Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Дискретные преобразования х(1р].геа1 х[1].геа1-Сг; х[1р].1вад х[1].1вад-с1; х[1) . геа1=х[1) . геа1+Сг; х [ 1 ) . 1вад=х [ 1 ] . 1в ад+ с1; 1 1+1е; Севр-иг"иг-и1*н1; и1=и1*нг+иг*и].; иг севр; /* если нужно найти БПЕ], каждый коэффициент делится на прС */ 1г(1пт=-1) ( Гог(1 1г1< прС;++1) ( х [1) . геа1 х [1] . геа1/прС > х[1].1вед х[1].1вад/прг; ".'З,В.;" ". ДПФ и БПФ в программном пакете МАТС.АВ Ключевыми функциями в программном пакете МАТБАВ и МАТ[.АВ Б]йпа! Ргосем]пя Тоо)Ъох для выполнения одномерных ДПФ и БПФ являются функции с[гсвсх, ййс и 1Ш.
В Тоойзох есть также функции для дискретного косинус-преобразования и двумерного БПФ. Для вычисления дискретного преобразования Фурье АГ-точечной последовательности данных в виде вектора х можно использовать функцию с[ЙСвСх, которая имеет такой синтаксис: х-х*пгсвсх(н) Функция с]йсвсх вычисляет и возвращает коэффициенты поворота в вцае комплексной матрицы порядка Аг х ]](. Затем она умножается на последовательность данных г, что и дает дискретное преобразование Фурье этой последовательности.
Обратное ДПФ можно найти с помощью команды сопЗ: х к*сов](йтсвсх(н))/н Функция г гС вычисляет ДПФ одномерной последовательности данных с помощью двоичного алгоритма БПФ (если длина данных — 2 в какой-то степени), а функция 1бйС используется для нахождения обратного ДПФ. Программу из программного пакета МАП.АВ (программа ЗВ. ] ) можно использовать для чтения данных из файла и непосредственного вычисления прямого и обратного ДПФ. Программу ЗВ.2 можно использовать для вычисления ДПФ или обратного ДПФ по БПФ. Примеры, иллюстрирующие применение этих программ, можно найти в книге [[Геасйог, 200)) (подробности см.
в предисловии). 2аб Приложения Программа ЗВ.1. Реализация в МАТТ.АВ прямого вычисления ДПФ ГипсС1оп 0РТ0 с1еаг а11г % програыма для прямого вычисления коэффициентов ДПФ г)1гесС1оп -1; %1 — прямое ДПФ, -1 - обратное ДПФ )л Горел('с)ага1п.с(ас',чг)! х гасан(1п,'Вд 99', ( [2,1пГ) ) ) ! Гс1оае(1п)! х х(1,:)+х(2,г]*1г % формирование комплексных чисел 11 г[1гесС1оп 1 у х*с(Гсшгх(1епдСЬ(х))! Ъ вычисление ДПФ е1ве у к*соя](г]ГСнгх(1епдСЬ(х)])/1епдсЬ(х]! % вычисление ОДПФ епг) % запнсь/печать результатов оис Хорев(ч[асаоис.г(ас',че)г Грг1пс(оис,'Ъд 99]п',[геа1(у)г1над(у))]г Гс1оее(оис)г ЬР1оС(2 1 1),Р1ОС(1Г1ЕПБСЬ(к],Х)гС1С1Е('ВХОДНОЙ СИГНаЛ' ); виЬр1оС(2,1,2),р1оС(1г1епдСЬ(у),у)гг!.С1е('Выходной сигнал']г Программа ЗВ.2.
