !) мы заменим на значение А (г, !) в неко- торой средней точке физически бесконечно малого объема.
Черта означает, что выражение, стоящее в правой части, пух«но усреднить по времени. Обозначим через р величину Р(г) ==| ~~ 8(г — г;)(айаг);е '"" 'с"ох "''сИ,. (У1.!8) Перейдем теперь к непрерывному распределению атомов. Для этого нужно заменить суммирование по | на интегри- рование по непрерывному параметру го Соответственно этому произведем в (У!.|7) и (Ъ'!.!8) замену ~' на ~ пес(Г, где и, — средняя плотность атомов в точке ю Р (г) ' > > лоб (г г>) (аоаа)> х (Ъ'1.19) Предполо>ким, что величина (а,'ао); имеет вид, аналогичный векторному потенциалу (Ъ'!.4) (а,'ао), .== (а,'ао) 'е'"", (Ъ'1.
20) где величина (исаа)' -- медленно меняющаяся функция координаты г. Пусть сом и М; одинаковы для всех атомов. Тогда выра>кение для р упрощается р-=- с по (а,'ао)' е-"М. Таким образом, уравнение (Ъ'1.13) примет вид дл , ! дл 2л (Ъ'!. 21) да ' с д> о> Комплексно-сопряженная величина А* подчиняется комплексно-сопряженному уравнению. Выведем теперь уравнение для определения р. Для наглядности рассмотрим опять пока один атом, находящийся в поле с потенциалом А (г, >) — =(Но+ Н') Ч'. дч' Энергия взаимодействия имеет вид Н' =- — Ар — — з го! А.
(Ъ>!.22) а>с тс Решение ищем в виде суперпозиция двух состояний в> я> Ч'.=- а, (г) Ч'„е " + по (!) Ч'.„е ' . (Ъ>1.23) Тогда, оставляя только резонансные члены, имеем для определения а, (>) и а, (!) следующие уравнения: дап> — --.
А'аи>е-"'" — "' —" — ', (Ъ>1.24) дап> дал А >ги гк»>+>с;г >М~ д~ > ас' При выводе (Ъ'1.24) предполагаем, что функция А медленно меняется по сравнению с зкспоиеитой и ее можво вынести за знак интеграла, определя>ощего матричный элемент Ме Умножим второе уравнение (Ъ'1.24) на а",и и сложим с комплексно-сопря>кенным уравнением, то же самое проделаем и с первым уравнением (Ъ>1.24), затем, вычитая и складывая полученные выра>кения, найдем ! д(~ ао!о — !а>)о)> — — = -- — (а,а,",)~ »с 2 д> ас (Ъ'1.
25) дП о!!+! З (Ъ1. 25') дс Условие (И.25') есть условие нормировки. Суммируя по атомам, находящимся в объеме )> н используя определение (У!.18), получим д — '= в (р'А>+РА*» да 2 (Ъ>1.2б) д> са где "4': Л (г, !) = ~', б (г — г;) ( ! ао !' — ! а > !') > =-- — 1 б(г е)()а ! !а>! )>аl Для тождественных атомов получим Л=--по((ао!о — (и,!о). Выведем уравнение для р н р'.
Умножим первое уравнение (Ъ'1,24) на а<'>' и сложим его с комплексно-сопряженным уравнением, умноженным на а)»>. Получим — (' — ')' =-А" ( оо ' — а,!');е '""' "' — '' . (И.27) ! ! ! ас Проводя усреднения и используя определение (Ъ>!.!8), (Ъ>1.!9), получим д>> . !ГИ!о — >ь (ер.== А>Ь -'-; —, дс ' ' ой (Ъ'[.28) — -сор .=.
А А д»* ., 1М(о д> > са Уравнения (Ъ'1.28), (Ъ>1.26) и (Ъ>1.2!) образуют полную систему необходимых уравнений для теории прохождения света через резонансную среду. 293 Если ввести новые искомые функции о е А'.-.= Ае с ' ' р' —.:. ре ' ' (И,29) то уравнения (И.2!), (ЪН.26), (Ч1.28) несколько упростятся: дл', ! стЛ' Зп — — — — р, дх с д! м — -- — (о' А'-,' р'А' ), д! са — =:. А'сЪ вЂ”.'— ' эр', 1м!о дС " са.' (Ъс!.30) (Ъ'1. 31) (Ч!.32) Уравнения (Ъ'!.21), (Ъ'!.26), (Ч1,28) решаются при определенных начальных и граничных условиях. Обычно физическая задача формулируется следующим образом: необходимо определить электромагнитное поле Ло зо совх, '!вов Рис.
7!.!. Прохождение света торез среду с инверсной ииселеи- иостью. после прохождения через среду с инверсной населенностью (рнс. Ъ'1.!), т. с. определить амплитуду и фазу выходящего из образца света, когда на входе (при х =-- О) заданы амплитуда и фаза входящего сигнал». В начальный момент времени (! === 0), когда начинается процесс вхождения света в среду, задаются величины сЪ, р и А внутри среды. Будем считать, что име!от место следу!ощие начальные и граничные условия: при 1=-0 Л -бо р== О прн х> О, А=-О при х —.—. О А.=- г'(!), (Ъ'1,34) Будем искать решение в области х':о О, 1:жО. Рассмотрим соотношения, вытекающие из системы уравнений.
