Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Заметим также, что в практических приложениях У » 1, и часто используется приближение П = 2х/)т'Т. Поэтому далее во всех примерах в этой главе (даже при Ж = 4) мы также будет принимать это приближение. .'Пример:.ЗЗ'*, Здесь будет уместно проиллюстрировать использование уравнения (3.20), рассмотрев простой случай. Найдем ДПФ последовательности (1, О, О, Ц. Стоит заметить, что если непрерывность реальных данных нарушается, то для задания значения в месте разрыва при расчетах берется среднее значение с обеих сторон от разрыва. Это касается первого и последнего значения набора данных, а также всех остальных случаев нарушения непрерывности.
Однако, чтобы избежать искажения спектров, вызванного нарушением непрерывности в начале и в конце последовательности данных, при нахождении спектра сигнала необходимо реализовать процедуру вырезания (взвешивания). Подробно эта тема обсуждается в главе 11, а здесь будем просто считать, что последовательность (1, О, О, Ц уже прошла предварительную обработку. Предположим, что приведенные данные описывают четыре последовательных значения напряжения х(0) = 1, х(Т) = О, х(2Т) = О, х(ЗТ) = 1, записанные с временным интервалом Т.
Таким образом, Дт = 4. Далее нужно найти юмплексные значения Х(й) для й = О, й = 1, й = 2 и й = 3 (поскольку тт' — 1 = 3). Для и = 0 уравнение (3.20) приобретает вид Х(0) = ~ х(пТ)е 'о = =о х(пТ) = х(0) + х(Т) + х(2Т) + х(ЗТ) = п=о =1+0+0+1=2, так что Х(0) = 2 полностью действительное с модулем 2 и фазой ф(0) = О. Для й = 1 уравнение (3.20) приобретает вид Х(1) = ) х(пТ)е п=о 146 Глава 3, Дискретныа преобразования Здесь Т неизвестно, но оно сокращается, если вспомнить, что П = 2л/!"/Т.
Получим Х(1) ~~~ л(пТ)е- паза/!то ~~! л(пТ)е-!зла/к и а в=а 1+0+0+ 1 -!2аз/Я 1+ -!з~/2 = 1+соя — — 4з!п — = 1+ а. Следовательно, Х(1) = 1+ т и является юмплексным числом с модулем 1/2 н фазой о(й) = агсс81 = 45'. Для /с = 2 уравнение (3.20) приобретает вид Х(2) ~~, 'л(пТ)е-!2опт ( Т) -!з за/и и а х(пТ)е <4~"/!т «=а = 1 + 0+ 0 + 1е и'з/! = 1 + 0 + 0 + е !з" = 1 — 1 = 0 Итак, Х(2) = 0 с модулем 0 и неопределенной фазой Е!(2). Наюнец, для й 3 уравнение (3.20) приобретает вид Х(З) = / л(пТ)е """'~н = =а 1+0+О+с-га /з 1 Итак, Х(З) = 1 — г с модулем т/2 и фазой 4!(3) = -45'.
Таким образом, было показано, что у временного ряда (1, О, О, 1) есп ДПФ-образ, юторый задается комплексной последовательностью (2, 1+ т, О, 1 — !). ДПФ принято представлять в виде графиков зависимости (Х(/а)) от кй и ф(/а) от /сй. Это можно сделать через гармоники П илн частоты, если П известно. Чтобы найти П, необходимо знать значение интервала дискретизации Т.
Если предположить, что использованная выше последовательность данных была дискретизоваиа с частотой 8 кГц, то Т= 1/(8 х 10з) = 125 мкс. Тогда й = Зл//!/Т = Зл/(4 х 125 х 10 ') = 12 57 х 10з рад/с. Следовательно, 2П = 25, 14 х 10 рад/с, а ЗП = 37, 71 х 10' рад/с. На рис. 3.3, а показан график зависимости х(пТ) от г, на рнс. 3.3, б — график зависимости (Х(/а) ! от /ай, а на рис. 3.3, е — график зависимости ф(/а) от /ай. Следует заметить, что график "амплитуды" на рнс.
