Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Прн дальнейшем росте .ФР,::: интенсивности (или уменьшении Г), когда начинает выполняться условие (Ъ'!.1!3), усиление уменьшается по абсолютиой величине и приобретает осцилляторный характер. ' $о Ес.чп пол|юе число фотонов во входном импульсе равно ,7,т, где т — длительность импульса, то интегрирование формул (Ч1.115) и (Ъ'!. !04) по времени при условии тГ > ! ! тУ::":;,"'::: н оо7т >. 1 приводит к одному и тому же результату 1,7 П=,7, ~!+ — ',"-"- — '~, (Ъ!.!ГТ) который соответствует высвечиванию половины всех возбужденных атомов. Таким образом, нахождение эффекта 223 по измерению полной энергии требует создания импу.»хь сов, длительность которых сравнима или меньше 1/Г.
Д',р "ь гой способ обнаружения эффекта связан с изучением еа»ектральных характеристик усиленного импульса. Если аиьаписать формулу для векторного потенциала, соответс.гиеующую формуле (Ч1.115) (которая отличается лишь матсэжителем 1/2 перед поправочным членом), то легко вах,исеть, что в спектре появятся боковые частоты, сдвинутые сгхносительно со на частоту уо. В действительности появлтюится ряд эквидистантно расположенных частот, поскольку следующие члены разложения приведут к колебаниям екн-генсивности с двойной, тройной и друп»ми частотами, Гласим образом, изучение спектральных характеристик иыггу.л~ьса после прохождения его через резонансную среду васезкет привести к экспериментальному обнаружению эффеэста.
Для ечь О и Г чь О решение кубического уравэх<:атия (Ч1.81) и исследование соответствующих предельных случаев несколько громоздко, и поэтому приведем лишь ейтюрмулы для интенсивности: гд -г 7 7,( ! + гоод "е ' (А+В+С) ) Х прн (ЧХ й18) где 2 ~ 2(а+3) — —, А ==-, соз —,(а — 6) 1» — — ~! >с = З(З( +Л)е+( — Л)е! 2 с ) мехр( ' (» — —,-)); 2(а+3)е — 3 (а+Ы ( 3( +3) +( — ) 1 хяп — а — 6)(» — — ) ехр[ а ' (» — — ") ~; 2( ! — 2( +3) ) С:.= —...
ехр ( — (а+ 6) (» — — ) (Чх е 19) , .» т/О)'/', 6=( +~,.»вЂ” !)'/о,- =- ( 3 )' 6 (у,, ",е „) +, ',""", 2л(дИедо р /., г '1 ао!сз 2с ! 2 / (Ч!.124) — (2 Уо(цр) ) +( — !с) + щ ( 3 ) . (Ч!.120) Приближение постоянного Л. Рассмотрим еще одно приближеяие, прн котором уравнения (Ч!.55) — (Ч1.58) с начальпымн и граничными условиями (Ч1.33) и (Ч1.34) поддаются решению 1272, 1511.
Для получении исходного выражения продифференцируем уравнение (Ч1.56) по времени и воспользуемся уравнением (Ч!.57). Тогда, исключая переменную р, получим . р А '! 2"Л(о(( А=-О. (Ч!121) 2 ) Ьмс Рассмотрим случай, когда свет, проходя через резонансную среду, слабо изменяет начальную величину инверсной населенности Л,. Тогда можно положить Ло" Л~(х, ») Ло Л1(х, ») 'й Ло (Ч! !22) Исследование уравнения (Ч!.121) показывает, что при ,"1г прохождении импульса через среду с Л ~= О его форма искажается.
Математически это означает, что уравнение (Ч1.!21) в общем случае не допускает решений вида А (х, ») = / (х) ~о (» — — — ) . Как можно убелиться, решения подобного типа могут быть получены лишь в приближении, когда осуществляется переход к соотношениям баланса. Сделаем замену переменных х==х, у ==- с» — х. (Ч1.!23) Тогда из (Ч1.12!) получим — + и — +-Р- —,— ЬА =.О, (Ч1.121') 'ф!:- Где г . е а =-.— —;— !— 2с ' с !е-ое1 225 Пусть импульс на входе усилителя задается дифференцируемой функцией времени А (х, д) !х, =- Е (д) = Р (с,!), (Н! А 25) причем Е(0)=: —.О.
Кроме того, положим А (х, д)!, „ =-= О. (Н!.125') Это означает, что скорость переднего фронта импульса не может превышать скорость света с. Отметим, что условнямн (чг!.!25) и (Н!.125') значения ф нкций А (х, д) заданы на двух характеристиках (х ==-- О, фу — 0) ння (Н1.121'). Уравнение д =- 0 выделяет на плоскости (х, д) характеристику уравнения (Ъ . '), соответствующу1о фронту импульса, распространюощегося скоростью с.
Решение гиперболического уравнения с подобными начальными условиями представляет с специальную задачу Коши (задача Гурса). Решение уравнения (Н1.!2Г) с начальными и граничными условиями можно получить, используя метод Римана 13151, Этот метод позволяет найти интегральное представление решения в некоторой точке (с, т1) плоскости (х, ), если известны значения функции на двух пересекающихся характеристиках. Решение имеет следующий вид (при р == 0): А(х, д):-.=г" (д) -1-е' " ~ Е(п) 1/ — ' х а х 7, (2 ')~бх (д — и)) е""г(и, (Н!. !26) где 1, — модифицированная функция Бесселя первого порядка. Это выражение определяет вид сигнала в среде при произвольном входном импульсе Г (д).
