Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Установив!пийся режим усиления. Как будет показано в гл. )Х, усиление импульса прекра!цается, когда длина усилителя удовлетворяет условию рх ."-. 1. В этом случае все характеристики усиливаемого импульса зависят только от переменной л — сц Этой инвариантностью можно воспользоваться !)66, !67, !65„ !5!1, чтобы попытаться исследовать систему уравнении для усилителя, не делая приближения (У).76) или (У!.122). Рассмотрим бесконечно протяженную одномерную среду с инверсной населенностью, через которую проходит установившийся импульс. ! !од словом установившийся мы будем понимать импульс, перемещающийся вдоль активного вещества без изменения своей формы, т. е.
зависящий от переменных х и ! только в комбинации (г — х:с). Выпишем основную систему уравнений: дА, ! дА, 1! 2л (И 56) дх ' с д! ' 2 м —.Р рай + — =— др,, рг Ал)мр д! 2 сй (И.57) — '-+ — ' — '':.= — — (Лр' , 'рА*). (И.59) д! 7! сь Ьудем считать, что величины А, о и Л явлюотся функциями только переменной а -= ! — — '. Как показывают чистепс ные расчеты 1165), это предположение оправдывается при выполнении условия )) оЛ,. В этом случае скорость импульса равна действительно с. Тогда из уравнения (У!. 56) получим (У1.
И)) Через Л, мы обозначили начальную инверсну!о населенность среды (при с == — оо). Из (У), !34) и (У!. 135) имеем дз)пт (И.136) где )6 и!МР сам (И.137) Первый интеграл уравнения (У!.136) легко находится по следующим формулам: — -=- ( — 2В,7 ($)+С,) '. Величина С! определяется из условий при $ =- — со ,7( — со)=0, Л„=-Л( — со). (У1.139) Уравнение (У), 59) можно переписать в следующем виде: да „Д вЂ” аа о4 -=+ '.
= — — „- )А !":=- — (1,7. (И.! 32) В уравнении (И. 57) вместо р подставим А, используя равенство (И. 13!): дА, А!" 4л)дг!з — „+!вА+ —,, = — ' — ' — АЛ. дй ' ' 2 слйм (И.)33) Из (И. 133) следует уравнение для интенсивности вп!Л)!з, — ", 4,7Г= — „' —,7Л. (И. Р34) Уравнение для фазы также получается пз уравнения (У!. 133), если представить Л в виде А:=- ! А )с''ч. Тогда, разделяя вещественные и мнимые части, легко получить, что фаза волны изменяется по закону е-!""". Это означает, что в установившемся режиме несущая частота импульса устанавливается равной частоте перехода атомов ы,, Из (У!.132) при Т! — и со имеем соотношение, из которого по заданному,7 Д) находится Л (с): $ Л (ь) — Ло-'= — 2)) '),7 (х) с!5.
(И.135) 230 ширина импульса меньше времени речаксации, а ампли туда импульса равна ;У„,» ---= ! — . (Ч).148) На рис. Ч1.6, Ч).7 изображены установившиеся форма импульса и распределение инверсной населенности [1бб! при значении параметра о»Л«>() -"=- 3 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГЕНЕРАТОРА Вывод уравнений. В предыдуших пунктах, посвященных прохождению когерентного излучения через резонаяснук> среду, мы ограничились рассмотрением электромагнитной волны„движущейся в одном направлении. В теории одномерного генератора (с плоским резонатором Фабри — Г!еро), которая будет изложена в этой главе, необходимо рассматривать две волны, распространяющиеся в протнвополо>кных направлениях.
Из всех колебаний интенсивности, которые могут установиться в реальном, заполненном активным веществом резонаторе будем рассматривать только продольные моды. Частоты различных продольных мод в пустом резонаторе отличаются друг от друга на величину Лы .=. лп>."1, где а — целое число. Для реального генератора необходимо учитывать отклонение лучей от прямолинейности„т.
е. рассматривать не только продольные моды, но и моды с различной структурой поля в поперечном направлении. Эта сложная теоретическая задача решена только для резонатора (см. гл. РЧ) без активного вещества, и поэтому изложение вопросов теории генерации будет ограничено одномерным случаем. Предположим, что векторный потенциал лазерного излучения можно искать в следующсл> в>«де: А (х, Г) =-. А, (х, >) ехр (Йх — йи) 1- + А> (х, !) ехр( — Йх+!гэ!) + + А.
