Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 25
Текст из файла (страница 25)
А. (1978) Б/8ла! Рюсыял8, Мойдаг!ол алд Фойе. Уп1ЫюЬЕ НвЫег апд БсопБЬсоп. В1еяег В. А. (1978) О!8!с!гас!оп оГ алйо: а сотргеЬепяче ехжп!пабоп оГ |Ьеогу, ппр)степ|абаи, апд сштепс ртсбсе. А Алйа Елх. Ясс., 26(10), 739-771. В1сььег В., /.осапсЬ1 В. ав/ Бпк1сЬагп /г, Т. б. (ей) (1982) О!8/га! Алйо. Хечг Чог1с АвИо Еп8)пеепп8 Бове|у.
Сап|!у /. С„СЧоосеу В. А. апд Вещаплп О. /. (1981) А чоке Ьапд собес ас!|Ь д!8!в! Йсст!п8. /ЕЕЕ Тгалз. Соттил/озжсы, СОМ-29(6), /ппе, 815-830. бате| Р Н. (198!) Ала/о8 1/О//ез!Ел. Кеьсоп ЧА: Кеьсоп РпЫ!ьЬ!п8 Со. /пс. 1ТТСС (1986) Бшду бтопр ХЧГН Р Керогс К26С, Кесоттясдас)оп б722!. 32 ссЬ|с/ь Адарс|че О!ГГегеп6а1 РпВе-Соде МвЬдабоп (АОРСМ). /аУап| Х. Б. апд ХоИ Р. (1984) 018!/а/ СойгЩ оГ Паче/огтз. Еп8)е|чоод СИГИ Х/: Ргепбсе-НаИ, Масапо К.
С. Ч. (1991) Ягла/ Сойлд В| Бреесб Сод/л8. С. Худеаь, 82-99. МпеИег Н. К., БсЫп|Иег Н. К. апд Чепщег Р. (1978) ЯБпа!-со-поле апа1уяь оГ а РСМ чоке ьуыет Ьтед оп яса!обое/д!8!са! Й!сеип8.!ЕЕЕ Тгаы. Соттитгябаы, СОМ-26(5], Мау, 653-659. Ха|МИ /. Е. (1988) БреесЬ содпщ !и йе рап-Епгореап д!8!сас тоЬИе гайо ьуяеть. Брсесб Соткал|сажал Магы/ле, /аппагу. ОИчег В.
М., Р!егсе /. К. апд БЬаппоп С. Е. (1948) ТЬе РЬИоьорЬу оГ РСМ. Ргос !ВЕ, ХочетЬег, 1324 — 1331. ОррепЬепп А. апд БсЬа(Гег К. )Ч. (1975) О!81/а/ Ягла/ Рюстзслг. Еп81еююд СИ/Гь Х/: Ргепбсе-НаП. Рарат|спа)В Р. (1987) Ргас1|со/ Аррспасбт го Бреесб Сойл8. Еп8(есчов/ СИИь ЬИ: Ргепбсе-НаП. КаЬ|пег 1.. К. апд бо16 В. (1975) Тбео|У алд АРР1/сапоы а/' О/81/а/ Ядла/ Рюсеттх.
Еп8(есчоод С!ИВ Х/: Ргел бее-НаИ. БЬе|п8оЫ О. Н. (ед.) (!986) Ала!о8-018/га! Салчегяал ФалдбаоЕ Еп81еасоод СИ/(в Х/; РгепСке-НаИ. Б|еег /г, К, Ч!, (! 989) АпбаИаяп8 86|еж гв1псе ел о|ып А/Э сопчелс|ь. ЕОФ, МагсЬ, 171-186. ТсеГепйа!ег С. (1987) Очетатр1|п8 со !псгеаье я8па! со паже ибо оГ АОСь. Е!ессюшс Рюдисг 0сз|8л, МагсЬ, 59-62, Чап Оогеп А. Н. (1982) 0а|а Асели/|1ал Бузгеть. Кежоп ЧА; Кеыоп РпЫ!ьЬ!п8 Со. 1пс.
