Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Это вычисляется значительно проще, чем соответствующее ДПФ1 Не говоря уже о том, что существуют быстрые ДПУ (БДПУ). перемножением матриц с помощью цифровых методов. Однако отсутствие фазовой инвариантностн означает, что ДПУ не подходит для вычисления быстрых юрреляций или сверток. Уравнение (3.69) показывает, что (с-й элемент ДПУ можно получить, умножив каждый дискретный элемент сигнала х; на функцию Уолша последовательности (с и просуммировав по (с = О, 1,..., )У вЂ” 1. Для всех элементов (с это можно записать в матричном виде как 3.8.
другие дискретные преобразования 171 Дополнительно можно рассчитать соответствующий спектр с мощностными иэмпонентами, которые задаются как РЯ = ~~САЦй Г))г + )УАТ()с Г))з~гуз где Р(0) = Хз(0), Р()с) = Х.(й, 1) + Х,()с,1), (3.73) Р Хг где й = 1, 2,..., Аг/2 — 1, и фазовыми компонентами ф(0) = О,я, ф(а) = ахстд ~ — '~,)с =1,2,...,Аг/2 — 1, ГХ,()с)3 '(х,(й)~ ' (3.74) ф ~ — ) = 2)ся ~ я/2, 1с = О, 1, 2 .. / сУ'з Итак, для вышеописанного ДПУ мы получили Р(0) = 1,5' = 2,25;ф(0) = О,я, Р(1) = О'+0,5з = 0,25;ф(1) = агссй — = О, 1,0,5/ Р(2) = (-1)з = 1; ф(2) = — + 2Ьг, )с = О, 1, 2.
3.8.3; Преобразование Адамара Любую матрицу Адамара порядка 2Аг можно рекурсивно получить из зН как (3.75) Преобразование Адамара, или преобразование Уолша-Адамара, — это, по сути, то же преобразование Уолша, но с другим порядком функций Уолша и, следовательно, строк матрицы преобразования.
Получающаяся при такой перестановке матрица Адамара содержит подмассивы матриц второго порядка. На рис. 3.7 показана матрица Адамара порядка 8 х 8 (обозначается как 'Н). Видно, что ее можно записать через матрицы Гпава 3. Дискретные преобразования 172 1 1 1 1 1 1 5 6 1 1 яо 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 — 1 -1 1 1 — 1 -1 1 -1 -1 1 1 — 1 1 1 1 1 — 1 — 1 — 1 — 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 — 1 — 1 — 1 — 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 Рис.
ЗД. Матрица преобразования Адамара порядка 8 х 8 ъи.„!о, л ЗСАЬн!1 Л телки!К Л ЗСАЬн11, Л Рис. 3.8. Функции Уолюа, расположенные в порядке Адамара, до и = 7, Покюываюптие времена дискре!изации лля матрицы преобразования Адамара порядка 4 х 4 Из этого рекурсивного свойства следует, что получающееся при расположении функций Уолша в порядке, определенном Адамаром, быстрое преобразование Уолша-Адамара можно вычислить намного быстрее, чем ДПУ. Расположенные в порядке Адамара (или в естественном порядке) функции Уолша показаны на рис.
3.8. Последовательность Адамара получается из последовательности Уолша следующим образом; а) порядок расположенных по Уолшу функций Уолша представляется в двоичной системе; б) биты переставляются в обратном порядке; в) двоичные значения преобразуются в код Грея; г) полученные значения преобразуются в десятичные. 3.8.
Другие дискретные преобразования 173 .Прф~е~РЗ,'7,: В качестве примера рассчитаем дискретное преобразование Уолша-Адамара (ДПУА) последовательности (1, 2,0, 3). Матрица Адамара порядка 4 х 4 Нм равна 1 1 1 1 -1 — 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 — 1 — 1 1 (3.76) -1 1 -1 — 1 согласно свойствам матрицы Адамара. Следовательно, ДПУА-образ последовательно- сти (1, 2, О, 3) задается как 1 1 1 1 1 — 1 1 — 1 1 1 — 1 -1 1 -1 -1 1 х~ — — — [1 2 о 3] ин 4 = — [6 -4 О 2], 1 так что Х,"'и = 1,5, Х,"'л = — 1, Х"'и = 2 и Хз"'л = 0,5.
