Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Решение В разложенном виде Х(г) ведается как Х(г) = (г — 0,75)(г+ 0,5) Если положить Р(г) = г" 'Х(г), то и-т Р()= (г — О, 75) (г + О, 5) а (г — 0,75)(г+ 0,5) Функция Р(г) имеет полюсы в точках г = О, 75 и г = — 0,5. Схема контура с обозначенными крестиками положениями полюсов дана на рис.
4.3. Оба полюса лежат внутри контура интегрирования (единичной окружности). Из уравнения (4.2Я) обратное г-преобразование задаегся как х(п) = Вев[Р(г), 0,75] + Вев[Р(г), — 0,5[. Поскольку функция имеет полюсы первого порядка, воспользуемся уравнением (4.31). Таким образом, Вев[Р(г),0,75[ = (г — 0,75)Р(г)[*=отз = — 0 5 (г — О, 75)г" (0,7 )" 4( )„ 0,75+0,5 5 11ев[Р(г), -О, 5[ = (г + О, 5)Р(г)[, (» 0 75)(г + 0 5)[.=- з 5 Обратное г-преобразование — это сумма вычетов в точках г = О, 75 и г = — О, 5: х(п) = (4/5)[(0,75)" — ( — 0,5)"[, что идентично результату полученному методом разложения на элементарные дроби.
4.3. Обратное жпреобразование кахар Ш = т Рис. 4,З, Схема иоитуря иитяптироитиия, дямоиатрирующая роль Х(х) '4ф~ййейр'46 Если полюсы функции Х(з) — комплексно-сопряженные, иайдиге с помощью метода вычетов обратное з-преобразование по данному з-образу: зз + 2з + 1 зт — я + 0,3561 Решение В разложенном виде Х(я) записывается так: из+ 2г+ 1 (з Рт)(з — Рз) где р, = О, 5 + О, 3557т, а рз = О, 5 — О, 35574, т.е.
рз = р,'. Чтобы найти обратное г-преобразование, найдем вычеты Г(я). В нашем случае это и-1( 2+2 +1) (аз+2 +1) зз — я+ 0,3561 з(гз — з+ 0,3561) Полюсы с'(з) такие же, как и у Х(х), т.е, находятся в точках з = р, и я = рз, плюс полюс в точке з = 0 при п = О. Схема контура с обозначенными положениями полюсов показана на рис. 4.4. Все полюсы лежат внутри контура.
Полюса в точке з = О при и > 0 не существует, поэтому нам придется рассмотреть два отдельных случая. При п = 0 с'(я) сводится к з~+ 2з+ 1 з(яз — з + О, 3561) х(0) = Вез[с'(з), О) + Вез[с'(я), р,] + Всв[Г(г), ря). Глава 4. Применение л-преобразования в обработке снлвалов 226 Следовательно, Вю[г(а),о] = лг'(з)[, з(гз + 2з + 1) а(зз — а + 0,3561) = 1/0,3561 = 2,8082 В [Р( ) р ] = ( — р )Р'( )].=„= (г — р1)(аз + 2а+ 1) а(" Р1Нз Рв) (ге'в)з+ 2те" + 1 тевв(ге'в — те 'в) Вез[г'(з), р,] = — О, 9041 — 5, 9928в1 Посюльку р1 и рз — юмплексно-сопряженная пара, то Вез [г'(з), рз] = — О, 9041 + 5, 9928в1 Следовательно, х(0) = Вен[а(в),0] + Вее[г'(з),р,] + Вез[с(х),рз] = = 2,8082 — 0,9041 — 5, 9928в — 0,9041 + 5,99281 = При л > О полюс в точке з = 0 исчезает, и мы имеем еи(з2 + 2з + 1) з(зз — з+ 0,3561) х(л) = Веа[Г(з),рв]+ Веа[г (а),рв] В [Р'( ) р ] = ( — р )Р'( )[,— (а р )зп(аз + 2а + 1) ( р )( рв) (ге В)~[(тевв) 2 + 2тевв + 1] гевв(ге*в те вв (4.32) где г = 0,5967, а д = 33,08'.
Учитывая, что это выражение идентично уравне- нию (4.24), можем записать 4,3. Обрапюе г-преобразование 227 Рна. 4ги Контур иитатрироаання, показывающий обнаоть сконимоотн (примой 4.8) где и = 0,5967, а 6 = 33,08'. Учитывая, что это выражение аналогично уравнению (4.24), можем записать Вев[г (г), р,) = (0,5967е за он) (6 06066е *оа,зз) = 6, 06066(0, 5967)" [сов(33, 08п — 98, 58) + з взп(33, 08п — 98, 58)]. Поскольку р, и рг — комплексно-сопряженная пара, то Влв [о (г), р, ) = 6, 06066(0, 5967)" [сов(33, 08п — 98, 58) — з втп(33, 08п — 98, 58) ].