3.3, б симметричен относительно юмпонеита второй гармоники, 147 3.2. ДПФ н обратное ДПФ т.е. относительно гармоники с номером А//2, а на рис. 3.3, в фазовый сдвиг является нечетной функцией с центром в этой гармонике. Отметим, что полученные результаты справедливы и в более общем случае. Если сравнить в-й компонент ДПФ Х(/с) с (/с+ А/)-м юмпонентом Х(/с+ А/), можно вывести важное свойство ДПФ. Таким образом, Х(/) ~ ( Т) — «ьй»т ~~, «( у) -«ьт /«ч «=О Х(/с + Х/) ~~«х(пт)е-«та»»//се-«с«з» /«» »=О л-1 к(п'Г)е- «та»» /и е «2» =Е*" » О с«-« ~ к(пт)е-аю»»/«с Х(/с) =о посюльку и — целое, то е «з " = 1.
Из Х(/с+ А/) = Х(й) следует, что ДПФ-образ повторяется с периодом А/. Это свойство «/кхличлостк ДПФ, т.е. значения юмпонентов ДПФ повторяются. Если к = О, то /с + А/ = А/, а Х(0) = Х(5/). В вышеприведенном примере Х(0) = 2, следовательно, Х(4) также равно 2. Это явление демонстрируется на рис.
3.3, б, где амплитуда четвертой гармоники взята в точке 50,28 кГц. Симметрия распределения амплитуды относительно второй гармоники очевидна. Общий вывод: амплитудный спектр /7-точечного ДПФ симметричен относительно гармоники /«//2 при условии, что график содержит нулевую и (М + 1)-ю гармоники. Аналогично функция зависимости фазового сдвига, будучи нечетной, проявляет ангисимметричные свойства относительно гармоники А«/2. Если на протяжении с секунд берутся 2/ элементов выборки сигнала в секунду, то 2/ / = Ас, так что 1// = 2/ /А/ — это частота первой гармоники. Следовательно, симметрия гармоники Ж/2 будет повторяться на частоте (А//2)/(2/ /А/) = / — максимальной частоте, присутствующей в сигнале. Следовательно, все юмпоненты сигнала полностью описываются амплитудным спектром, график которого построен до / или гармоники А//2, и дальше график строить не нужно. В таком юнгексте / называют частотой перегиба, поскольку спектр между гармониками М/2 и А/ можно перегнуть по оси симметрии на частоте /, и прн этом он точно наложится на низкочастотную половину спектра.
Теперь видно, что М действительных значений данных преобразуются в М/2 юмплексиых значений ДПФ. Последние состоят из «Х//2 действительных и А//2 мнимых значений, дающих в сумме А«значений, которые н получал«тся из Ж исходных значений данных. Наюнец, значения компонентов преобразования Фурье г'(ио) последовательности данных (1, О, О, 1) из примера 3.3 можно найти, умножив компоненты ДПФ на Т = 125 мкс. Следовательно, Е(0) = 250 мкВ/Гц, Р(12, 57 кГц) = (125 + 1125) мкВ/Гц, г'(25, 14 кГц) = 0 В/Гц, Г(37, 71 кГц) = (125 — 1251) мкВ/Гц. 148 Глава 3.
Дискретные преобразования х(е Г) ),О О (25 25о 575 !(мкс) (хи)) г,о О (ап гз,(а 27,71 5О,гз М) (х)О'Гма(с) 6) о(е)(ъ ныв нг (х16 рнт)с) Рис. ЗЗ. График зависимости е(нге) ог т (панель а), график зависимости )Х(Ь)) ог lе (панель 6); график зависимости е(Ь) от Ь (панель е) Как объяснялось во введении к данной главе, часто возникает необходимость выполнить дискретное преобразование из частотной области во временную. Это можно сделать с помощью обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ), которое определяется как 1 ог-1 х(пТ) = Ро''(Х()с)) = — 'г Х()с)еа"и"т, п = 0,1,...,Аг — 1, (3 23) ь=о где через го ' обозначено обратное дискретное преобразование Фурье.
