Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Таким образом, вейвлетное преобразование можно рассматривать как действие полосового фильтра или взаимную корреляцию. Отметим также, что изменение масштаба а позволяет отфильтровывать различные частотные компоненты. = ";3.$.6.т: Вейелетный метод кратномасштабного анализа Кратномасшеабным анализом (КА) называют разделение компонентов сигнала на ряд частотных полос.
Оио осуществляется с помощью фильтров высоких и низких частот и субдискретизации. Возможна и обратная процедура, которая позволяет восстанавливать сигнал. АПР выполняется с помощью дискретного вейвлетного преобразования и дискретных сигналов. Он применяется при анализе информационного содержания 3.8. Друуие дискретные преобразования 177 Рз сг 12 Дспимашшс шагом 2 х Свертка с указанным фильтрон, ЕЛ Л„у Сигм лы,прошслшис р зфильтрнижних'юст т,кот рмс называют аппроксимируюшимн компонентами О у Сипюлм, прошелшие через фильтр верхних чштот, которые назыввютлегвлизируюшими компонентами.
Они прслставеают собой разность наук с жсаних сигналов, п рою евших через фильтр нижних чисток т с. разность двух сосспних уровней, которые можно разрешить Рнс. 3.1В. Разложение сигнала йлн КА исйнлстныы ыетолоы изображений [13] и наведенных потенциалов электроэнцефалограммы [25]. В работе [13] описывается вейвлетный вариант КА. Положив а = 2™ и г = 2 п, можно создать фильтр нижних частот С,[ыг) и фильтр верхних частот Н,[ы), которые при многократном использовании в пирамидальной структуре разделяют сигнал на частотные полосы с возрастающей разрешающей способностью. Этот пирамидальный алгоритм показан на рис. 3.10. С,[ыг) и Н [ыг) симметричны соответственно фильтру низких частот С[ну) и фильтру высоких частот Н[ыг).
Это квадратурные зеркальные фильтры, связанные с подходящей вейвлетной функцией. Для восстановления сигнала воспользуйтесь пирамидальным алгоритмом, показанным на рис. 3.11. КА можно использовать для изучения компонентов сигнала, а также для фильтрации сигналов. После разложения сигнала нежелательные компоненты убираются, а отфильтрованный сигнал восстанавливается. На рис. 3.12 показаны характерные результаты применения КА для извлечения потенциала СХЧ, зависящего от событий, из зашумленного фона элекгроэнцефалограммы (ЭЭГ), отношение сигнал-шум которой равно — 14, 3 дБ.
При моделировании задавались определенные переменные потенциалы, которые прибавлялись к ЭЭГ. К данным эксперимента применялся н адаптивный КА [21], и его модифицированная версия. Видно, что сигнал СЫЧ без шума совершенно не похож на реальный потенциал СЫЧ. Поскольку отношения сигнал-шум относительно больших потенциалов, зависящих от событий, составляют приблизительно — 15 дБ, из результатов видно, что описанные методы больше подходят для очистки от шумов сигналов с намного большими отношениями сигнал-шум.
178 Глава 3. Дискретные преобразования От У Оз / 22 Вставка нуля после «ажлок выборки Х Свертка с указа нимм фильтром 1 3 ) 3 х2 Умножение на 2 Л,/ Сигналы.прошслшнсмрсзфильтрнижнихчастот, которые называют аппроксимирующими комаонснтвми О / Сигналы. прошслшис чсрсзфильтр высокикчаспзт, которыс называют летал иэируюшими компонснтамн Рнс. 3.11. Восстановление сигнала с помощью веявлетного КА 3.8.6. Представление сигнала с помощью сингулярностей: метод вейвлетного преобразования В работе [14) было показано, что все сигналы и шумы можно полностью описать через их сингулярности. Сингулярности определяются через их показатели степени Липшица. Если некоторая функция Д1) непрерывно дифференцируема в точке 1о, то она не сингулярна и относится к типу Липшиц-1. Сигналы, которые не относятся к типу Липшиц-!, — сингулярны.
Если Дс) дифференцируема в точке 1о и раз, то ее и-я производная сингулярна и относится к типу Липшиц-гл, где сг > и. Показатели степени Липшица могут быть также отрицательными и показывают величину и знак сингулярности. Описывая сигналы через их сингулярности, а затем убирая нежелательные сингулярности, по оставшимся сингулярностям можно восстанавливать отфильтрованные сигналы.
Этот метод применяется, например, при определении краев на изображениях [14) и фильтрации сигналов от шумов [14, 28). Фнльглрацией сигнала от шумов называется устранение шумов из сигнала, позволяющее увеличить отношение сигнал-шум. Многие сигналы имеют сингулярности с положительными показателями Липшица, тогда как шум характеризуется отрицательными показателями Липшица. Если сингулярности, связанные с шумами, можно найти и устранить, то зто, следовательно, позволяет отделять сигналы от шума.
В работе [14] показано, что сингулярности и их положение могут характеризоваться амплитудами и знаками максимумов вейвлетных преобразований на графиках их зависимости от времени в разных масштабах, как показано на рис. 3.13. Следовательно, каждый максимум на графике соответствует сингулярности.