Следовательно, х(0) = Вез[К(х), р,] + Всв[г"(г), рг! = = 12, 1213(0, 5967) сов(33, 08п — 98, 58'),п > О, что совпадает с результатами, полученными при разложении на элементарные дроби. фут"4;9,'. Функция Х(л) содержит полюс второго порядка. Найдите последовательность дискретного времени х(п) по следующему г-образу: гг Х(з) = (л — 0,5)(з — 1)г Решение Исходные данные задачи такие же„как в примере 4.6 разложения на элементарные дроби.
Согласно методу вычетов последовательность дискретного времени задается как х(п) = у Вев[Е(г), ра], Глава 4. Применение г-преобразования в обработке сигналов 228 где п~-1 0,5И. — и' Функция г (з) имеет простой полюс в точке з = О, 5 и полюс второго порядка в точке з = 1; таким образом, последовательность х(п) задается как х(п) = Вез[с'(з), рг] + Вез[с'(з), рз] Ве~[г'(~),0,5] = (з — О, 5) он=и и-гг ( ) з=з,з = 0,5(0,5)"/(0,5) = 2(0,5)" (з 1)зал.<.1 гЬ | (г — 0,5)(з — 1)з (з — О, 5) (п + 1) з" — зи ю ( -0,5)з = [(0,5)(п+ 1) — 1]/(0,5) = 2(п — 1). Объединив результаты, получим х(п) = 2[(п — 1) + (О, 5) "], что аналогично результату, полученному методом разложения иа элементарные дроби.
Возможно, вы заметили, что методы вычетов и разложения иа элементарные дроби взаимосвязаны. И в том, и в другом методе нужно находить вычеты, хотя это делается различными способами. В методе разложения иа элементарные дроби находятся вычеты функции Х(з), т.е. коэффициенты Сы тогда как метод вычетов требует поиска вычетов функции з" 'Х(х). Если функция Х(з) содержит полюсы первого порядка, то Вез[э" ~Х(х),рь] = з"Веа[Х(з),рь] = з"Сь.
(4.33) Следовательно, программой иа языке С для разложения иа элементарные дроби, опи- санной в приложении, можно воспользоваться и для расчетов по методу вычетов. '4.3.4. Сравнение различных методов обратного к-преобразования Мы более или менее подробно рассмотрели три метода вычисления обратного зпреобразования: разложение в степенной ряд, разложение иа зяементариые дроби и метод вычетов.
Ограничение метода разложения в степенной ряд состоит в том, что ои ие дает решения в аналитическом виде (хотя в простых случаях его можно вывести), 229 4.4. Свойства г-преобразования но зато он прост и пригоден для вычислений с помощью компьютера. Однако из-за его рекурсивной природы нужно внимательно следить (напрнмер, используя двойную точность) за возможным нарастанием численных ошибок, при большом числе заданных точек обратного з-преобразования.
Как метод разложения на элементарные дроби, так и метод вычетов, дают результат в аналитическом виде. Главный недостаток этих методов — необходимость раскладывать на множители многочлен знаменателя, т.е. находить полюсы функции Х(х). Если порядок функции Х(з) высокий, то поиск полюсов Х(х), если функция не представлена в разложенном виде, — довольно трудная задача. Более глубоко эта тема рассмотрена в разделе 4.5.1. Если функция Х(з) имеет полюсы высокого порядка, оба метода могут также включать дифференцирование высокого порядка. Ясно, что если нужно найти решение в аналитическом виде, то лучше выбрать метод вычетов или разложения на элементарные дроби.
Метод разложения на элементарные дроби особенно полезен для генерации коэффициентов параллельных структур для цифровых фильтров (см. раздел 4.5.11). Метод вычетов нашел широкое применение в анализе ошибок квантования в системах дискретного времени (см. главу 13). Использование такого удобного инструмента, как программный пакет МАТЬАВ или программы на языке С из данной книги, значительно упрощает операции вычисления з-преобразования и обратного з-преобразования.
Для иллюстрации сказанного в приложениях дается несколько примеров. ':::;4А'; бвойотва г-преобразования ','.-'-'- ",",.'::"', Ниже кратко описываются некоторые полезные свойства з-преобразования, которые нашли практическое применение в ЦОС. Доказательства некоторых из этих свойств предлагаются в качестве задач в конце этой главы.
1. Линейность. Если последовательности х,(п) и х,(п) имеют з-образы Х1(з) и Хз(з), то г-образ их линейной комбинации будет охт(п) + Ьхз(п) — ~ оХ,(з) + 6Хз(з). (4.34) 2. Задержки или смен(ения, Если з-образ последовательности х(п) равен Х(х), то зобраз последовательности с задержкой на тп элементов будет з Х(з). Это свойство широко используется для превращения передаточной функции з систем дискретного времени в разностные уравнения во временной области, и наоборот; см. раздел 4.5.8. х(п) — Х(г) х(п — т) — з Х(х) 3. Свертка.
Дана ЛИВ-система дискретного времени со входом х(п) и импульсной характеристикой п(Й). Выход системы задается как (4.35, а) Глава 4. Применение г-преобразования е обработке сигналов 230 Выраженные через в-образы вход и выход связаны соотношением х(п) — Х(з), ИХ(з) пх(и) — ~ — з аз (4.36) Это свойство полезно для вычисления обратного з-преобразования, когда Х(з) содержит полюсы высокого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
