Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Это соответствует переходу от дискретной частотной переменной тио к непрерывной График ф„показан на рис. 3.1, в, где по договоренности — 180' < ф„< 180'. От выбора начала отсчета времени зависит вид фазового спектра (зависимости ф„от и). Обычно анализ упрощается, если поместить начало отсчета времени в точку, обладающую некоторой симметрией, например, в центр импульса периодической серии импульсов. В выбранном случае амплитудный спектр (рис. 3.1, б) выглядит, как четная функция (р(„! = (И „(), тогда как фазовый спектр (рис.
3.1, в) выглядит, как нечетная функция (ф „= — ф„). Фазы ф„, ф „дают относительный сдвиг фаз гармоник относительно друг друга. В момент времени 1 абсолютный сдвиг фаз равен (из уравнения (3.2)) (рио(0, 5 — х)т + риис). 141 3.1. Введение переменной ы, а фазовый и амплитудный спектры становятся непрерывными.
Следовательно, д„- Н(ез) при Т, — оо. С этими изменениями уравнение (3.3) приобретает внд д(ез) = — /(1)е ~'й. 2к .! (3.8) Для удобства нормируем эту формулу, разделив ее на йа/2к, и получим (3.9) Здесь комплексное г (иа) называется интегралам Фурье или просто Фурье-образом. Если положить Р(1ы) = Ве(аы) + 11пз(иа) = ]Р(иа)]ем~ 1, (3.10) ]Р(иа)] = [!те (иа) + 1пт (иа)]'~~, (3.! !) а измеряться данная величина будет уже в В/Гц, а не в вольтах. Следовательно, ]г (иа) ]— зто плотность амплитуды, которую еще называют спектральной плотностью ампли- туды или амплитудным спектрам.
Соответствующий сдвиг фаз ф(ы) равен ф(ы) = агстб]1пт(иие)/Ве(ииа)]. (3.12) Величина ]г'(зю)]з измеряется в ВзГц з. Поскольку нормированная электрическая мощность, т.е. мощность, рассеянная сопротивлением 1 Ом, измеряется в В', что эквивалентно Дж/с или Дж.Гц (Дж обозначает джоуль, единицу энергии), то В'Гц з равно ДжГц х Гц ' = ДжГц '.
Следовательно, ]Р(иа)]з измеряется в единицах энергии на Гц ', те. ]г'(Ы)]' — это спектральная плотность энергии. Площадь под кривой ]Р(иа)] на графике зависимости от / между частотами /е — а/ и /е + а/ выражает среднее напряжение на частоте /е, а площадь под соответствующей кривой ]г'(гм)]' на графике зависимости от / выражает среднюю энергию на частоте /е. Кроме того, при спектральном анализе довольно часто строятся графики зависимости спектральной плотности энергии от частоты. :.Пример'.ЗЛ..
хт Р(ииа) = Ае ' 'а! — (т-х ! (3.13) Вернемся к рассмотрению одиночного импульса и вычислим его амплитудный спектр, пользуясь уравнением (3.9) и рис. 3.1, а. Искомое выражение приобретает вид 142 Глава 3. Днскрвтныв преобразования и отличается от уравнения (3.6) только постоянной 1/Т„. Отсюда следует, что Р(и ~) = Ате Отз 1 йпс(ыт/2), (3.14) что в Т, раз больше, чем еС„. Это соответствует тому факту, что [Г(иа)[ измеряется в вольтах, умноженных на единицу времени или в В/Гц.
Кстати, результат (3.14) можно получить проще, чем было получено уравнение (3.7), если учесть определенные свойства преобразования Фурье. Итак, импульс с шириной т единичной высоты с центром в С = О, обозначенный гесС(С/т), имеет фурье-образ тзьпс(ыт/2). Поскольку А/(С) преобразуется в АР[/(С)[, где через Р обозначено преобразование Фурье, то импульс высотой А преобразуется в Атйпс(ыт/2). В контексте рис. 3.1, а импульс смещается влево на т/2 — хт и действительно является прямоугольным импульсом, гесС ( [С + (т/2 — хт)[/т) . Кроме того, из свойства задержки преобразования Фурье следует, что для импульса, смещенного вправо на Се, /(С вЂ” Се) = ее еег'[/(С)[.
Применяя это свойство к Атв1пс(ят/2), получаем искомый вид Фурье-образа: Р(ие) = е+ С+'~з *"1Атяпс С вЂ” ~1 = 2 / тытч = Ате' С'~з *Мяло ~ — /, 2 1' т.е. тот же результат, что приведен в формуле (3.14). Если начало отсчета времени находится в центре импульса, т.е. х = -', то Фурье- образ этого импульса задается как Ат яп(ыт/2) Р(иа) = = Атяпс(ыт/2) ыт/2 /(С) = — Р(еы)ее"'е)еа = ге'(и >)е~'еС/. 2я / (3.1б) и является действительным. Функция [Р(еее)[ непрерывна и ее график для значений А = 1 В, Т = 10 с и т = 2 с изображен на рис. 3.2, а.
Этот амплитудный спектр, пропорционально ограниченный функцией отсчетов, всегда порождается прямоугольными импульсами, а также любыми сигналами конечной длительности т. Последние можно рассматривать как бесконечный сигнал, умноженный на гесС[(С х Се)/т~, т.е.