136 Глава 3. Дискретные преобразования частотах. Внимание, которое в этих двух примерах спектрального анализа уделяется избранному и четко ограниченному набору частот, говорит о том, что выгоднее применить преобразование, при котором маловажной информацией можно пренебречь, облегчив таким образом последующую интерпретацию данных. Дискретные преобразования, в частности, дискретное косинус-преобразование, используются также для сжатия речевых и видеосигналов, что позволяет передавать их с меньшей шириной полосы. Кроме того, они применяются при обработке изображений (распознавание образов) для сокращения набора признаков. Преобразования полезны и как математическое средство ускорения вычислений в других областях обработки сигналов, таких как нахождение корреляции (используется в гидролокации для поиска объекта на большом расстоянии), или при свертке для определения взаимосвязи между системой и ее входными или выходными данными, При таких расчетах важен переход как из частотной области во временную, так и в обратном направлении.
Вообще, зта тема сугубо математическая, но сегодня можно с уверенносп ю сказать, что в большинстве приложений дискретные преобразования стали стандартной процедурой, так что инженерам-разработчикам едва ли понадобягся глубокие математические познания или знание специальных теорем. Исключением является спектральный анализ сигналов. Здесь каждую задачу нужно рассматривать в своем контексте, при этом важно хорошо разбираться в предмете, чтобы избежать многочисленных подводных камней, связанных с необходимостью сбора достаточного количества правильных дискретных выборок, а также наложения спектров, "эффекта частокола" и просачивания спектральных составляющих. Все это будет подробно обсуждаться в главе 11. Из всех возможных преобразований самыми известными и, пожалуй, самыми важными являются дискретное преобразование Фурье (ДПФ) и алгоритм его быстрого вычисления — быстрое преобразование Фурье (БПФ).
Этому есть несколько причин: они позволяют адекватно описывать в частотных координатах все, кроме самых кратковременных (( 1 с) сигналов; усеченные по частоте Фурье-компоненты описывают данные более правдоподобно, чем любые другие степенные ряды. Отдельные компоненты представляют собой синусоиды и не искажаются при передаче через линейные системы, что позволяет использовать их как хорошие пробные сигналы.
И, наконец, БПФ можно посчитать очень быстро. Еще одна причина — это то, что анализ фурье существует с момента опубликования работы Фурье в 1822 году, и с тех пор стал широко известен, заслужил уважение н развился вместе с рядом областей своего применения. В последнее время значительное внимание уделяется вейвлетному преобразованию, поскольку оно позволяет описывать через амплитуду сигнала стохастические сигналы с переменным во времени частотным спектром. Эта тема также сугубо математическая, но ниже излагаются основные ее концепции, а для иллюстрации разобраны два примера извлечения сигнала из спектра шумов.
Студентов технических специальностей, изучающих электрику и электронику, с первых курсов учат анализировать электрическое поведение контуров с помощью преобразования Лапласа. Это объясняется тем, что преобразование Фурье неприменимо ни к пошаговому входу, ни к ненулевым начальным условиям. Когда студенты переходят к изучению частотных характеристик и устойчивости таких дискретных систем, как фильтры с конечной импульсной характеристикой, воз- Зд. Введения 137 --:ЗЛ,4,~: Ряд Фурье Любой периодический сигнал 1(1) можно представить в виде суммы бесконечного числа синусоидальных и косинусоидальных членов и одного постоянного члена. Это представление называется рядам Фурье и задается следующим образом: 2(1) = ав+ ~ а„соа(пч!Т) + ~ Ь„а!п(гч2Т), (3.1) где Ь вЂ” независимая переменная, которая часто обозначает время, но может обозначать, например, расстояние или любую другую величину; 1(1) часто обозначает функцию зависимости напряжения от времени, но может обозначать и любой сигнал, ы = 2я/Т„ называют циклической часа!оп!ой первой (или основной) гармоники, связанной с основной частотой 1 соотношением ы = 2яу, ҄— период повторения сигнала, через Tр/2 1 аа = — ! Д()йг -Т,! — т !2 обозначается постоянная, равная усредненному по времени сигналу Д8) за один период, которая может представлять, например, уровень постоянного напряжения, 7р12 2 а„= — / У(г) соа(2222!)!(! Тя -тг12 тр(2 Ь„= — / Г'(1) а1п(пч2г)!(1.
2 -т !2 Частоты пч! называют и-ми гор!мониками частоты ы. Следовательно, бесконечный ряд (3.!) содержит зависящие от частоты синусоидальные и косинусоидальные члены с различными амплитудами а„и Ь„на положительных частотах гармоник пьг. Этот ряд можно записать компактнее с помощью экспоненциального представления, кроме никает необходимость использования а-преобразования (дискретного преобразования Лапласа). Таким образом, главная область применения преобразования Фурье — это быстрые вычисления при обработке сигналов, где применяется БПФ, и спектральный анализ.
