Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Фактор г(г,х) фактически учитывает интерференцию прямой и обратной волн в резонаторе. Эта интерференция, как видно, сущест; венца, во-первых, при болыпой иелппейности среды и, вовторых, при высокой когерсптности. В противном случае, ;-. когда 4 !» а,а» ! г (Л х) ), 1, ( !»1. 194) ';,, в уравнениях (!«!.!9!) можно положить Лэ ! === О, а Л, принимает значение, соответстнующее теории баланса.
При этом для интенсивностей,/, приходим к балансным уравнениям. Поскольку в генераторе прямая и обратная волны :., связаны друг с др)том, то величина интерферснциоппого ':: интеграла г будет определяться когереитностью одной из волн. В симметричном генераторе, например„..*г (1, х) =— , (1, ! — х), где 1 — длина резонатора. Следователю!о, г =- ) .»«; («', х) .-., («', 1 — х) «1«'. о ', :"'' и. интерференция будет существенной только при условии «кю где 1,»о» длн!ш когерентности излучения. В обратном предельном случае (1„„",; !) волны иптерферируют только на небольшом участке около зеркал резонатора, и такая интерференция не может оказаться сущестненной. Отметим, что при выполнении условия ()р,„-,- — ')«> ! полученные уравнения переходят в уравнения (!«1.
!77) =;-,.:, стационарного режима. Рассмотрим теперь два примера, для которых уравнения (р'1.19!) — (Ч!.193) допускают аналитическое решение. П р и и е р !. Рассмотрим оптический генератор с мгновенным включением добротности (см. гл. А!11). Если резонатор образован полностью отражающими зеркаламн и начальные условия от х не зависят, причем, (О) =- ', (О) (в начале возбуждена одна продольная мода), то н в любой момент времени поля не зависят от х и равны друг другу 1,.-' с (Г) ':-.,с и (!) ). Полагая е =--. О, о,=-оп=- о,,7с — ' 7г ='- 7 пренебрегая накачкой и спонтанными потерями, преобразуем уравнения (р'1.!9!) к аиду -аа (.Уш) ар — ', — '„',-+(),7 — — ",'"' —,",- ~ ' 7, ~4 ~,7(Т)(! ~ ~ .
(Ъ'1.195) Приближение баланс~ой теории соответствует тому, что вместо функции уа стоит единица, Интегрируя это уравнение по г н вводя обозначение Ф (с =- '1,7(Т) с(Г', (р'1. 196) получим — „, -:-.7 (0)+ 4~ )-11 — е. "'с!а(4оЯ)) — ср(с, (Ч!.197) откуда 250 аао х . (У1. 198) 4р,с!О)-;. сад(О) — сей(0) е п)а(х) — с(Ь Определим излученную энергию за время генерации, которая характеризуется величиной 1~ (ео).
Поскольку она соответствует максимальному значению Я (!), то, полагая ~ ! =- О, из (Ъ'1.197) при условии 47(0) < сЛ(0) имеем 4оЯ(со) =. ( ) (1 — е-ааск' )Уа(4о(~(со)1) (а'1.199) апар где Лп,р —— . р!и. В приближении балансной теории излученная энергия определяется выражением 4рЯа( о) =- ~ ! ) 11 — е ""а'"'1,,(а'1.199') Лпар Сравнение этих формул показывает, что прн Л (О)/Лп, >: 1 Я (ер) и ()а (рр) практически не отличаются друг от друга.
Максимальное отклонение этих величин имеет место прн Л (0)~'Лп,р 3, и Я (ео) 'Я» (ео) составляет при этом 0,75 П р и м е р 2, Рассмотрим прохождение прямоугольного импульса длительностью Т через активный образец ":..., . длиной !. Предположим, что импульс падает иа левый просветленный торец образца. Правый торец является отра- 7' жающим с коэс(хрицнентом отражения г. Будем считать, что входной сигнал является настолько мощным, что изменением его интенсивности при прохождении активной среды в первом приближении можно пренебречь. Подставляя в правые части уравнений (Ч1.191) вместо .4с и ~е их граничные значения, с помощью теории возмущений можно найти небольшие поправки к;.с, и,-,а',.
Границы применяемости этого метода определяются условием 2гоЯа '.с 1, где Оа — полное число падающих квантов. Мы не будем приводить здесь общих формул, поскольку они очень громоздки. Отметим только следующее: если !и„(; 1, то результаты точной теории практически не отличаются от результатов балансной теории (для прямоугольного импульса длительностью Т роль длины когерентности играет величина !а„, =- сТ). В обратном предельномслучае, когда4оЯ,! ';: !и„, и когда г не очень близко к единице (точнее, 2оЯа (! — г);! 1), имеют место следующие простые формулы: (~с — "(! — г) ~Яа+ —,) Я ---г (9а+ —,) '":;' где !',), н Яа — число квантов, выходящих через правый !:": и левый торцы образца соответственно.
Приведем для сравнения аналогичные формулы баланс- -'.-,:-,";;";::;:, ной теории Я =-(1 — ) ( ()~+2 Яза-..г ~ 0а+ — ", Отметим одну интересную особенность этих формул: Ра ()си Оа: — ~~~а )сара=-);)а-1- 2 ":;" 'т,'; е. суммарная энергия выходящего излучения в обеих свор~як получается одной и той же, хотя распределение ее оказывается различныы. 251 'у ОПТИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ, РАБОТАЮЩИЕ В СТАЦИОНАРНОМ И КВАЗИСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМАХ !. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТРЕХУРОВНЕВЫХ ГЕНЕРАТОРОВ СТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА Основные соотношения.