Выражение (Н!.!26) было исследовано 12721 для частного случая, когда входной импульс имеет вид Г(д) паде 'х э-пас!с ч . (Н1,127) При этом было выяснено, что прп выполнении условий Гт;. 1, Р-;з о';Л„!х и л — „" ! (Н!.128) формула (Н !.126) приводит к результатам балансной теории, т. е. экспоненцнальному росту интенсивности излучения ,7 =,7ае" ха'.
Условия (Н!.!28) накладывают ограничение на длительность распространяющегося импульса или, иначе, на его спектр. Очевидна, что ширина спектра должна быть мала по сравнению с шириной линни Г. На рис. Н(А изображен импульс в некотором сечении .к усилителя при различных длнтелшюстях входною импуль- Па !;!!г:„:: —. г. гпа и г з а э а х г/~ Рпс. Н!.4. Форма выходного пмпульса прн различных значениях т в слччае д:-сопзк са, определяемого параметром т. По оси абсцисс отложено время в единицах т, отсчитываемое с момента прихода -;;::::.- -': фронта импульса в данное сечение х (Г -: à — х'с), по осн ординат — отношение интенсивности выходного излучения к максималыюй интенсивности входного импуль'::,';;:.
са,7а Расчет проводился путем численного интегрирования выражения (И.!26) на электронной вычисчительпой машине применительно к случаю рубиновой среды, находящейся прн температуре жидкого азота Видно, что по мере уменьшения длительности т отно". —;:;:шенин,777а уменьшается н происходит расширение импульса прн его распространении в активной среде. Кроме того, наблюдается запаздывание максимума импульса, что экви.""',::;::;:: валентно уменьшению скорости его движения. Заметим, хл ' 15* 227 226 л/аа 1'а — ведах 4 — рХ+ 4 + ,7 (га') == 7а (то')ехр (Ъ'1.1301 е т что кривая, соответствующая т =- 10 а сек, практически повторяет форму входного сигнала, Проведенное рассмотрение справедливо при условии малого изменения Л, которое накладывает ограничение на энергию импульса Сг.
Пределы применимости расчетов легко определя1отся из уравнения (Ъ'1.1). Например, прн выполнении условий (Ъг!.128) можно получить (,г '<-,—. хо Для исследования спектральных характеристик усиливаемого сигнала проще исходить непосредственно из уравнения (Ъ'! .121'). Разложим -г — (сг-и) А(х,1)ега -гаг=-А(х, р)е с в интеграл Фурье по переменной у =-- с1 — х , ег Ю' А(х 11)с Я . ~ А(га') е с с(со' Подставляя полученное разложение в уравнение(Ъг!.!21') получим 1 — с (м' — га) ме Ь А (го') =.-- г (ор) ехр —, х, (Ъг1.
129) а — — (го' — м] г. где Р(со') — компонента Фурье векторного потенциала входного сигнала. Для нахождения интенсивности сигнала в интервале частот го' и со' + Лга' необходимо ввести выражение ! А (го') !'. Используя выражение (Ъ'1.129), легко находим ,уа (га') есть спектральная плотность интенсивности входного сигнала. Формула (Ъг1.130) получена в работе А. М. Прохорова (1881. Случай произвольного изменения А и Л.
В случае входного импульса произвольной формы и интенсивности, когда изменением величин А или Л нельзя пре. небречь, уравнения (Ч1.56) — (Ъ'!.58) решались численно на электронной вычислительной машине. В начальньгй момент в среде (х га 0) задавались значения Л == Л,, р = — О, А =- О. На входе усилителя при х =- 0 задавался векторный потенциал. Условие (Ъ'1.125') предполагалось выполненным.
Расстройкой резонанса пренебрегалось. -ца Рис. Ч!.о. Форма сигнала иа выходе усилителя при больпюй иитеисивиости входного иалучеиия. Для иллюстрации на рис, Ъг(.5 приведена одна из зависимостей, характеризующих изменение выходной интенсивности и инверсной населенности для случая рубиновой среды, находящейся при температуре жидкого азота (Г == = 0,3 гн ', р == О). Входной импульс задавался в виде (Ъг1.!27) с интенсивностью в максимуме, равной,7„=- = 10" фОЛГОНIФИа СЕКТ И дЛнтЕЛЫЮСтЬЮ т = 10-" СЕК. По оси ординат отложена величина Ф=-,'( -й Кривая интенсивности иллюстрирует уменьшение дли. тельности импульса после прохождения слоя активной среды толщиной 3 си.
Входная интенсивность выбиралась настолько большой, чтобы можно было наблюдать небольшие осцилляции интенсивности выходного излучения. Приведенная зависимость иллюстрирует также осцилляции инверсной населенности, которая может прияимать даже отрицательные значения (пунктирная кривая). В заключение отметим, что во всех рассмотренных выше численных примерах использовались данные для рубинового усилителя, Это делалось только ради иллюстрации эффектов, наблюдение которых в других активных средах может оказаться значительно более перспективным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