Комбинация уравнений (Ч!.30) и (И.З!) приводит к закону сохранения энергии д!Л1о, ! д1Л1о пса дд ! дх с д! м д! ' Комбинация уравнений (Ъ'1.31) и (Ъ'!.32) приводит к уравнению дде 4 д!р 12 1М 1о д! которое с учетом начальных условий дает интеграл йо =" ! х 1э ~ р ) ° (Ч!.36) д (х-л,) з (а--до)о д!о о 1зо1то Л Хо — сао, ед, жоао " Ъ с 1ао1т! ' Л ' 1ло1ст! ' (Ч1,38) где,уо — начальная интенсивность излучения. 205 Наконец, используя уравнения (Ъ'!.30) и (Ч1.32), получим дЛ' ! дЛ', дЛ'о ! дЛ'о !' .
1: д! д! Складывая, получим о стЛ дЛ о ! д рсо —, — р' — ==- — — —. (А'рсо — р'А'). (Ч!.ЗУ) дх ' дх с д! Интересно отметить, что формально, пренебрегая зависимостью всех величии от х„можно свести уравнения (Ч1.30), (Ч1.31), (Ъ'!.32) к одному уравнению для величины Л. Для этого продифферепцируем уравнение (Ч1.31) ! по времени и воспользуемся уравнениями (Ч1.30) н (Ч1.32). Если использовать соотпоп!ения (Ъ'1.35), (И.З6), (Ч1.37), то получим уравнение для инверсной населенности / Зл(М)о уо '= 'ор/,Л 7о ° Случай точного резонанса. Рассмотрим теперь предельный случай, когда в-о. О 11511.
Точнее говоря, будем считать, что временная и пространственная зависимость А', определяемая расстройкой е„настолько слабая (по сравнению с изменением А из-за процесса усиления и ослабления), что в первом приближении е можно положить равным нулю. Тогда уравнения для р и А имеют действительные решения (если начальные и граничные условия действительны), и сводятся к следующей системе уравнений: дл ! дл кл — + — — == — р дк с д/ м (Ч1.30') Величина т,' определяется из соотношения Зл ~ дПо1Ло ~ (Ч1,39) т! Ь/о где Ло — начальная плотность инверсной населенности. Нужно отметить, что хотя уравнение (И.38) н не имеет практического применения, тем не менее оно представляет интерес, так как дает приближенное решение задач квантовой электродинамики (которые рассматриваются в приложении) и позволяет понять многие качественные свойства и связь между прпближенной и точной теорией.
Интересно отметить, что это уравнение с дополнительными членами, учитывающими спонтанные эффекты, получено и исследовано в работе 11711 методом квантовой электродинамики. Решение уравнения (Ч1.38) характеризуется осцилляциями, частота которых при малых интенсивностях порядка 1/т„а при больших интенсивностях (Яо> >сЛо) порядка уравнения (Ч!.30') н (Ъ'!.3!') можно переписать в виде дА ! дл л!М)зо Ло "/о а( Решение уравнения (Ч1.4!) имеет вид / — == саз( — — „— '! А/!/) .
(Ч1А2) 'о Из формулы (Ъ'1.42) следует, что инверсная населенность по абсолютной величине всегда меньше Ло. Подставляя выражение (И.42) в (И.40), получим дА ! дд л)д!)Зо . /2!Л!! à — + — — =' — ' — з!'и !к" — — ~~ А/(/). (ИАЗ) д с а/ и сь Перейдем к безразмерным переменным к, 6 х'.=- —, Р=- —, Л ко /о (ИА4) л!лоИМР Заметим, что /о =--- 4то, где то определяется нз формулы (Ъ'1.39).
С учетам введенных переменных уравнение (Ъ'1.43) перепишется в виде И, + ~, == 3!п (4 1 А'///') . (И,43') д/1 4 — — — рА д/ а (И,ЗГ) (Ч!.32') —.== АЛ вЂ”, др 1М!о д/' св (Ъ'!. Зб') 206 С учетом интеграла (И.36) )М) ло //а р: — —,,— Л„(1 — —,) о Верхний знак берется, когда Ло- 0; нижний знак соответствуег начальным данным Л, ( О. Для примера отметим, что для рубинового лазера характерные времена осцилляций имеют порядок /о — !О/и сел. Следовательно, приведенное решение будет справедливо только в том случае, если все другие физические процессы, которые могут изменять А илн Л, пренебрежимо мало сказыва!//тся за столь малые промежутки времени.
В действительности, как мы увидим, учет релаксации существенно изменяет физическую картину усилении. Уравнение (Ч!.43') можно переписать в форме интегрального уравнения, удобного для численного интегрированна. (!1!трикн у переменных х и 1 в дальнейших формулах опущены). Для этого проинтегрируем уравнение (Ч1,43') по направлению и (рис. Ч!.2) от точки (О, à — х) до точки (х, 1). Текущие координаты обозначим через Рис. Ч!зк К рси~еиию урии сепия (Ч133'1. хе, 1,. Уравнение линии, проходящей через точку (х, 1), есть х,:= 1, — (! — х). Абсолютная величина и равна з==-~ х,"+11,— (! — х))е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