Аналогия обратною дискретного преобразования Фурье с преобразованием, определяемым уравнением (3.1б), очевидна. Здесь достаточно легко показать, что обратное преобразование Фурье можно получить из ОДПФ, разделив ОДПФ на Т. Справедливость уравнения (3.23) можно продемонстрировать, подставив я(пТ) в уравнение (3.20), 3.2.
ДПФ и обратное ДПФ 149 М~:.,'.~~~(' Для иллюстрации обратного дискретного преобразования Фурье выведем временной ряд (1, О, О, 1) из его ДПФ-образа [2, 1 + т, О, 1 — т]. При п = 0 1 и-1 х(пТ) = х(0) = — ~~~ Х(1с) = Ж„ = — [Х(0) + Х(1) + Х(2) + Х(3)] = 1 = — [2 + (1 + с) + 0+ (1 — т)] = 1, как и ожидалось. При п = 1 Рт-т х(пТ) = х(Т) = — ~~ Х(lс)есьот = ь о л-1 — Х(к)ем '~~ = М о о 1 и-1 — Е Х(й)ес" /3 = 4 о=о 1 4 -[2+ (1+ т)ес"~о + О+ (1 — т)е~'~~] = 1,, 1 - [2 + (1 + т)т + (1 — т) ( — г)] = -(2+ т — 1 — т — 1) = О, 4 4 чего н следовало ожидать. При и = 3 и-1 х(пТ) = х(2Т) = — ) Х(/с)е'~о = М „ = — [2+ (1+ 4)е' + (1 — т)е'з'] 4 1 = -[2 — (1+ т) — (1 — т)] = О, 4 снова, как и ожидалось.
Наконец, при п = 3 л-1 х(пТ) = х(3Т) = — ~) Х®есьз"~з = Ф о=о 1 = -[2+ (1+ т)е'з Гз+ (1 — т)е'о" /2] = 4 1 ..., 1 4 = — [2 + (1 + т) ( — т) + (1 — 1) т] = -(2 — т + 1 + 1+ 1) = 1. 4 Таким образом, получен правильный последний член ряда. Глава 3. Дискретные преобразования !. Симметрия. Ке[Х(М вЂ” /с)) = КеХ()с), (3.24) где Ке означает действительную часть.
Данная формула выражает симметрию ам- плитудного спектра, которая обсуждалась выше, а формула 1ш[Х()Ц вЂ” )с)) = — 1ш[Х(н)) (3.25) (где 1ш означает мнимую часть) выражает антнсиммстрию фазового спектра. Данное свойство полезно при определении значений компонентов. 2. Четные функции. Если х(п) — четная функция х„(п), т.е. х„(п) = х„( — и), то и-с Ро[х„(п)] = Х„(lс) = ~~~ х„(п) соа(lсйпТ). п=ь (3.26) 3. Нечетные функции. Если х(п) — нечетная функция хк(п), те. хк(п) = -х„(-и), то н-1 го[хь(п)] = Х„()с) = ) хк(п) а)п(lсйпТ). (3.27) к=0 4. Теорема Парсееаля.
Нормированная энергия сигнала равна н-1 н-1 хз(п) ~Ч, [Х(ь) [з и 0 о (3.28) Правая часть уравнения (3.28) — зто среднеквадратическая спектральная амплитуда, а левал часть — сумма квадратов амплитуд временного ряда. 5. Дельта-функция.
Го[6(пТ)) = 1. (3.29) 6. С помощью ДПФ можно найти линейную взаимную корреляцию двух последовательностей данных или рядов. Линейная взаимная корреляция двух конечных последовательностей х,(п) и хз(л), каждая длиной )ч', определяется как 1 г... (с) = — ~~~ х,(п)хз(п+ у), -оо < с' < оо. (3.30) ДПФ обладает рядом математических свойств, которыми можно воспользоваться, чтобы упростить задачу или построить удачные приложения. Некоторые из этих свойств перечислены ниже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