Исследование стационарного режима излучения оптических генераторов начнем со случая трехуровневой активной среды,,ъчя которой исходные уравнения в дипольном приближении могут быть записаны в следующем виде 1см. (Ъ«1.177)1: при граничных условиях :71е -' «Дае при х-= О, ;721=' «2,711 При х= 1'. (Ъ«!!. 4) Для волны, выходящей из резонатора через зеркало с коэффициентом отражения г, (см. рис. Ъ'.4), плотность — — — у 1 йг1а 1- — — + 2О (7 р.72) 1 — 16О21 7 .~2— — ~)АЙ!2! — — )" 2О21(71 —,72)~ — 11,71 (Ъ«111) 221 ) — — — ( 8212 1 — -1 2О21(71-',,72) ~ — 16О»1,7„7,—- — (((212-1 — ) — 2О„(7, . 72)) 1.
(),'72, (Ъ'!1.2) 1 221 ( 1 !р,,,— — ) ие Л =- 'и .... (Ъ«11.3) 1 1П12 — +зов! (т1: «гз) ) — 1ба!1.т1л"2 ;к потока фотонов будет равна"';/, -"=,711 (1 — г ), а для обрат- ,81-',е нОЙ ВОлны. распространя1Опшйся В противоположном направлении, Ах ==: „7„(! — г,). Следовательно, выходные мощности соответственно равны )а12 '-"- а(1ч12 (! — 12) '7П )222 - зле!2 (1 — 11) 72е (Ъ'11 6) где а — площадь поперечного сечения образца. Строгое решение уравнений (711.!) — (Ъ«1!.
3) в общем виде возможно лнп1ь численнымн методами 13!81 Однако в том случае, когда внутренние потери в образце отсутствуют, т. е. () --О, может быть получено достаточно простое соотношение для выходной мощности. В этом случае с помощью замены переменных 1!76, !771 2<121221 и -: — — ", =(,7 —;7), к -1 ; =: ~у«1+ — 4„'."."1зь(,7, .
л)+(-' — „'.-'=.,'-' —;-' ) (7, -,72)'-1 (Ъ'1!.6) уравнения (Ъ'1!.!), (Ъ'11.2) приводятся к виду ни к — 1 е — ==. Са,па-- — —.—, йк к; ! о.1-! ' (Ъ«11,7) 1!в к -.! и =" О21ле ~1х к '-!е:, 1 Безразмерный параметр к=- В'1зт1 пропорционален интенсивности возбуждающего излучения. В дальнейшем изложении он будет широко использоваться для характеристики уровня накачки.
Как было показано выше !см. формулу (Ъг.!7)1, при отсутствии потерь в резо- 1 наторе пороговое условие имеет вид )Г«12~ —, т. е. к ~ 1. Таким образом, грубо говоря, величина к показывает, во сколько раз мощность накачки превышает пороговый уровень при 1! =- О и г =- 1. Интегрируя систему (Ъ«1!.7), получим и — 02 С1, (Ъ'11.8) и -', 1п (и 1 )«иа -:, С,) --- с.„п, ":, х -! Са, (Ъ'11.9) 1 "210к,! где С, и С,— постоянные интегрирования. ' Поглощение излучения в зеркалах ве учитывается. 2ОЗ 1 где г аз!та! Уг! Х! 1' гггз(те!тз!Уг! Хз 1 )- аз!та!"'з! та 1»г!г,,азин! т!! — кт,) 1 »1 йг, з == 4 ( р панче(к — 1) — (!'+ 1) лк 4- ф' ~ — оа!по (к — 1) — (к .1-!) 1 — 16га(аа,та, 7,!). '~~, / !2 Легко видеть, что уравнения (Ч!1.
П)) — (Ч1!.!8) получаются нз уравнений (Ч!1.!) — (Ч11.3), если в послед- них произвести разложение корня Гг )г ( (г!зч! -т, -чс2ат!(7! ' ~з) 1 — 16оз!7!7»-. 3! !(т!з; — +2аа!(д! );Уз) 1: т ! йгп!:.— - '-2ат!(г! 1-»7з) 1 тм н отбросить все члены ряда, начиная со второго. Параметр разложения будет много меньше единицы, если выполняется одно из двух условии: 1);7! и,у„резко отличаются по величине, например ;У! ... дз или наоборот, 2) 7! и.у,одного порядка, но(р'!з-! 1,'та,:,'" 2а ! ( !! 1-,7з). Можно заметить, что в наихудшем варианте поправоч- ный член может составлять около 50".о от первого члена. Все это указывает на то, что приближенная теория может давать неплохие оценочные результаты.
Первый интеграл уравнений (Ч11.16), (ЧП.17) имеет вид 5!.уз =-С::=»,уг! == —,7!о, (ЧП.! 9) г! откуда вытекает следующее выражение для соотношения выходных мощностей Р!» и Рзх, излучаемых через противоположные зеркала оптического резонатора (см. рис. Ч.4): !д — гг ! 1 га (ЧП 20) Решая уравнения (Ч11.!6) — (Ч11.18) с учетом граничных условий (Ч!1.4), нетрудно получить соотношение !181! — амиа !к --1) 11-:! ')»! — — Я вЂ” '-' — — ":х 2() (Х! -кз) » зр ь гш о га Рис. Ч!1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