Программа МАТ[АВ лля вычисления ДПФ через БПФ ГипсС1оп 0УТУ % програавга для вычисления коэффициентов ДПФ с помощью БПФ с ВД с1еаг а11г г)1гесс1оп -1г $1 — прямое Дпф, -1 — обратное ДпФ 1п Тороп Рг[ага1п. г[аС', 'г'] г х-Тесал(1п,'Ъд Ъс/,([2,1пГ]])! Гс1оае(1п)г х х(1,:)+х(2,г)"1г % формирование комплексных чисел 11 с(1гесС1оп =1 у ГГС(х,1епБСЬ(х)) % вмчнсленне ДПФ е1ае у 1ГГС(х,1епдСЬ(х)) % вычисление ОБПФ еЫ Ъ запись/печать результатов оиг Горел('г[агаоиг.с(аг','г/); Грг1пС(оисР%9 Вс]п',[геа1(у)г1ятд(у)]]! Гс1ове(оив) ! иьр1ос(2,1,1),р1ос(1:1епцсь(х),х) гс1с1е('Входной сигнал); виЬр1ос(2,1,2),р1ос(1:1епвсЬ(у],у]гс1с1е('Выходной сигнал']г ,,З [ИТВРЭТфВ];ДГ]Рг[ ПРИЙО][Г9[[[[4ф~ ':-'.::,'-~~3,",,"',~[::;"„"~о Соо!еу 1%, ат! Ти)геу 1иг.
(! 965) Ап а)йопйгп Гог йе гоасыпе еа)си)епоп о( согор)ех Роипег зег!ез. Майетансг Сотрегаггол, 19(90), Арп], 297-30!. )ЕЕЕ ()979) Рпгягаео /ог 0(Вега! Згапа! Ргостлгпа. )Чеп Уогы )ЕЕЕ Ргтз. Примененйе '- ~-преобразован'ия в обработке- .- 4з1.
СИГНарЫ И СИСТЕМЫ дИСКрЕтНОПЗ ВрЕМЕйй 4.2. г-преобразование 4,3. Обратное г-преобразование ., ' 4.4. Свойства х-преобразовайия, 4.6. Некоторые области применения к-преобразования 4.6, Резкрзе Задачи Литература Дополнительная литература Приложения; - 214 229 в-обработке сигналов 232 ,, 252 262 '261 .. 261 Самое удобное средство описания, анализа и проектирования сигналов и систем дискретного времени — это з-преобразование.
В системах дискретного времени оно играет такую же роль, как преобразование Лапласа в системах непрерывного времени. В этой главе представлены важные аспекты г-преобразования, причем акцент делается на тех, которые будут использоваться в последующих главах. Особов внимание г-преобразованию уделяется при разработке систем дискретного времени. В число областей применения з-преобразования входят: описание сигналов и систем дискретного времени, позволяющее без труда регулировать степень их устойчивости и визуализировать их частотные характеристики; анализ ошибок квантования цифровых фильтров и вычисление частотных характеристик систем дискретного времени.
Более подробно большая часть областей применения преобразования освещается в последующих главах. Как и во всех остальных частях данной книги, в этой главе принят практический подход. Для того чтобы читатели могли глубже понять предмет, приводятся алгоритмы и программы на языке С и коды МАТЮКАВ. Значительная часть тем, обсуждаемых в этой главе, касается линейных сигналов и системы дискретного времени, поэтому мы начнем с очень краткого обзора основных характерных признаков этого класса сигналов и систем. Глава 4. Применение г-преобразования в обработке снпмлов 20в Значения дискретного сигнала определяются толью при дискретных значениях времени или какой-либо другой соответствующей переменной, например, пространства.
Как уже говорилось в главах 1 и 2, такой сигнал может появиться в результате дискретизации сигнала непрерывного времени, взятого через равные отрезки времени пТ, и = О, 1,..., ~де Т вЂ” период дискретизации. Его можно создать и искусственным путем с помощью компьютера и определенного алгоритма.
Амплитуда сигнала дискретного времени может быть либо также дискретной (дискретное время, дискретная амплитуда), либо непрерывной, По традиции сигнал дискретного времени представляют в виде последовательности чисел: х(п), п = 0,1, (4.1, а) х(пТ), п = О, 1,. (4.1, б) х„, п = О, 1,..., (4.1, в) где под х(п), х(пТ) или х„понимается значение сигнала в дискретный момент времени п (или пТ). Для удобства мы будем пользоваться записью х(п) как для значения последовательности в дискретный момент времени п„так и для обозначения самой последовательности„если разница между ними не важна (смысл будет понятен из контекста). Вообще, в ЦОС принято опускать символ Т, поскольку последовательность не всегда является функцией времени (это может быть, например, функция пространства).