Значения этих величин такие же, как и рассчитанные ранее компоненты преобразования Уолша, только стоят в другом порядке. Вейвлетное преобразование Физический принцип неопределенности Гейзенберга говорит о том, что нельзя одновременно точно знать и положение я частицы, и ее импульс р. Фактически яр ) )г = 6, 626 х 10 з4 Дж с, (3.77) Ь|Т> 1, (3.78) где Ь7' и Т описывают разрешение по частоте и по времени.
Если разрешение по времени высокое, то частота будет определяться менее точно, и наоборот. Следовательно, может оказаться достаточно сложно одновременно измерить с необходимой степенью точности частоту юмпонента сигнала и время его появления или разделить во времени различные частотные компоненты. Это может произойти, если сигнал содержит кратювременные высоючастотные компоненты, расположенные слишюм близко к более продолжительным юмпонентам во временной области, которые также близко расположены в частотной области и возникают в различные моменты времени.
Такие сигналы непериодичны. Для решения этой обшей проблемы частотно-временного анализа используется вейвлетное преобразование (ччаче)е1 ггапз(опп), юторое предоставляет средства для анализа нестационарных сигналов. Вейвлетное преобразование применяется где Ь вЂ” постоянная Планка. С помошью уравнения Эйнштейна Е = гпсз этот принцип можно перенести в область обработки сигналов, где он будет формулироваться так: нельзя одновременно с любой точностью определить время и частоту.
Следовательно, Глава 3. дискретные преобразования 174 Рне. 3.9. Модифицированная гауееова, иии мориетовемм, материнская веавяетиая функция е1з) и ее Фурье-образ Н(м) также для фильтрации сигналов, устранения шумов, определения местонахождения сннгулярностей и их распределения. В то время как в преобразованиях Фурье значения сигнала имеют весовые коэффициенты, в показателе степени которых стоит мнимая часть, а аргумент — гармонический и зависит от частоты„т.е, по сути, является синусоидальным членом, в вейвлетном преобразовании в качестве весовых коэффициентов значений сигнала выступают вейвлетные функции. Все вейвлетные функции получаются из основной (материнской, базовой) вейвлетной функции.
Существует ряд возможных материнских функций, выбранных для получения следующих свойств. Онн должны: осциллировать, не содержать компонентов постоянного тока, быть паласовыми, быстро спадать во времени до нуля и быть обратимыми. Последнее свойство гарантирует, по вейвлетиое преобразование сигнала будет однозначным. Основную функцию можно записать как Ф(1). Например, морлетовская, или модифицированная гауссова материнская вейвлетная функция (вейвлеш Морле), — зто Ф(з) езозе-з /2 (3.79) Фурье-образ которой— О(нз) = Яяв зм мо) /з (3.80) Эти два сигнала изображены на рис.
3.9, и видно, что Ф(1) удовлетворяет вышеизложенным требованиям, т.е. осциллирует и спадает до нуля. Остальные (дочерние) функции получают путем такого изменения масштаба материнской, чтобы образовалось семейство функций. Каждую дочернюю функцию можно записать как 1 — Ф((е — т)/'а), з./а где а — переменный козффициент масштабирования, а т — константа переноса. Если масштаб а увеличивается, то амплитуда и аргумент функции уменьшаются.
Уменьше- З.В. Другие дискретные преобразования 175 ние аргумента при заданной амплитуде означает, что уменьшается частота. Следовательно, увеличение масштаба а соответствует уменьшению частоты, и поэтому функция расширяется во временной области по горизонтали. Положительные значения юнстанты переноса приводят к переносу функции вдоль положительной временной оси. Итак, с помощью коэффициента масштабирования а и константы переноса т можно создавать функции с большими или меньшими амплитудами, с высшими или низшими частотами и размещать их в различные моменты времени.
