Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические генераторы на твердом теле (1967) (1095904), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Поскольку имеет место равенство то уравнение (Ч1.43') можно переписать в виде А' (х, 1) — А' (О, 1 — х):.= (е, о н ! (4 ~ Х(,,с)а;-) — '=-. 10, 1-Ю О Заменим теперь интегрирование по переменной з на интегрирование по переменной 1, вдоль выбранного направ- ленин. Тогда получим А' (х, 1) — Х (О, 1 — х) == — ~ з1~ ( 4 ~ Х (1,— 1+х, с) сЦ ~ е1(о (Ъ1.45) Легко видеть, что увеличение А' (х, 1) с расстоянием происходит медленнее, чем роет х. Уравнение (Ч1А5) решается численнымн методами, Легко получить первые члены, если применить метод итераций.
Полученный ряд при этом быстро сходится. В качестве нулевого приближения можно взять член А' (О, 1 — х), который соответствует распространяющемуся в активной среде входному импульсу. Согласно отмеченной выше постановке задачи, входной импульс на границе (х =- 0) задан формулой (Ч1.34). Отметим также, что полученное решение справедливо в области х>0, 1>0. Кроме того, прн 1> х полагаем А' (х, 1) =- О, В противном случае фронт импульса распространялся бы со скоростью, превышающей скорость света.
Рассмотрим пример: пусть на вход поступает прямоугольный импульс длительностью т и амплитудой Р. г Г при т>1>0, ~( О прн 1>т. При 1 = 0 импульс входит в активную среду, начало которой совмещено с х = О. Тогда после прохождения в среде расстояния х амплитуда поля А' (х, 1) будет определяться следующими выражениями: А'(х, 1) ==О при 1 — х<0, Х(х, 1) =--.Р ~ х~!п4Г(1 — х)+ „„., х х ~ сои ~ —. (сов 4г" (1 — х) — 11~ — 1 ~ +'... прн т>! — х>0, (Ч1.47) А'(х, 1) — - ь хи!п 4Рт+ ~~~4,— — ус ~ )соз ( — "(соз4гт — 1)1 — 11 ь... прн 1. Р Ряд хорошо сходится, когда — „:с !. Тогда х» ,4' (х, 1) =-Е 4- хз1п4Е(! — х) — —,„.
(соз4Е(à — х) — 11+... прн т>1 — х>0. (Ч!.48) Для малых начальных интенсивностей, когда 4Р (! — х) с( < 1, необходимо выполнить еще условие х (1 — х) «!. В этом случае ряд (Ч1.47) перепишется в виде А' (х, !) ==- Р + 4Рх(! — х) ст — х'(! — х)»+... (ЧЕ49) Как видно из формулы (Ч1.47), характерной чертой реше ния является наличие осцилляций с амплитудой, пропор циональной х', и с частотой И ч/Е. !;И!» где 74 — интенсивность входного импульса Уравнения для усилителя с учетом релаксациоиных процессов и связь с приближенными уравнениями.
Мы ознакомились уже с некоторыми свойствами решений, к которьи приводят квазиклассическне уравнения. Характерной особенностью этих решений являются квантовые осцилляции, которые происходят с частотой порядка рс либо 1)тс. С другой стороны, решения приближенных уравнений балансной теории в аналогичной ситуации приводят к монотонной зависимости от врс. мени и какие-либо осцилляции отсутствуют. В основе такого противоречия лежит различный физический подход к решению задачи. С одной стороны, мы используем статистические уравнения (уравнения баланса), с другой микроскопические уравнения Шредингера, Это различие хорошо иллюстрируется различным поведением магнитного момента в постоянном магнитном поле. Если написать микроскопические уравнения для изолированного магнитного момента, находящегося в поле Н, и =-р(м, Н), то легко видеть, что момент будет прецесснровать (а не устанавливаться вдоль поля) с частотой рО вокруг направления магнитного поля.
В квантовой механике прецессия 210 ! момента заменяется перебросом спиноз с различными направлениями относительно магнитного поля. Ориентировки вдоль направления поля здесь также не происходит. Момент устанавливается вдоль поля только при наличии дополнительных сил, которые обычно вводят феноменолотически. Они учитывают релаксацию (установление вдоль поля) спина в результате взаимодействия с окружа1ощей средой.
Нечто аналогичное должно происходить и в нашей задаче„если мы учтем взаимодействие величин Л, р, Л с окружающей средой. Под окружающей средой здесь попима1отся все внешние факторы, действующие и на активные атомы, и на электромагнитное поле. Изложенные выше решения останутся в силе только в том случае, если процессы релаксации идут достаточно медленно. Строго говоря, осцилляцин можно наблюдать только в тех случаях, когда их'период значительно меньше времен релаксации. Учет взаимодействия с внешней средой для электромагнитного поля производится обычным методом.
Вводится комплексная диэлектрическая и магнитная восприимчи;:""'-::, вость среды в уравнения Максвелла, т. е. смикроскопические» уравнения Максвелла, которыми мы пользовались, заменяются макроскопическим уравнением. При этом нужно помнить, что взаимодействие активных атомов с электромагнитным полем в уравнениях уже учтено, поэтому вклад в е или р будут давать только неактивные атомы, искажения кристаллической решетки, взаимодействие с фононами и т. д. Макроскопическое уравнение для векторного потенциала получается из уравнения Максвелла го1 Н вЂ” - — оЕ+ — — -+ — 1.