на единичный импульс. Экспериментально полученные сигналы также подпадают под эту категорию, так как имеют конечную длительность. Используемав функция отсчетов проходит через нуль при каждом йп(ыт/2) = О, те. когда ят/2 = пек(гп ф О, пз — целое). Следовательно, нули амплитуды появляются в точках / = 1/т, 2/т, 3/т, .... Если ы — + О, яп(ыт/2) — ыт/2 и япс(еат/2) = в(п(еет/2)/(еет/2) — 1, так гго Г(ы) = Ат при ы = О, т.е. при / = О. График спектральной плотности энергии импульса с амплитудой 2 В изображен на рис.
3.2, б, а на рис. 3.2, а для сравнения изображен амплитудный спектр. Отметим также, что из частотной области во временную можно перейти с помощью обратного преобразования Фурье. В этом случае чаз 3.2. ДПФ и обратное ДПФ На практике Фурье-компоненты сигнала получаются как результат цифровых вычислений, а не вследствие аналоговой обработки.
Поскольку аналоговый сигнал состоит из бесконечного числа соприкасаюшихся точек, описать все их значения практически невозможно. Следовательно, для использования в цифровой системе аналоговые значения следует дискретизовать через равные промежутки времени, а затем выборки преобразовать в цифровой бинарный вид. Это осуществляется с помощью контура выборки-хранения, за юторым следует аналого-цифровой преобразователь. Получающееся число выборок в секунду достаточно велико для адекватного описания сигнала.
Теоретически необходимая скорость дискретизации называется частотой Навквиссла и равна 21, где 1 — частота самого высокочастотного синусоидального компонента сигнала с существенной амплитудой. В этой главе будем считать, что рассматриваются цифровые значения, которые поддаются преобразованию, а такие аспекты, как обработка методом взвешивания, необходимая при спектральном анализе, будут обсуждаться в главе 11. Итак, данные, которые нужно преобразовать, — уже дискретные и, возможно, непериодические. В таком случае преобразованием Фурье воспользоваться нельзя, поскольку оно предназначено для непрерывных данных.
Однако существует аналоговое преобразование, которое можно применять к дискретным данным, — дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Предположим, что сигнал дискретизован через равные промежутки времени Т, и в результате полученадискретная последовательность (х(тсТ)) = х(0),х(Т),...,х[(У— 1)Т] из Ж выборок, где п — номер выборки, и пробегает значения от и = 0 до и = М-1.
Значения х(пТ) будут действительными только тогда, когда они представляют собой значения такого временного ряда, как спектр напряжения. В подобном случае ДПФ последовательности х(пТ) можно определить как последовательность комплексных значений (Х()сй)) = Х(0), Х(й),..., Х[(М-1)й] в частотной области, где й — частота первой гармоники, которы задается как й = 2я/(М вЂ” 1)Т = 2я(НТ для М ~» 1. Следовательно, Х(кй) в обшем случае имеет действительные и мнимые компоненты, так что для /с-й гармоники Х(/с) = Ве(/с) + 11гл(/с) (3.17) [Х(/с)[ = [Вез(/с) + 1тз(Ус)]йз, (3.18) а сдвиг фазы Х(/с) ф()с) = агой[1гл(1с)/Ве((с)!, (3.19) где под Х(/с) понимают Х(вй).
Следовательно, приведенные уравнения аналогичны уравнениям для преобразования Фурье: сравните уравнения (3.17)-(3.! 9) с уравнениями (3.10)-(3.12). Глава 3. Дискретные преобразования 4 3 2 2 т т т т 2 3 т 7 т т -3,О -3,О о Ьа 2,О У<в) 1 2 3 4 т т т т -2,О 4 3 2 3 о) Рпс. 3.2. Импульс 2 В; а) амплптулпый спектр; 6) элер- тетическпй спектр Заметим, что М действительных значений (во временной области) преобразуется в М комплексных значений ДПФ ( в частотной области). Значения ДПФ Х()с) задаются как Х(кэ) = атр[х(пТ)! = У х(пТ)е м™,й = О, 1,...,4ктт — 1, (3.20) где через г'о обозначено дискретное преобразование Фурье. В атом уравнении к— номер гармоники компонента преобразования.
При замене х(пТ) = 1(2), йй = пэ и пТ = 2 видно, что зто уравнение переходит в преобразование Фурье (уравнение (3.9)) при )'(2) = 0 для Т < 0 и 1 > (У вЂ” 1)Т, так что можно ожидать, что зти два преобразования будут иметь обо)не свойства. В то же время зти преобразования не равнозначны. 3.2. ДПФ и обратное ДПФ 145 Так, сделав указанные замены в уравнении (3.9) и положив й = Т, а также заменив интеграл суммой, получим частоты гармоник й/„где /, = 1/(М вЂ” 1)Т = 2х/Й, л — 1 х(пТ)е м""~Т = Р(ти) (3.21) для 0 < 1 < (Ж вЂ” 1)Т. Затем, сравнив уравнения (3.20) и (3.21), получим Г(ы) = ТХ(х), (3.22) откуда видно, что юмпоненты преобразования Фурье связаны с компонентами ДПФ через интервал дискретизации, и их можно найти, умножив компоненты ДПФ на интервал дискретизации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