Таким образом, нестационарные сигналы с различными частотными компонентами, расположенными в различных промежутках времени, можно описывать как сумму различных вейвлетных функций. Для этого и используется вейвлетное преобразование. Есть несюлько вариантов вейвлетного преобразования, определения которых представлены ниже. Они образуют естественную прогрессию с возрастающей дискретизацией.
В этих определениях предполагается, что сигнал е(г) квадратично интегрируем, т.е. з'(1)г(1 < ос (3.81) Это предположение справедливо для всех кратювременных сигналов с конечной амплитудой. Синусоидальные сигналы и сигналы постоянного тока не удовлетворяют этому условию, поэтому они исключаются из последующих рассуждений. Непрерывное вейвлетное преобразование НВП(а, т) можно определить как НВП(а, т) = (1/;гас) / е(1)Ф((1 — т)/а'1й. (3.82) Параметры этого уравнения можно дискретизовать, что даст вейвлетное преобразование с дискретными параметрами ВПДП(гп, п)„которое определяется как ВПДП(т,п) = ао У о~ з(1)Ф((1 — птооо ) /оо )г11, (3.83) ВПДП(т,п) = 2 го е(1)Ф((1 — п2") /2 1г(1 = 2-го/2 з(1)Ф(2-™1 п)г(1 (3.84) Это расширяет временную ось в 2 ™ раза, а вейвлетная функция переносится в положительную сторону по времени на 2 и. Дискретизация по времени дает вейвлетное преобразование с дискретным временем ВПДВ(гп,п), которое определяется как ВПДВ(т,п) = ао г'~~ е(/с)Ф(ао й — пто).
(3.85) где были сделаны такие замены: а = а,, т = птоао . В этих заменах ао и то — интерва- лы дискретизации для а и т, а гп и п — целые числа. Довольно часто выбирают ао — — 2, а то = 1. Тогда зте Глава 3. Дискретные преобразования Если снова положить а, = 2, а т, = 1, то ИМДВ(нз, п) станет таким: ВПДВ(т,п) = 2 го~~~ вЯФ(2 ™и — п), (3.86) что известно как дискретное вейвлетное преобразование. Итак, дискретное вейвлетное преобразование получается из непрерывного вейвлетного преобразования путем дискретизации масштабного параметра а, параметра переноса т и времени с последуюшей подстановкой ао = 2 и то = 1. Кроме того что вейвлетные преобразования используются для изучения частотно- временного содержания сигналов, их можно использовать для фильтрации сигналов, т.е.
для удаления какой-то части присутствующего шума. Сперва сигналы раскладывают на их компоненты. Затем идентифицируются и устраняются компоненты шума. Наконец, очищенный от шумов сигнал восстанавливают по вейвлетным функциям компонентов. При использовании непрерывного вейвлстного преобразования формула для восстановления (обратного преобразования) имеет вид оо оо 1 Г 1 1 Г 1 в(1) = — ) ( НВП(а, т) ~ — ) Ф((1 — т)/а) ~ — ) Ыай, (3.87) Се /,/ ' ~ т/а) 1.т/аз) — ооо где Се — — ((Н(со) ~~/ы)йо < ос, о а Н(ы) — фурье-образ основного импульса Ф(1), Читателям, которым нужно больше информации о восстановительных формулах, рекомендуется обратиться к работам (4, б, 8„10, 11, 14].
Для более глубокого понимания вейвлетного преобразования рассмотрим возможные интерпретации непрерывного вейвлетного преобразования (формула (3.82)). Видно, что НВП(а, т) описывает взаимную корреляцию в(г) и Ф(1/а)/ь/а с задержкой — т/а. Точно такой же операцией описывается взаимная корреляция масштабированного сигнала в(ас) и ьГаФ(1) с задержкой — т/а. НВП(а, т) может также описывать выход полосового фильтра с импульсной характеристикой НВП(а, т) и временем т/а при входном сигнале в(1). Это же преобразование описывает выход полосового фильтра с импульсной характеристикой ь/аФ( — 1) со временем т/а при входном сигнале в(аг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