Иногда Т опускается по той причине, что частота дискретизации для удобства предполагается равной единице (т.е. нормированной). Система дискретного времени — зто, по сути„математический алгоритм, входом которого служит последовательность х(п), а на выходе появляется последовательность у(п). Примерами систем дискретного времени могут служить цифровые контроллеры, цифровые анализаторы спектров и цифровые фильтры. Система дискретного времени может быть линейной или нелинейной, инвариантной относительно времени или изменяющейся со временем.
Отметим, что линейные инвариантные относительно времени (ЛИВ) системы формируют значительный класс систем, используемых в ЦОС. Пример — цифровые фильтры, которые подробно рассматриваются в главах 6-8. Говорят, что система дискретного времени пикейна, если она подчиняется принципу суперпозиции. Это означает, что отклик системы на несколько входов равен сумме откликов втой системы на каждый вход в отдельности при отсутствии всех остальных входных сигналов. Например, если вход х1(п) системы дает выход у1(п), а другой вход хз(п) даст выход у,(п), то отклик системы на оба входа будет равен а1х~(п) + азхз(п) -~ а1у,(п) + а,уз(п), (4.2) где а| и аз — произвольные константы. 42. г-преобразование 209 х(п) -ч у(н) х(п — к) — у(п — й), (4.3, а) (4.3, б) т.е.
задержка входного сигнала приведет к такой же задержке выходного сигнала. Взаимосвязь между входом и выходом ЛИВ-системы задается сверточной суммой у(п) = ~~~ Ь(к)х(п — Й), (4.4) где Ь()с) — импульсная характеристика системы. Значения )г(к) полностью определяют систему дискретного времени во временной области. ЛИВ-система устойчива, если ее импульсная характеристика удовлетворяет условию уз(/с)! < оо. (4.5) Это условие справедливо, если п()с) имеет конечную длину, илн если )г()с) стремится к нулю при увеличении и.
Более подробно устойчивость рассмотрена в разделе 4.5.7. Физически реализуемой называется система, которая дает выход только при наличии сигнала на входе. В общем случае, физически реализуемая последовательность дискретного времени х(п) или импульсная характеристика Ь(к) системы дискретного времени равны нулю до нулевого момента времени, т.е. х(п) = О, п < О илн п(к) = О, и < О. Большая часть материала, изложенного в этой книге, касается практических, т.е. физически реализуемых, систем. "ф~~РВфЦ~~~"ннаУ(г~;.';;%гфазфв)((Щ)В ффффф~)( '4~(~фюнф',,",.й9;.',.
зз й Определим г-преобразование последовательности х(п), действительное для всех п: Х(г) = ~~~ х(п)г ", (4.6) где г — комплексная переменная. В причинных системах х(п) может быть ненулевым только в интервале О < п < со, и уравнение (4.6) сводится к так называемому одностороннему г-преобразованию: Х(г) = ~ ~х(п)г ". (4.7) ьо Говорят, что система дискретного времени инвариантна относительно времени (иногда ее называют инвариантной огпносиеельно сдвига), если ее выход не зависит от времени приложения входа.
Например, если вход х(п) дает выход у1(п), то вход х(п — к) даст выход у(п — Й): 210 Глава 4. Применение х-преобразовании в обработке сигналов -6 -4 -2 О 2 4 6 и -б -4 -2 О 2 4 6 и -6 -4 — 2 О 2 4 6 и -б -4 — 2 О 2 4 б и Рнс. 4.1. Причинные и непричииные последовательности дискретного времени Понятно, что в-преобразование — это степенной ряд с бесконечным количеством членов, поэтому он может не сходиться для всех значений д. Область, в которой хпреобразование сходится, называют областью сходимослги (ОС), и в этой области значения Х(х) конечны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