Однако эти три преобразования взаимосвязаны. Преобразование Лапласа считается более общим„поскольку из него можно вывести два остальных. Так, переменная Лапласа равна а = !г + 2ч!, тогда как переменная преобразования Фурье равна а = 2ч2, а переменная г-преобразования задается как я = е'т, где Т вЂ” это промежуток времени между двумя выборками. Наконец, переменные преобразования Фурье и 2-преобразования связаны соотношением я = е т (см, главу 4).
Глава 3. Диснретныв преобразования того, в таком виде намного упрощается выполнение математических операций. Итак, в экспоненциальной форме ряд Фурье выглядит так: дь) = ~г пыле "~, (3.2) где Тр/2 СГп сс — / д~)е ' ~й -тгут (3.3) 1г(„) = (а'+ Ь')Ы' (3.4) ф„= — агстб(Ь„/а„), (3.5) где ф„— сдвиг фазы компонента п-й гармоники, который также задается как арктангенс отношения мнимой и действительной частей сь„. Следовательно, каждая гармоника сигнала характеризуется своим фазовым сдвигом и амплитудой. 'Йрййй дь1з В качестве примера рассмотрим периодический однополюсный импульсный сигнал, показанный на рис. 3.1, а. Намеренно сместим начало отсчета относительно центра, а край импульса выберем так, чтобы проиллюстрировать фазовые особенности ряда Фурье.
Подстановка соответствующих значений в уравнение (3.3) дает: Мритичссннй смысл отрипагсльиой частоты — врааенпс в направлении, противоположном тому, аоторое оринлто та положительное. — ПРим Рса>. являются комплексными числами, а ~с(„~ — величины, измеряемые в вольтах. При суммировании учитываются и отрицательные значения и, так что половину ряда составляют отрицательные частоты — тип. Они не имеют физического значения и являются чисто математическим понятием', но вследствие этого модули ~с(„~ комплексных амплитуд гь„численно уменьшены в два раза. Это означает равное распределение амплитуды по соответствующим отрицательной и положительной частотам.
Следовательно, правильное значение амплитуды на частоте псы можно найти, удвоив рассчитанную величину. Комплексная и тригонометрическая формы связаны следующими соотношениями: 3.1. Впадение а) -)О -8 -б -4 -2 О 2 4 б В )О в б) в) Рнс. ЗЛ. Сигнвв У(г) (папань а); анппитупный спавгр ~ба) (паисиь б); фазовый спсатр Ф (панваь в) 1 .4е-'~а )((— т, -(т-вт) О-тннвт — ' (т-вт) — е (3.6) т)П)'2' А — е * гид7н -ан~~т — е П4Л), Глава 3. Дискретные преобразования 140 — е'" рт *'1з1п( — ) = 2А пип, <„~з „р1 з(п(порт/2) иирТ„2 тиот/2 Г ыч(ол-ют Т, (, 2 (3.7) где тиот1 а(п(рвот/2) в)пс ( )- 2 Р порт/2 называется функцией отсчетов аргумента тиот/2. Модуль Н„равен 8(„! = — ~а!пс ( — ) ) р и его график изображен на рис.
3 1, б. Величина рис(0, 5 — х)т представляет собой фазу ф„(в радианах), связанную с и-и гармониюй. Чтобы построить график зависимости атой фазы от порядка гармоники и, рассмотрим частный случай. Пусть х = О, т.е. поместим начало отсчета в запаздывающий край импульса, и пусть т = Т„/5, причем риот 2ят 2яТр 1 и ф„= — = — -= — — '-=- . 2 Т„ 2 Тр 5 2 5 --: ЗЛ,2:1. Преобразование Фурье Если сигнал непериодический, то метод разложения в ряд Фурье слегка модифицируется. Для яркой иллюстрации подобного подхода используем одиночный прямоугольный импульс, юторый можно получить из периодического сигнала на рис. 3.1, а, увеличив период Т, до бесконечности. При увеличении Т„расстояние между гармониками 1/Т„= ир/2л уменьшается до йр/2я, в юнце юнцов превращаясь в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