Сравнивая максимумы при различных масштабах, можно определить те из них, которые связаны с шумами, и найти значения показателей Липшица. З.а. Другие дисиротныа преобразования Зиа -Ы,Зля Леастантсаьнмн яар: 3 матов ммйи -— 3 -з -6 о зо ио зло зв зш зоо ззо ню Рис. ЗЛ2. Реальные потенциалы ЕКР и потенциалы без шума, извлеченные мосолом анализа с иере- менной разрешающей способностью прн отношении сигнал-шум в -14, 3 лб В дальнейшем предполагается, что у сигналов нет локальных осцилляций. Если бы они были, анализ был бы намного сложнее (см.
(14)). Рассмотрим длл начала сигналы, значения максимумов вейвлетного преобразования югорых лежат в пределах юнуса ~(2 — то)~ < Са, где С вЂ” произвольная константа (рис. 3.13). Теперь рассмотрим те максимумы внутри конуса, юторые лежат на линии, соединяющей различные масппабы (линия максимумов). Тогда вейвлетные преобразования И'(а, т), связанные с максимумами на линии максимумов, меняются с изменением масштаба а как (И'(а,т)) < Аа", (3.88) где А — константа, а > О и О < а < 1. Следовательно, с увеличением а модуль вейвлетного преобразования увеличивается.
Другими словами, модули увеличиваются при переходе к более низкочастотному масштабу. Таким образом, энергетическое содержание сигнала увеличивается на более низких частотах или (эквивалентно) уменьшается на более высоких частотах. Прологарифмировав обе части уравнения (3.88), получим уравнение (3.89): 1о8~И'(а,т)~ < 1о8А+ а1оба. (3.89) 2ВО Глава 3. Дискретные преобразования с 2з, мелкий масштаб, низка» частота -тз в 2', грубый масштаб; высоквв ч штств Мокули, свкзвннмс с шумом Макули, сказанные с сигнввом конус лг- гз))к сс чк Линна мвшнмЗшое Рис. ЗЛЗ.
Зависимость максимумов веавлетного преобразовании Иг(о,т) от времени прн различных масштабах о Это значит, что о, показатель степени Липшица, — это максимальный угол наклона прямых линий уравнения (3.89) в логарифмическом масштабе, которые превышают 1оя)Иг(а, т)).
Из дальнейшего обсуждения будет понятно, что данное свойство очень полезно. Для сравнения с вышеописанным случаем отметим, что белый шум характеризуется отрицательными показателями Липшица, и вероятность появления квадратов модулей максимумов вейвлетного преобразования изменяется как Е[)руг(аут))~) = ))зр(( а~/а, (3.90) где аз — дисперсия шума, а зр — вейвлетная функция. следовательно, модули максимумов уменьшаются пропорционально 1/т(а при увеличении масштаба. Выражаясь иначе, модули максимумов увеличиваются с частотой пропорционально туга. Это означает, что максимумы, связанные с белым шумом, при переходе от одного масштаба к другому 3.8. Другие дискретные преобразования 181 действительный ЕЮ'! 6 И!влеченнмй ЕКР:--- 1 в и 1 1 1 1 и 1 1 1 ! Л !! 1 11 л и и В 11 11 1 Пгф ! 111 ! 1 гн е 1 Ш 1 1 1! ч ь! 1 1 ! 1 и! 10 ! ! 1! 1,1 1,' 1' 11 ,ч 1 1 ! 1 ! 1( -2 1 1 ! 1! й' 1 1 1 1 1 1 1 !Й 111 ! в 0 50 !00 !50 200 250 300 350 400 Рис.
ЗЛ4. Потенциал ЕКР, очншенный методом определения сингтлврностей, н реальный потенциал ЕКР (ЭЭГ, отношение сигшш-шум — 5, 3 дБ) увеличиваются с частотой. Отметим, что это противоположно изменениям величины сигналов с положительными показателями Липшица, причем то же справедливо и для других шумоподобных сигналов. На рис. 3.13 (не приведен к соответствуюпзему масштабу) схематически показаны максимумы зашумленного сигнала.
Видно, что амплитуда максимумов сигнала с заданным положением увеличивается при повышении масштаба (при понижении частоты), тогда как величина максимумов шума увеличивается при понижении масштаба (при повышении частоты) и, кроме того, возрастает их количество. В общем случае, при уменьшении масштаба в два раза число максимумов шума удваивается. Таким образом, наблюдая за изменениями максимумов в одних и тех же точках при переходе от одного масштаба к другому, можно определить максимумы, связанные с шумом.
Следовательно, их можно убрать и не учитывать при восстановлении чистого сигнала. Этот метод (см. 114, 28]) применялся к модельным ЕКР данных ЭЭГ из раздела 3.8.5. Очищенный и реальный потенциалы ЕКР для эксперимента с однократным проходом показаны на рис. 3.14 при отношении сигнал-шум — 5,3 дБ.
Это достаточно большое отношение сигнал-шум по сравнению с — 15 дБ, и извлеченный сигнал СХЧ не имеет ничего общего с реальным. Почему это так? Метод определения сингулярностей основан на предположении о белом шуме, а сигнал ЭЭГ не является белым. Если повторить моделирование, воспользовавшись белым шумом вместо ЭЭГ, то получится результат, ЧВЕ Глава 3. Дискретные преобразования Лсйатвитсльнмй Еар: 6 Извлсчснний ЕКР: -— — В 0 50 500 550 200 250 300 550 400 Рис, З.Ы. Патенцивл Ейр, очишенный метаном олрелеления сингулярностей, и реввьиый лотеицивл Ейр (белый шум, отношение сигнвл-шум -5, 67 лБ) показанный на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