4я , е дЕ 4а (Ч1. 50) с ' с дс с С помощью подстановки 1 дА с дг Е:=- — — —, Н =-- го1 А уравнение (Ч!.50) при условии б)ч А =- 0 можно переписать 7'; в виде е д»А 4яо дА 4п ч"А — — — — — ',: — — =-: — — ' !. (Ч!.51) с» дс» с» д1 с Ищем решение уравнения (Ч1,51) в виде (Ч!.4), где (Ч! 52) 211 (Ъ'!.58) (Ъ'1.54) ('Ч1. 55) Через с обозначена скорость света в среде Подстановка приводит к уравненичо дд, ! дА, 2па 2лз —.,„— „-,о» + А = — !е~ш-зо» д» о д! — — ~»о-ы» Обозначим ности, приведенным в гл.
Ъ' 1например, (Ъ'.15)!. Они не зависят от фазовых соотношений и поэтому должны иметь один н тот же вид — + Л ~~а+ — ) — по (ЙГго — — ) =' — — — (АР +РА ) д!' 1 т3 «1 сй (Ч1. 58) Уравнение (Ъ'!.58) можно переписать в виде д,-+ т =- —,а (АР'+ РА') (Ъ! 59) да, Л-До 2 где В дальнейшем при изложении гл. Ъ'1 мы не делаем различия между величинами о и с. Окончательно уравнение для потенциалов примет вид (ср. с Ъ1.
2!) д ' д! ' 2 Введем релаксацнонные члены для величин Л и р. Помимо взаимодействия с электромагнитным полем необходимо ввести взаимодействие активных атомов с окружающей средой, Как мы увидим (см. приложение), для описания системы двухуровневых атомов очень удобно пользоваться двухрядными матрицами Паули. Тогда энергию взаимодействия таких атомов с внешней средой можно представить в самом общем виде !', =-. ~ (о",Топ» о',Р++ о*.Т'), где о,', а'.'., о' — матрицы Паули, описывающие 1-й атом; Рз, ЄР— описывают окружающую среду. Тогда, пользуясь методом Блоха !174, 1771, можно показать, что учет релаксации приводит к дополнительным членам, которые нужно добавить в уравнения (Ъг1.26) и (Ъ'1.28).
В случае так называемой «однородной релаксации» уравнение для р примет внд Величина Г характеризует силу взаимодействия атомов с внешним окружением и одинакова для всех атомов. Этим объясняется название «однородная релаксация». Дополнительные члены для уравнения (Ъ'1.26) легко получить, сравнивая его с уравнением для инверсной населен- "1 — ') Т, =,; Л, =-, . (Ъ'1.60) !з к+ — ' Ж+ — ' зз 2 Иногда величину Т, и величину Т, =- — называют врет менем продольной и поперечной релаксации, Уравнения (И.56), (Ъ'1.57) и (Ъ'1.58) составляют полную систему ;3::. уравнениЙ, описывающую процесс прохождения импульса ",4 ч через реальную активную среду. Выясним физический смысл введенных релаксацнонных членов.
Величина уо (или 1(то) характеризует время колебательного процесса при усилении проходящего через среду импульса, т. е. про«»-,.ч цессы колебания интенсивности, изменения инверсной ":е-;!;:; ,'',»'". населенности и тока (величнны р) происходят с частотой уо. Помимо процессов взаимодействия с электромагнитным полем необходимо учитывать также процессы взаимодействия атомов с окружающей средой, например с кристаллической решеткой в твердых актпннь!х кристаллических элементах. Процессы релаксации не будут суц!ественным образом изменять полученные выше результаты, если они протекают достаточно медленно относительно величины 1/уо. Кроме того, если время наблюдения меньше времени релаксации, то релаксацией можно пренебречь.
Если же выполнено обратное неравенство, то результаты расчетов должны существенным образом измениться. Для конкретности рассмотрим учет процессов релаксации на примере рубинового усилителя. Аналогичное рассмотрение легко провести и для других элементов.
5 Взаимодействие с окружающими атомами или с кристаллической решеткой в целом приводит к двум различным эффектам. Прежде всего оно может привести к изме- 213 ! ~ в+Я Вынося их за знак интеграла н считая, что время наблюдения значительно превосходит !44, но остается настолько малым, что изменениями А и Л можно пренебречь, получим р((, х):»» —;„— ' А»» ! 24 !э ! (У!.62) па+ 2 Уравнение (Ч!.59), используя формулу (Ъ'1.62), перепишем в следующем виде: дд, д — Л, — '+ — ' — ' =-- — 2,7Ло, д! Т» (У!.63) где 2п)М14 Г и .== —— с.й»»» ', Гэ аз+в 4 (Ч1.64) 214 нению инверсной населенности Л, Иапример, за счет безызлучательных переходов энергия возбуждения не излучается в виде кванта, а передается решетке.
Возможны также процессы излучения кванта с одновременным излучением одного или нескольких фононов. Перечисленные процессы для рабочего уровня рубинового усилителя протекают медленно со временем порядка спонтанных переходов (!О ' сок), и влиянием этих релаксационных процессов на рассматриваемые эффекты можно пренебречь. Однако процессы, связанные с релаксацией р, протекают очень быстро, и их необходимо учитывать. Величина р быстро изменяется при взаимодействии с решеткой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
