Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 44
Текст из файла (страница 44)
2. При а = 0,99 она минимально устойчива. 3. При а = ! систем» пстснпиасьнс нсусюйчива. 4. При а = 1, 5 сна неустойчива. Заметим, например, что при а = 0,5 значения импульсной характеристики быстро спалают при увеличении и, тогда как при а = 1,5 значения импульсной хараатеристики бьитро возрастают )гз(га)! с 6=0 (4.53) где 72()а) — импульсная характеристика системы. Очевидно, что если импульсная характеристика конечна, то вышеприведенное условие удовлетворяется, поскольку сумма коэффициентов импульсной характеристики будет конечной. Таким образом, исследование устойчивости применимо только к системам с импульсной характеристикой бесконечной длины.
Чтобы выход был ограниченным, все полюсы должны лежать внутри единичной окружности. Если полюс лежит за пределами единичной окружности, система неустойчива. На практике система с полюсом, лежащим на единичной окружности, также считается неустойчивой или потенциально неустойчивой, поскольку незначительное возмущение или ошибка обязательно приведут систему в состояние неустойчивости.
Исключение составляет тот случай, когда полюс на единичной окружности совпадает с нулем, так что его действие компенсируется. Импульсная характеристика неустойчивой системы будет бесконечно расти со временем. В принципе, проверка на устойчивость очень проста: найти положение полюсов лпреобразования. Если какой-либо полюс находится на единичной окружности или за ее пределами (если только он не совпадает с нулем на единичной окружности), система неустойчива. На практике же определение положения полюсов может оказаться совсем не простой задачей. сигналы.
Это так называемое условие ОВОВ (ограинченного входа, ограниченного выхода). Говорят, что ЛИВ-система ОВОВ-устойчива тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию Глава 4. Применение г-преобразования в обработке сигналов Простая проверка, которой можно воспользоваться, если з-образ системы Н(з) нельзя разложить на множители, — это найти достаточное количество значений импульсной характеристики и построить их график, вычислив обратное з-преобразование. Если импульсная характеристика бесконечно увеличивается со временем или достаточно быстро спадает до нуля, то система либо неустойчива, либо минимально устойчива. На рис.
4.13 показаны примеры поведения импульсной характеристики простой системы дискретного времени прн различных степенях устойчивости. Другие, более изощренные, тесты на устойчивость можно найти в специализированных учебниках по з-преобразованию (например, (2, 4]). Далее тема исследования устойчивости для систем второго порядка развивается в главе 8. 4.5.6. с Разностные уравнения Разностное уравнение описывает реальные действия, которые система дискретного времени должна произвести над входными данными во временной области, чтобы получить необходимый выход.
Разностное уравнение для большинства важных практических случаев можно записать в таком виде: у(п) = ~ а«х(п — Й) — ~ Ь„у(п — lс), (4.54) «=о а«х(п — Ь) «-«а«з ~Х(г). Таким образом, уравнение (4.54) можно записать как у(я) = ~~~ а«з ~Х(г) — ~Ь«з «у(г) (4.55) «о Упростив выражение, получим передаточную функцию Н(з) дискретной системы в х-области: Н(х) = — = ~~ а«г «1+ ~~ Ь«г « у(з) ", гг)' (4.56) Если все коэффициенты знаменателя Ь«равны нулю, уравнения (4.54) и (4.55) сводятся к у(п) = 5 )а«х(п — )с), (4.57, а) где х(п) — элемент входной последовательности, у(п) — элемент выходной последовательности, у(п — Ь) — предыдущий выход, а а«., Ь« — коэффициенты системы.
Как следует из уравнения (4.54), текущий выход у(п) получается из настоящего и прошлого элементов входной последовательности и предыдущего выхода у(п — Й). Воспользовавшись свойством задержки з-преобразования, разностные уравнения для систем дискретного времени можно легко получить из передаточных функций, и наоборот: а«х(п) ~-«а«Х(з), 4.б. Некоторые области применения г-преобразования в обработке сигналов 24б Н(х) = — = ~ аьа У(х) Х(х) Теперь выход системы у(л) зависит только от настоящего и прошлого элементов входной последовательности, а не от предыдущего выхода, как в уравнении (4.54).
Коэффициенты а* в данном случае представляют собой импульсную характеристику системы и обычно обозначаются символом 6(й). Этот класс ЛИВ-систем называют системами с конечной импульсной характеристикой (КИХ), поскольку длина последовательности Ь(к) определенно конечна. Системы, которые характеризуются уравнениями (4.54) и (4.56), где по меньшей мере один из коэффициентов знаменателя не равен нулю, называются сисглемами с бесконечной импульсной харакглеристикой(БИХ). В системах БИХ по меньшей мере один из полюсов будет ненулевым, а системы КИХ обычно не имеют полюсов.