(х, () ехр ( — Йх — !о») —;. -, 'А$(х, 1) ехр(йх-'з(ь>1). (Ч). 149) Ампл»туда А, (х, !) характеризует волну, распространяющуюся вправо (в положительном направлении осн х), 234 амплитуда А, (х, 1) характеризует волну, распространяющуюся в обратном направлении. Примем, что амплитуды волн А, (х, !) и А, (х, г) как функции х и Г медленно меняются по сравнению с экспонентами. Направления А, и А, характеризуют поляризацию волны и лежат в плоскости, перпендикулярной оси х.
Предположим, что направления А, и А, не изменяются и совпадают с направлением «токов перехода» отдельных атомов. Волны с перпендикулярной поляризацией резонансного взаимодействия не испытывают. Зависимость амплитуд от х и 1 будет определяться изменением интенсивности и фазы лазерного излучения из-за самих процессов генерации, которые характеризуются определенным временем нарастания и затухания импульса. Время, характерное для установления лазерного излучения, должно быть значительно болыпе периода волны. Только в этом случае волна может считаться почти мопохроматичной. Эксперимент показывает, что это условие выполняется с больпшм запасом. Кроме этой причины зависимость амплитуд от х и ! можст быть вызвана следующим обстоятельством. '3'",1: Допустим, что имеется ие одна, а несколько продольных мод.
Поскольку атомы усиливают только то излучение, частота которого лежит в области резонанса, то соответствующая область частот Ла> ..= — — "1- Лп, отвечающая различным продольным модам, должна умещаться на ширине линии поглощения активных атомов. Например, для рубинового кристалла ширина линии люминесценции равняется à — )О'» сек '.
Следовательно, .;::«~-', > число продольных типов колебаний (Лп =,— — Г) порядка зле 100 при длине элемента 1 — 10 см. Чтобы их можно было различить в спектре излучения, ширина каждой отдельной линии должна быть меньше 0,1 си '. В противном случае линии смазываются и дискретность продольных мод исчезает. Поскольку в выражении (Ч!. !49) в экспоненте фиксируется всегда одно значение й-: — д (Ч). 150) при определенном целочисленном д, то можно принять, что ;:.'-,:Ф::::, все остальные волны с различными «> и >1 включены в амплн- 235 перехода где /㻠— й — .
'— п, ы» --- сйо (»«!. 152) л -= О, ч- 1, -»- 2, »- 3, »ы: ,'У»,з= — - ——,,, ,„са )Л»,е!э е»э„— ы <эо мо 237 туды А» (х, 1) и А, (х, 1). Чтобы их выделить и представить в явном виде, необходимо А, и А, разложить в ряд А, (х, 1) е»"' ""':== У Л»» (х, 1) е»" ' '"", (»1! .! 51) Л,. Здесь п принимает целочисленные значения от нуля до ве- личины порядка 10 — 100: В то же время само 1< дается формулой (»«1. !50), причем величина <) !О'. Следовательно, функции А, (х, 1) и А, (х, 1) даже в случае многих продольных мод являются действительно медленно меняющимися по сравнению с экспонентой, входящей в (»11.
149). Если амплитуды А» ., (х, 1) для нестационарного режима являются достаточно медленно меняющимися функциями х и 1, то различные продольные моды разделяются. Спектральная ширина ках<дой моды должна быть порядка 1 Л1, где <»1 — время, требуемое для высвечивания одной моды, т. е. время, за которое амплитуды А',', (х, 1) изменяются на порядок величины. В стационарном режиме Л,', (х, 1) от времени не зависят, хотя зависимость от х остается. В резонаторе с почти полностью отражающими зеркалами зависимость от х изменяется настолько медленно, что изменением амплитуд ца длине резонатора можно пренебречь. Несмотря на то, что А'„, (х, 1) в стационарном режиме постоянны, вся картина значительно усложняется вследствие нелинейности уравнений генерация, поскольку различные моды взаимодействуют друг с другом, и появляется временная зависимость из-за различных экспоненциальных множителей (»1!. !51).
Поэтому стацнонарньп» режим при наличии нескольких взаимодействующих мод должен характеризоваться колебаниями интенсивности, частота которых определяется разностями частот различных возбужденных продальных мод. Специальной селекцией можно свести число возбужденных мод к минимуму и, в конечном счете, к одной моде. Именно последний случай представляет наибольший интерес для сравнения теории с экспериментом. Фактически в настоящем параграфе рассматривается одномодовый генератор, работающий в стационарном и нестационарном режимах без предположения о дипольности взаимодействия.
Подчеркнем, что, как показывают вычисления, интерференция прямой и обратной волн зависит от мультипольности Перейдем к уравнениям, описывающим генерацию излучения в одномерном генераторе. Вывод уравнений дается несколько схематично, поскольку он подобен соответствующему выводу уравнений для усилителя, подробно рассмотренному в предыдущих параграфах этой главы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