(4.57, б) ,'й(г~фДЩ Оценка импульсной характеристики При проектировании систем дискретного времени часто возникает необходимость вычисления значений импульсной характеристики. Например, при проектировании системы КИХ импульсная характеристика требуется для реализации системы, а при проектировании системы БИХ эти значения нужны для анализа устойчивости. Также импульсной характеристикой можно воспользоваться для оценки частотной характеристики системы.
Импульсную характеристику системы дискретного времени можно определить как результат применения обратного х-преобразования к передаточной функции системы Н(х): 6(й) = У '~Н(х)), й = О, 1, Если х-преобразование Н(х) разложить в степенной ряд, т.е. Н(х) = ~Ь(п)х "= (4.53) и=о = 6(О) + 7г(1)х ' + Ь(2)х з + ..., то коэффициенты х-преобразования дают непосредственно импульсную характеристику. Н(х) БИХ-систем часто выражается в виде отношения многочленов, как в уравнении (4.47).
В этом случае для определения импульсной характеристики системы можно воспользоваться методами х ', описанными в разделе 4.3. Для этой цели также используются программы на языке С или коды МАТЮКАВ, которые приводятся в приложении. Импульсную характеристику можно также рассматривать как отклик системы дискретного времени на единичный импульс и(л), значение которого равно 1 при и = О н О при всех остальных значениях л. Такой подход оправдывается тем, что если вход системы сделкгь равным единичному импульсу, х(л) = и(л), то выход системы будет 246 Глава 4. Применение г-лреобраэоеания в обработке сигналов фактически равен 6(п) — импульсной характеристике системы (строго говоря, характеристике единичного элемента): у(п) = ~~~ Гт(/с)х(п — lс) = ~~~ 6(к)и(п — Гс) = к=о к=о (4.59) = Й(0)п(п) + 1т(1)и(п — 1) + 6(2)и(п — 2) + ...
= = 1т(п),п = 0,1,... Это дает простой альтернативный метод вычисления Ь(п) (в действительности получаем еще один метод вычисления обратного х-преобразования), что и проиллюстрировано с помощью следующего примера. Пример'4ЛЗ Найдите импульсную характеристику фильтра дискретного времени, который характеризуется приведенным ниже г-образом 1 — 2 1+0,5х '' 1) с помощью метода разложения в степенной ряд; 2) воспользовавшись единичным импульсом системы. Решение 1. С помощью метода разложения в степенной ряд значения импульсной характеристики можно найти таким образом: 1 — г 1+О 52 1 1 — 1,5г '+0,75з з — 0,375х з+...
— 1,5г — 15* ' — 075 О, 15* 0 75к-а +О 375з-з — 0,375з з Исходя из коэффициентов, вычислим значения импульсной характеристики: 1т(0) = 1:гт(1) = — 1,5;гг(2) = 0,75;6(3) = — 0,325 Конечно, значения импульсной характеристики можно найти и с помощью данной в приложении программы на языке С для разложения в степенной ряд. 2. Во-первгах, исходя из передаточной функции нужно найти разностное уравнение фильтра: 1г(з) 1 х-1 Х(х) 1+0,5к ' 4.5. Некоторые области приманения х-преобразования в обработка сигналов 247 Выполнив перекрестное умножение и воспользовавшись свойством задержки злреобразования, найдем разностное уравнение: У(з) + 0,5)г(з)з ~ = Х(г) — Х(з)з г, у(п) + 0,5у(л — 1) = х(п) — х(п — 1). После упрощения получаем: у(л) = х(п) — х(л — 1) — 0,5у(п — 1). Теперь импульсную характеристику фильтра можно найти, сделав замену х(л) и(л), где и предположив существование начального условия у( — 1) = 0: у(О) =1 у(1) = х(1) — х(0) — 0,5у(0) = 0 — 1 — 0,5 = -1,5 у(2) = х(2) — х(1) — 0,5у(1) = -0,5 х -1,5 = 0,75 у(3) = х(3) — х(2) — 0,5у(2) = — 0,5 х 0,75 = — 0,325 Отсюда значения импульсной характеристики равны 6(0) = 1; Ь(1) = — 1,5; 1з(2) = О, 75; 5(3) = — 0,325.
Видно, что оба метода приводят к одинаковым результатам. (г"-'4,'.$;'(6: Применение в проектировании цифровых фильтров Одна из самых важных областей применения з-преобразования в ЦОС вЂ” это проектирование и анализ ошибок цифровых фильтров, особенно БИХ-фильтров. Это преобразование интенсивно используется для определения козффициентов цифровых фильтров и анализа влияния различных ошибок квантования на работу цифрового фильтра. Например, хорошо известно, что системам дискретного времени, реализованным аппаратным или программным образом, всегда присущи ошибки квантования, вызванные конечной длиной регистра процессоров, применяющихся на практике, а з-преобразование предоставляет удобное средство анализа действия таких ошибок на работу системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
